胡 琴, 陳 晗

(華中科技大學 土木與水利工程學院， 湖北 武漢 430074)

有砟軌道是中國鐵路軌道體系的主要系統(tǒng)之一，由鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌枕、枕下道砟層和路基等部件構(gòu)成[1]。枕下道砟層是有砟軌道系統(tǒng)的重要組成部分，其作用是將軌枕傳來的壓力均勻地傳給路基，阻止軌枕的移動，緩和車輪對鋼軌的沖擊，使軌道系統(tǒng)具有足夠的彈性。然而道砟層是有砟軌道系統(tǒng)中最脆弱、也是劣化最明顯的結(jié)構(gòu)層[2]。若道砟層損傷未被及時修復，會影響支承軌枕的剛度，引起軌道幾何形狀的變化，增加列車脫軌的風險[3]。

目前，針對有砟軌道枕下道砟層的損傷識別方法較少。人工目視檢查是工程領域最常用且最簡便的檢測方法之一，但該方法只能有效檢測出有砟軌道表面的損傷，而位于軌枕下的道砟層損傷很難通過肉眼觀察。巖心貫入試驗需要先獲得巖心樣本，然后在實驗室進行測試，通過比較損傷和未損傷道砟的摩擦比，進而確定道砟層的損傷狀況[4]，這種方法耗時耗力，且會破壞道砟的性能，影響列車的運行，難以大范圍使用。探地雷達法作為一種安全、無破壞性的方法，通過在給定的頻率范圍內(nèi)發(fā)射和接收電磁波，可以用于道砟層的損傷檢測[5]，但該方法難以準確地定位損傷位置以及選取合適的頻率范圍[6]。因此，在不影響道砟層性能和使用的前提下，研究出一種能夠準確定位和定量枕下道砟層損傷的方法，具有重大的工程意義。

基于振動數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法已經(jīng)廣泛應用于土木工程領域[7]。由于結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(如固有頻率和模態(tài)振型)與其物理特性(如剛度、質(zhì)量和阻尼)直接相關，如果假定結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時，質(zhì)量和阻尼不發(fā)生變化，則其頻率和振型的變化可以作為結(jié)構(gòu)剛度降低(結(jié)構(gòu)損傷)的指標[8]?；谠囼炚駝訑?shù)據(jù)，使用模型修正方法“反算”結(jié)構(gòu)剛度的分布，是土木工程中典型的逆問題，而逆問題的求解往往伴隨著由模型誤差和測量噪聲導致的參數(shù)不確定性問題[9,10]。采用貝葉斯理論計算修正參數(shù)的最優(yōu)解，并從他們的聯(lián)合概率分布中評估參數(shù)的不確定性水平[11,12]，可以在一定程度上緩解結(jié)構(gòu)損傷識別過程中存在的病態(tài)性。Lam等[13,14]在基于貝葉斯模型修正的有砟軌道道砟層損傷識別研究方面做了開創(chuàng)性的工作，通過計算模型參數(shù)的后驗概率密度分布來獲得最可能模型的修正值從而進行損傷識別，該方法在進行損傷識別過程中需要以無損狀況下的道砟層剛度分布為基準線/參照線，而在實際應用中，無損狀態(tài)下的基準線比較難獲取。Huang等[15]對貝葉斯理論在結(jié)構(gòu)損傷識別和評估方面的最新研究進展進行了全面綜述。在實際應用中，結(jié)構(gòu)損傷往往只出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的少數(shù)單元，與結(jié)構(gòu)的所有單元相比，損傷單元在空間上是稀疏分布的?；谶@種先驗條件，Huang等[16,17]提出了多層次稀疏貝葉斯學習方法來推斷結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度，稀疏貝葉斯學習方法可以在迭代優(yōu)化的過程中自動促進損傷參數(shù)的稀疏性，有效降低損傷識別誤判的可能性。Hou等[18]簡化了多層次稀疏貝葉斯學習方法中表征參數(shù)精度的超參數(shù)個數(shù)，提出了基于 EM (Expectation-Maximization)算法和Laplace近似[19]的稀疏貝葉斯學習方法，并用懸臂梁和平面框架試驗驗證了算法的有效性，該方法的超參數(shù)個數(shù)較少，且有實際的物理意義，提高了模型修正和損傷識別的效率。

本文建立了包含鋼軌 - 軌枕 - 道砟層的二維有砟軌道模型，通過室內(nèi)兩跨三層異型框架結(jié)構(gòu)損傷試驗和有砟軌道室內(nèi)試驗的損傷工況試驗數(shù)據(jù)驗證了所提出的基于稀疏貝葉斯學習的道砟層損傷識別方法的有效性。

1 有砟軌道有限元模型

有砟軌道的三個主要構(gòu)件是鋼軌、軌枕以及枕下道砟層，如圖1所示，鋼軌承受列車的垂向荷載和橫向荷載，并將其傳遞給軌枕，軌枕的主要作用是支撐鋼軌并將鋼軌傳來的各項壓力傳遞給道砟層，道砟層再將軌枕傳下來的壓力均勻地傳給路基，阻止軌枕的移動，減緩和吸收輪軌的沖擊和振動，使軌道系統(tǒng)具有足夠的彈性。

圖1 有砟軌道結(jié)構(gòu)示意

圖2 二維有砟軌道模型示意

本文采用MATLAB建立了一個包含鋼軌 - 軌枕 - 道砟層的二維有砟軌道模型[13]。其中，將枕下道砟層模擬為等效剛度為k的彈性地基，軌枕用彈性地基上的Timoshenko梁模擬，兩根鋼軌模擬為梁上對應位置的附加質(zhì)量塊，如圖2所示。為得到道砟層剛度的分布，將枕下道砟層沿著軌枕的縱向平均分成n個區(qū)域[20]，第i區(qū)域道砟剛度的大小則為ki=cikb(i=1,2,…,n)，其中，kb為道砟層各區(qū)域等效剛度的標稱值，ci為各區(qū)域道砟剛度的比例系數(shù)。

理論上，當枕下道砟層不發(fā)生損傷時，其支承剛度基本不變；當枕下道砟層發(fā)生損傷時，軌枕下一定區(qū)域內(nèi)的支承剛度ki會減小，通過反問題求解出道砟層剛度變化量，就可識別出道砟層損傷。

由于軌枕橫截面沿軌枕縱向為變截面，為了較準確描述軌枕橫截面積大小沿軌枕縱向的變化，將軌枕等分為48個單元，忽略其軸向荷載和變形，考慮剪切變形對軌枕振動模態(tài)的影響，將軌枕模擬為Timoshenko梁，兩根鋼軌模擬為軌枕上的附加質(zhì)量塊。在本文中，有砟軌道模型的各項參數(shù)如表1所示。

表1 有砟軌道模型的各項參數(shù)[13]

2 稀疏貝葉斯學習理論

稀疏貝葉斯學習理論考慮了損傷總是發(fā)生在少數(shù)區(qū)域這一先驗信息[16]，通過賦予一個用來描述損傷參數(shù)不確定性的超參數(shù)來約束逆問題的求解。在迭代求解過程中，對于未發(fā)生損傷的區(qū)域，其損傷參數(shù)的超參數(shù)會逐漸趨近于無窮大，說明該區(qū)域損傷的概率逐漸趨近于無窮小，相應的損傷參數(shù)逐漸趨近于0，即將無損的區(qū)域識別出來，從而增加了逆問題求解的條件，加快了算法收斂的速度，最終得到全局最優(yōu)的收斂解。

2.1 基于EM算法的稀疏貝葉斯學習方法

當結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，其剛度會發(fā)生退化，其中第i個單元的損傷參數(shù)θi為：

(1)

損傷后結(jié)構(gòu)的固有頻率ω和模態(tài)振型φ包含了損傷的信息，稀疏貝葉斯學習理論是基于結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)振型在損傷前后的變化來識別道砟層的損傷位置和損傷程度。

根據(jù)貝葉斯理論，損傷參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)為：

p(θ|ω2,φ)=c-1p(ω2,φ|θ)p(θ)

(2)

式中：p(θ)為損傷參數(shù)的先驗分布；p(ω2,φ|θ)為模態(tài)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)；c-1為歸一化常數(shù)。

基于概率公理，參考文獻[18]，可得損傷參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)的表達式：

(3)

由式(3)可知，損傷參數(shù)θ的后驗概率密度函數(shù)依賴于超參數(shù){α,β,γ}的估計。采用EM算法最大化證據(jù)函數(shù)的自然對數(shù)的期望，得到超參數(shù){α,β,γ}的表達式為：

(4)

(5)

(6)

由于無法得到損傷參數(shù)θ后驗分布的解析表達式，采用Laplace近似方法，假定其為高斯分布，式(3)中損傷參數(shù)θ的最大后驗估計值可以通過最小化后驗概率密度函數(shù)的負對數(shù)求得，即等價于最小化目標函數(shù)J(θ)：

(7)

在優(yōu)化目標函數(shù)J(θ)的過程中，當超參數(shù)αi趨近于無窮大時，相應的θi會趨近于0，從而得到稀疏的識別結(jié)果；超參數(shù)β和γ控制著頻率和振型數(shù)據(jù)的參與程度，影響識別結(jié)果的精度。

(8)

2.2 基于稀疏貝葉斯學習的道砟層損傷識別方法

將有砟軌道模型中的枕下道砟層沿軌枕縱向分為n個區(qū)域[20]，假設除道砟剛度外，有砟軌道模型其余的各項參數(shù)均與有砟軌道在無損狀態(tài)下的各項參數(shù)一致。

對道砟剛度損傷參數(shù)θ進行識別的具體步驟如下：

Step1：以測量得到的有砟軌道的頻率和振型作為目標數(shù)據(jù)，同時對道砟剛度的損傷參數(shù)θ和超參數(shù)α，β，γ進行初始化，得到θ(0)，α(0)，β(0)，γ(0)。

Step 2：在第t(t≥1)次迭代過程中，采用EM算法不斷修正模型的超參數(shù)和道砟剛度的損傷參數(shù)，具體如下：

從模型來看，地方感的3個維度之間呈顯著正相關，具有較強的相互影響，且對身份認同與融合的作用存在差異。地方依戀和地方認同對身份認同與融合的直接貢獻為正，而地方滿意度對身份認同與融合的直接影響為負。

(9)

式中：Tol表示收斂準則，本文中Tol的值為10-4。

隨著損傷參數(shù)數(shù)目的增加，需要的迭代次數(shù)t也會逐漸增多，若測量數(shù)據(jù)充足，則可以保證識別結(jié)果具有較高的精度。

3 實驗驗證

3.1 異型鋼框架結(jié)構(gòu)實驗驗證

首先本文采用如圖3所示的實驗室兩跨三層異型鋼框架來驗證稀疏貝葉斯學習識別結(jié)構(gòu)損傷的有效性，其中框架結(jié)構(gòu)通過一塊鋼板固定在地面上，因此，可以將框架底部視為固定約束。框架結(jié)構(gòu)的尺寸如圖3所示。其中，梁和柱(除了單元4)的截面面積均為80.0×6.0 mm2，鋼材的楊氏模量為2.0×1011N/m2，密度為7.70×103kg/m3。在本次試驗研究中，將單根梁和柱當作一個歐拉伯努利梁單元，共計13個單元，每個單元長度為0.5 m。

圖3 實驗框架結(jié)構(gòu)示意/mm

第4個單元寬度為60 mm，其他材料屬性與框架結(jié)構(gòu)其他構(gòu)件一致，單元截面慣性矩的減小等價于結(jié)構(gòu)單元的損傷，即第4個單元的損傷程度為25%。柱上每250 mm布置一個測點，梁上不布置測點，總共16個測點，用力錘水平敲擊框架結(jié)構(gòu)，傳感器記錄各測點的水平加速度，采用模態(tài)識別方法提取框架結(jié)構(gòu)前4階固有頻率和模態(tài)振型。

采用稀疏貝葉斯學習迭代識別框架結(jié)構(gòu)的損傷結(jié)果如圖4所示?？蚣芙Y(jié)構(gòu)的前4階固有頻率的測量值、修正值以及振型的模態(tài)置信度準則值MAC值如表2所示，損傷工況下?lián)p傷參數(shù)的后驗概率分布如圖5所示。

圖4 框架結(jié)構(gòu)迭代過程中的損傷識別結(jié)果

由圖4可得，經(jīng)過2次迭代，結(jié)果收斂，能夠較為準確識別出結(jié)構(gòu)的損傷，識別結(jié)果為單元4損傷25.6%，識別誤差為2.4%。由表2可知，框架結(jié)構(gòu)實測固有頻率與識別出的固有頻率吻合較好，最大識別誤差為第2階頻率的1.94%，且前4階振型的MAC值均大于0.99，模態(tài)振型匹配良好。由圖5可知，損傷參數(shù)識別結(jié)果的區(qū)間在0.2～0.3之間，損傷程度接近25%。綜上可知，本文所提方法可以準確識別框架結(jié)構(gòu)損傷。

表2 損傷工況的前4階固有頻率

圖5 損傷工況下?lián)p傷參數(shù)的后驗概率分布

3.2 有砟軌道結(jié)構(gòu)實驗驗證

本文以文獻[14]的實驗損傷工況測量模態(tài)數(shù)據(jù)來驗證所提方法的有效性，實驗室模型中道砟層分成三個區(qū)域，從左到右的損傷參數(shù)分別為θ1，θ2，θ3；軌枕彈性模量的修正比例因子為θE，左右鋼軌的質(zhì)量修正比例因子分別為θL和θR。工況S1是在道砟層中間區(qū)域設置損傷，工況S2是在道砟層的左側(cè)和中間兩個區(qū)域分別設置損傷。采用文獻[14]有砟軌道兩種損傷工況下測量得到的頻率和振型以及兩種損傷工況下的軌枕和左右鋼軌的修正參數(shù)(表3)，識別道砟層的剛度損傷參數(shù)的最大后驗估計值，其結(jié)果如表4所示。

表3 兩種試驗損傷工況下的參數(shù)修正值

表4 兩種試驗損傷工況下道砟層的最大后驗估計值

兩種實驗損傷工況下有砟軌道的前四階固有頻率的測量值[14]、修正值以及振型的MAC值如表5所示，兩種損傷工況下?lián)p傷參數(shù)的后驗概率分布如圖6所示。

圖6 兩種試驗損傷工況下?lián)p傷參數(shù)的后驗概率分布

第一種損傷工況S1下，由表4可知，中間區(qū)域道砟剛度損傷了99%，左右兩側(cè)區(qū)域的道砟剛度接近無損狀態(tài)，識別出的道砟剛度分布和試驗預設的一致，表明所提出的基于稀疏貝葉斯學習的道砟層損傷識別方法可以準確識別出道砟層損傷。由表5可知，實測固有頻率與識別出的固有頻率吻合較好，最大識別誤差為第3階頻率的3.82%，其次為第1階頻率的3.38%，其余2階頻率的識別誤差均小于1%；前4階振型的MAC值均大于0.99，匹配度較好。由圖6a的損傷參數(shù)后驗概率分布陡峭可知，損傷參數(shù)識別結(jié)果的不確定性較小。

表5 兩種試驗損傷工況下有砟軌道的前4階固有頻率

第二種損傷工況S2下，由表4可知，左側(cè)和中間區(qū)域道砟剛度分別降低了34%，51%，右側(cè)區(qū)域的道砟剛度未發(fā)生變化，識別出的道砟剛度分布和試驗預設情況一致。由表5可知，實測固有頻率與識別出的固有頻率吻合較好，最大識別誤差為第4階頻率的3.40%，其余3階頻率的識別誤差均小于1%；前3階振型的MAC值均大于0.98，匹配度較好。由圖6b損傷參數(shù)的后驗概率分布可知，左側(cè)區(qū)域損傷參數(shù)的不確定度較小，中間區(qū)域損傷參數(shù)的不確定度相較左側(cè)區(qū)域較高，兩者的不確定度都在可接受范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

本研究提出了一種基于稀疏貝葉斯學習的有砟軌道枕下道砟層損傷識別方法，該方法利用有砟軌道系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)據(jù)，使用基于EM迭代算法的稀疏貝葉斯學習方法對有砟軌道的有限元模型進行修正，計算道砟層的剛度損傷參數(shù)，從而對道砟層損傷進行定位和定量識別。相關結(jié)論如下：

(1)道砟層損傷實驗結(jié)果表明，采用稀疏貝葉斯學習方法能夠識別相應的道砟層剛度損傷參數(shù)，成功定位和定量識別道砟層的損傷。

(2)稀疏貝葉斯學習通過最大化證據(jù)函數(shù)來處理超參數(shù)的優(yōu)化，促進了道砟層剛度損傷識別結(jié)果的稀疏性，加快了算法收斂的速度。

(3)與確定性損傷識別方法相比，稀疏貝葉斯學習可以計算損傷參數(shù)的后驗概率分布，從而定量描述損傷識別結(jié)果的不確定度。有望為道砟層的損傷檢測及維修養(yǎng)護提供一定的技術保障。