鐘會(huì)影，沈文霞，藏秋緣，許嚴(yán)芮

（1.東北石油大學(xué)提高油氣采收率教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶 163318；2.中國石油大慶油田分公司井下作業(yè)分公司，黑龍江大慶 163311）

0 引言

化學(xué)驅(qū)已成為國內(nèi)外大多油田提高采收率的主要方法，其中聚合物驅(qū)技術(shù)是應(yīng)用最廣泛的方法［1］，以大慶油田為例，已有50 余個(gè)區(qū)塊成功開展了工業(yè)化規(guī)模的聚合物驅(qū)油。相較于水驅(qū)，聚合物驅(qū)采收率平均提高了約13%，正在實(shí)施的二類油層聚合物驅(qū)提效項(xiàng)目，也有望在水驅(qū)基礎(chǔ)上提高原油采收率10%以上［2-5］。注聚過程中為了提高井注入能力，往往會(huì)提高其注入壓力，當(dāng)注入壓力高于地層破裂壓力時(shí)，將在近井地帶形成誘導(dǎo)裂縫［6］，給油藏進(jìn)一步挖潛帶來困難。因此，明確誘導(dǎo)裂縫特征及參數(shù)成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

關(guān)于誘導(dǎo)裂縫對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響研究人員已做過很多研究。Hagoort［7］首先給出注水誘導(dǎo)裂縫的概念，并提出可采用與井筒儲(chǔ)集效應(yīng)相似的變流量方法求解關(guān)井壓力測(cè)試時(shí)裂縫閉合導(dǎo)致的流量變化；Koning［8］在Hagoort 的基礎(chǔ)上利用拉氏變換等方法求解出二維瞬態(tài)橢圓方程的解析解，給出了在裂縫存在條件下水驅(qū)的壓力動(dòng)態(tài)；Hoek 等［9-10］研究了水驅(qū)在考慮動(dòng)態(tài)裂縫閉合不同邊界條件下的井底壓力解，在處理裂縫閉合時(shí)，將裂縫儲(chǔ)集系數(shù)分為常數(shù)及隨壓力變化2 種情況，并給出無限導(dǎo)流裂縫閉合的解析解及半解析解。國內(nèi)學(xué)者對(duì)誘導(dǎo)裂縫成因機(jī)理及其延伸規(guī)律以及注水誘導(dǎo)裂縫關(guān)井閉合的壓力動(dòng)態(tài)曲線也進(jìn)行了相關(guān)研究［11-13］。

在實(shí)際水驅(qū)開發(fā)后的注聚階段，由于聚合物具有剪切變稀、濃度擴(kuò)散、滲透率下降等特征［14］，考慮誘導(dǎo)裂縫閉合條件下的數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解就顯得尤為方便，PEBI 變尺度混合網(wǎng)格及其符合物理滲流的網(wǎng)格劃分在數(shù)值計(jì)算中凸顯優(yōu)勢(shì)［15-16］。為此，本文采用數(shù)值試井方法，基于PEBI 網(wǎng)格剖分，綜合考慮聚合物溶液黏濃關(guān)系、剪切效應(yīng)、滲透率下降以及吸附機(jī)理，建立考慮誘導(dǎo)裂縫的聚合物驅(qū)垂直裂縫井?dāng)?shù)學(xué)模型，并對(duì)注聚井壓力動(dòng)態(tài)曲線特征及影響因素進(jìn)行分析，形成考慮誘導(dǎo)裂縫閉合的注聚井壓力降落動(dòng)態(tài)研究方法。該研究結(jié)果可進(jìn)一步拓展注聚井壓力動(dòng)態(tài)分析方法，以期為準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)誘導(dǎo)裂縫規(guī)模及參數(shù)提供重要的理論支持。

1 物理模型的建立

1.1 混合PEBI 網(wǎng)格剖分方法

網(wǎng)格剖分是油藏空間離散的基礎(chǔ)，在滲流過程中PEBI 網(wǎng)格剖分可分為圓模塊、圓角矩形模塊、平面模塊幾種形式［15］。PEBI 網(wǎng)格的優(yōu)勢(shì)在于可利用變尺度縮小網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)目，減少計(jì)算量，且網(wǎng)格剖分更符合物理滲流過程，描述流動(dòng)更準(zhǔn)確。

1.2 物理模型

假設(shè)無限大地層中有一口注聚井，一條與井筒共面的垂直誘導(dǎo)裂縫，且在垂直方向上貫穿整個(gè)油層，以定流量Q注入，建立考慮誘導(dǎo)裂縫的均質(zhì)油藏聚合物驅(qū)垂直裂縫井物理模型（圖1）。對(duì)含垂直裂縫井的無限大地層進(jìn)行空間離散，在裂縫周圍采用復(fù)合線性流動(dòng)的圓角矩形模塊進(jìn)行網(wǎng)格剖分；在遠(yuǎn)井地帶，采用復(fù)合橢圓及徑向流特征的變尺度網(wǎng)格剖分（圖2）。

假設(shè)條件：外邊界無限大，地層上下為不滲透邊界，誘導(dǎo)裂縫關(guān)于井筒對(duì)稱，裂縫末端封閉；誘導(dǎo)裂縫內(nèi)壓力相同；單相微可壓縮流體流動(dòng)；考慮井筒儲(chǔ)存和表皮效應(yīng)。

2 聚合物滲流特征數(shù)學(xué)模型

2.1 濃度分布模型

聚合物溶液在多孔介質(zhì)內(nèi)流動(dòng)，會(huì)發(fā)生濃度擴(kuò)散與對(duì)流作用，綜合Fick 定律、對(duì)流通量變化及物質(zhì)守恒原理，得到聚合物溶液在地層中濃度擴(kuò)散方程的散度形式為

式中：Q為流量，m3/s；r為網(wǎng)格到井中心的徑向距離，m；h為地層厚度，m；φ為孔隙度，%；D為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；t為時(shí)間，s；Cp為聚合物質(zhì)量濃度，kg/m3。

2.2 黏度模型

聚合物溶液的黏度與其在多孔介質(zhì)內(nèi)的濃度及剪切速率有關(guān)。聚合物溶液黏度μp、剪切速率γ˙的關(guān)系可表達(dá)為［17］

式中：μp為聚合物流動(dòng)時(shí)的有效黏度，Pa·s；μ∞為剪切率趨于無窮大時(shí)聚合物溶液黏度，近似等于水的黏度，Pa·s；μ0為聚合物零剪切黏度，Pa·s；γ˙為剪切速率，s-1；γ˙1/2為μp=()μ0+μ∞/2μ 時(shí)所對(duì)應(yīng)的剪切速率，s-1；Pα為無因次常數(shù)。

零剪切黏度與濃度的關(guān)系可表示為

式中：A1，A2，A3為與聚合物溶液有關(guān)的常數(shù)，其單位分別為（kg/m3）-1，（kg/m3）-2和（kg/m3）-3；μw為水的黏度，Pa·s。

2.3 滲透率模型

聚合物溶液在多孔介質(zhì)流動(dòng)過程中，往往伴隨著吸附滯留現(xiàn)象，增大附加阻力從而導(dǎo)致地層滲透率下降，通過引入滲透率下降系數(shù)Rk來修正滲透率模型，建立聚合物溶液修正滲透率模型［18］。

式中：bp為實(shí)驗(yàn)確定常數(shù)，10-4；Rkmax［19］為最大滲透率下降系數(shù)，1.621。

滲透率模型為

式中：K為地層滲透率，mD；Kp考慮聚合物吸附作用后的滲透率，mD。

3 考慮誘導(dǎo)裂縫聚合物驅(qū)垂直裂縫井?dāng)?shù)學(xué)模型

3.1 模型的建立

考慮誘導(dǎo)裂縫的均質(zhì)油藏聚合物驅(qū)垂直裂縫井?dāng)?shù)值試井模型主要包括基本滲流微分方程，井以定產(chǎn)量生產(chǎn)、外邊界無限大的邊界條件以及初始條件3 個(gè)部分，由此建立考慮誘導(dǎo)裂縫的聚合物驅(qū)垂直井?dāng)?shù)值試井?dāng)?shù)學(xué)模型。

運(yùn)動(dòng)方程為

式中：v為滲流速度，m/s；?P為壓力梯度，Pa/m。

液體狀態(tài)方程為

式中：B為體積系數(shù)；B0為原始體積系數(shù)；CL為液體壓縮系數(shù)，Pa-1；P 為網(wǎng)格壓力，Pa；Pa為原始大氣壓，Pa。

巖石狀態(tài)方程為

式中：φ0為原始孔隙度，%；Cf為巖石壓縮系數(shù)，Pa-1。

連續(xù)性方程為

式中：ρ為流體密度，kg/m3。

將式（6）、式（7）、式（8）同時(shí)代入式（9）中，得到考慮誘導(dǎo)裂縫的均質(zhì)油藏單相流數(shù)值試井模型微分方程

3.2 模型的求解

有限體積法具有處理復(fù)雜邊界滲流問題的優(yōu)越性，本文采用有限體積法進(jìn)行離散求解。PEBI 網(wǎng)格單元與其鄰接網(wǎng)格關(guān)系如圖3 所示。

首先對(duì)濃度方程在控制體內(nèi)進(jìn)行積分

根據(jù)高斯定理，將體積積分［式（11）］轉(zhuǎn)化為面積積分，再根據(jù)PEBI 網(wǎng)格特點(diǎn)，得到質(zhì)量濃度方程離散形式為

對(duì)式（10）在控制體積和時(shí)間段上積分，得到

根據(jù)高斯定理，將式（13）左邊的體積分簡(jiǎn)化為網(wǎng)格單元界面周圍的面積分

由于PEBI 網(wǎng)格局部正交特性，最終離散得到

式中：Pi為網(wǎng)格i的壓力，Pa；Pj為與網(wǎng)格i鄰接的網(wǎng)格j的壓力，Pa；Tij為傳導(dǎo)系數(shù)，為PEBI 網(wǎng)格任意2 個(gè)相鄰網(wǎng)格中心點(diǎn)之間的流動(dòng)系數(shù)λij與其幾何因子Gij的乘積，m3/（Pa·s）；λij為任意2 個(gè)相鄰網(wǎng)格中心點(diǎn)之間的流動(dòng)系數(shù)，m3/（Pa·s）；Gij為網(wǎng)格i和j之間的幾何因子，m；ωij為相鄰網(wǎng)格i，j之間流體流動(dòng)的截面面積，m2；?Cp為聚合物質(zhì)量濃度梯度，kg/m4；S為表皮系數(shù)；Δt為關(guān)井時(shí)間，s；Vi為網(wǎng)格i的體積，m3；Vj為網(wǎng)格j的體積，m3。

對(duì)考慮誘導(dǎo)裂縫的聚合物驅(qū)垂直裂縫井物理模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，通過計(jì)算得到地層總流量為

式中：Qi井筒與相鄰網(wǎng)格i間的流量，m3/s；Qc為井筒儲(chǔ)集效應(yīng)的流量，m3/s；Pwf為井底壓力，Pa；C為井筒儲(chǔ)集系數(shù)，m3/Pa；λ為網(wǎng)格i與井筒間的傳導(dǎo)率，m2/（Pa·s）；WIi為生產(chǎn)指數(shù)，m，WIi=其中θ為網(wǎng)格i相對(duì)井的張開弧度，rad；ri為網(wǎng)格i的徑向距離，m；rw為井筒半徑，m；S為表皮系數(shù)。

結(jié)合式（12）、式（15）、式（16）及邊界條件得到考慮誘導(dǎo)裂縫的聚合物驅(qū)垂直裂縫井?dāng)?shù)值離散方程，求解得到井底壓力動(dòng)態(tài)變化，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行無量綱化，無量綱化的計(jì)算公式為

式中：PwD為無量綱井底壓力；tD為無量綱時(shí)間；CD為無量綱井筒儲(chǔ)集系數(shù)；FCD為無量綱導(dǎo)流系數(shù)；Ct為流體和裂縫的總壓縮系數(shù)，Pa-1；pi為原始地層壓力，Pa；rw為井筒半徑，m；φp為考慮聚合物吸附作用后的孔隙度，%；Kf為裂縫滲透率，mD。

3.3 誘導(dǎo)裂縫閉合模型

注聚井關(guān)井測(cè)壓，井底流壓PwD逐漸降低，當(dāng)其降低至低于裂縫開始時(shí)的閉合壓力時(shí)，誘導(dǎo)裂縫開始閉合。Dam等［20］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，關(guān)井測(cè)壓時(shí)誘導(dǎo)裂縫首先從尖端開始閉合，之后逐漸向井筒靠攏。為此本文考慮裂縫橫向閉合（圖4），裂縫半長變化滿足式（21）［21］。

式中：Lf為裂縫半長，m；Lf0為初始裂縫半長，m；PwD為井底壓力；為關(guān)井后裂縫開始閉合時(shí)的壓力；delpat為裂縫閉合速度因子。

誘導(dǎo)裂縫閉合會(huì)導(dǎo)致其滲透率發(fā)生變化，張陽等［22］的研究發(fā)現(xiàn)，即使裂縫完全閉合，其滲透率仍比地層滲透率高950.4 倍左右。說明即使壓裂過程中沒有支撐劑，裂縫的存在也可顯著提高地層滲流條件。

由此建立動(dòng)態(tài)滲透率模型

式中：Kf0為裂縫初始滲透率，mD；Kf1為裂縫閉合滲透率，mD；i為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)號(hào)。基于上述方法，其計(jì)算流程如圖5 所示。

4 壓力動(dòng)態(tài)曲線特征及參數(shù)敏感性

通過計(jì)算得到無量綱井底壓力及其壓力導(dǎo)數(shù)，繪制典型壓力和壓力導(dǎo)數(shù)動(dòng)態(tài)曲線，從而研究不同參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)曲線的影響（表1）。

表1 模型參數(shù)Table 1 Simulation parameters

4.1 壓力曲線特征分析

考慮誘導(dǎo)裂縫的聚合物驅(qū)垂直裂縫井典型試井曲線（圖6）存在5 個(gè)流動(dòng)段：純井筒儲(chǔ)存階段（Ⅰ段），該階段曲線主要受井筒儲(chǔ)集系數(shù)影響，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，無因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線重合，呈現(xiàn)一條斜率為1.00 的直線；雙線性流階段（Ⅱ段），為誘導(dǎo)裂縫內(nèi)及裂縫周圍流體的線性流，該階段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線互相平行，壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為0.25的直線段；線性流階段（Ⅲ段），即誘導(dǎo)裂縫內(nèi)流體向地層的流動(dòng)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為0.50的線性流階段；橢圓流階段（Ⅳ段），此階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為0.36 的直線；徑向流階段（Ⅴ段），壓力波及范圍逐漸擴(kuò)大，水驅(qū)壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈水平直線段而聚合物驅(qū)則為一條上翹的曲線，這是由于聚合物在多孔介質(zhì)內(nèi)的剪切變稀作用，滲流阻力變化從而曲線上翹。本模型計(jì)算的聚合物驅(qū)垂直裂縫的壓力動(dòng)態(tài)特征曲線與徐有杰等［23］得出的特征曲線流動(dòng)階段及各階段特征一致，說明了該方法正確可靠。

4.2 參數(shù)敏感性

聚合物濃度的變化對(duì)試井壓力產(chǎn)生影響，聚合物濃度越大其黏度越大，滲流阻力也越大（圖7）。從圖中可看出，隨著濃度增加，雙線性流及非牛頓徑向流階段曲線均靠上；當(dāng)聚合物注入質(zhì)量濃度為0 時(shí)，徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈水平直線段，與水驅(qū)現(xiàn)象一致。裂縫長度也會(huì)影響試井壓力，隨著裂縫半長的增加，雙線性流持續(xù)時(shí)間變長（圖8）。

4.3 誘導(dǎo)裂縫閉合壓力動(dòng)態(tài)特征

為驗(yàn)證方法的正確性，本次研究將聚合物設(shè)置為注入水，計(jì)算注水井關(guān)井后的裂縫閉合壓力，并將壓力動(dòng)態(tài)曲線與Hoek［21］的參數(shù)解析解進(jìn)行對(duì)比研究（圖9）。從圖上可以看出，基于PEBI 網(wǎng)格的考慮裂縫閉合的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與Hoek［21］的參數(shù)解析解吻合良好。誘導(dǎo)裂縫閉合時(shí)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)一個(gè)突起的尖峰。

將誘導(dǎo)裂縫閉合過程看作裂縫長度的變化，通過引入裂縫閉合速度因子（delpat）來控制裂縫閉合的快慢。誘導(dǎo)裂縫閉合使無因次壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線迅速上升，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上升趨勢(shì)更為顯著，形成一個(gè)“尖峰”（圖10）。delpat越小，裂縫閉合越快，壓力導(dǎo)數(shù)“尖峰”也就越明顯。相反，delpat越大，裂縫閉合越慢，壓力導(dǎo)數(shù)“尖峰”越不顯著，曲線越靠右。delpat值的變化主要對(duì)后期擬徑向流出現(xiàn)時(shí)間的早晚產(chǎn)生影響，聚合物驅(qū)與水驅(qū)誘導(dǎo)裂縫閉合的區(qū)別主要在裂縫閉合后，由于聚合物擴(kuò)散及剪切稀化等流變特性使得其徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹。

5 結(jié)論

（1）考慮誘導(dǎo)裂縫的注聚井壓力動(dòng)態(tài)曲線劃分為5 個(gè)流動(dòng)段：純井筒儲(chǔ)存階段，雙線性流階段，線性流階段，橢圓流階段，非牛頓徑向流階段。

（2）聚合物濃度主要影響試井壓力變化的后期。曲線上表現(xiàn)為隨著濃度增加，曲線上翹明顯；裂縫半長越小，線性流階段持續(xù)時(shí)間越短。

（3）注聚井關(guān)井測(cè)壓時(shí)，裂縫閉合速度因子（delpat）越大，閉合越慢，壓力導(dǎo)數(shù)曲線峰值越低，曲線越靠右，晚期擬徑向流出現(xiàn)時(shí)間越晚。