胡 芳

一、“坐標(biāo)法” 一課的教學(xué)意義和教學(xué)內(nèi)容

（一）教學(xué)意義

從宏觀上看，數(shù)學(xué)的核心是空間幾何和抽象代數(shù)幾何。要實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解，學(xué)生需要學(xué)習(xí)坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)。教師引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中研究平面幾何，在空間直角坐標(biāo)系中研究立體幾何，把幾何推理與代數(shù)運(yùn)算緊密聯(lián)系在一起，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，能夠使學(xué)生形成對(duì)世界的正確認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

從微觀上看，幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，坐標(biāo)法是解決幾何推理與代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的重要方法，用坐標(biāo)法推理論證和求解，不僅可以使幾何與代數(shù)相互為用、相得益彰，還可以增強(qiáng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具必然性。坐標(biāo)法微單元不僅僅是平面向量微單元的復(fù)習(xí)與鞏固，也是平面解析幾何微單元的開(kāi)篇與前奏，更是這兩個(gè)微單元緊密聯(lián)系的紐帶和自然過(guò)渡。在必修課程與選擇性必修課程中，坐標(biāo)法向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和一定的物理背景。向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用。

（二）教學(xué)內(nèi)容

坐標(biāo)法的重要性在高中數(shù)學(xué)教材中有三次明顯體現(xiàn)：第一次是在高中教材《數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第六章“平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用”一節(jié)，坐標(biāo)法在平面幾何證明中發(fā)揮了重要作用；第二次出現(xiàn)在高中教材《數(shù)學(xué)》 選擇性必修第一冊(cè)第一章“空間向量及其運(yùn)算”一節(jié)，坐標(biāo)法成為解決立體問(wèn)題的利器；第三次出現(xiàn)在高中教材《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第二章“坐標(biāo)法”一節(jié)，該章節(jié)為學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中解決平面解析幾何問(wèn)題拉開(kāi)了序幕。站在單元的角度分析，將坐標(biāo)法三次出現(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行整合，組成坐標(biāo)法微單元（見(jiàn)圖1）。

圖1 坐標(biāo)法微單元整體設(shè)計(jì)

二、“坐標(biāo)法” 一課教學(xué)理念與創(chuàng)新點(diǎn)

（一）從幾何與代數(shù)角度開(kāi)展教學(xué)

第一，站在幾何與代數(shù)的角度上將高中數(shù)學(xué)教材中坐標(biāo)法相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合，設(shè)計(jì)成坐標(biāo)法微單元，使幾何與代數(shù)成為一個(gè)完整的、有機(jī)的整體。第二，將課堂作為課題研究的主陣地，在課堂上進(jìn)行課題研究，從“小課”開(kāi)始，打造有價(jià)值的課堂。第三，調(diào)整教學(xué)方式方法，努力把大多數(shù)數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化成可供學(xué)生思考的問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。第四，將解析幾何的重要方法（坐標(biāo)法）、思維融入各個(gè)微單元教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平面解析幾何的基本知識(shí)，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)與能力的螺旋式上升（見(jiàn)圖2），提升學(xué)生的綜合能力。

圖2 坐標(biāo)法教學(xué)中平面解析幾何的學(xué)習(xí)邏輯

（二）利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題

新版高中教材《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)中“坐標(biāo)法”一節(jié)的核心內(nèi)容是平面向量與平面解析幾何銜接，這部分內(nèi)容是坐標(biāo)法微單元的開(kāi)篇，是平面向量與平面解析幾何兩個(gè)大單元的銜接內(nèi)容，不僅僅是借助幾何問(wèn)題對(duì)已有平面向量知識(shí)進(jìn)行回顧，更是平面解析幾何研究思路建構(gòu)的開(kāi)始，學(xué)好這部分內(nèi)容，有利于學(xué)生以后在直角坐標(biāo)系中解決幾何問(wèn)題。

此次教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)平面向量與平面解析幾何緊密聯(lián)系，在突出坐標(biāo)法和向量工具性的同時(shí)將平面解析幾何的研究脈絡(luò)自然引入，因此對(duì)新教材中“坐標(biāo)法”一節(jié)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行微調(diào)。在教學(xué)過(guò)程中，教師用向量方法推導(dǎo)平面直角坐標(biāo)系中的基本公式。

三、“坐標(biāo)法” 一課的教學(xué)提問(wèn)

為檢驗(yàn)教學(xué)效果，提高基于深度學(xué)習(xí)理論的單元教學(xué)質(zhì)量，本文著眼于引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)提問(wèn)，對(duì)“坐標(biāo)法”一課的課堂實(shí)錄進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。筆者從45 分鐘的“坐標(biāo)法”第一課時(shí)課堂實(shí)錄中人工搜集了所有教學(xué)提問(wèn)，分析該課教學(xué)提問(wèn)設(shè)計(jì)。

（一）教學(xué)提問(wèn)設(shè)計(jì)

教學(xué)提問(wèn)設(shè)計(jì)包括設(shè)計(jì)教學(xué)提問(wèn)類型、預(yù)設(shè)學(xué)生回答方式、研究問(wèn)題深度等。

教學(xué)提問(wèn)類型包括常規(guī)管理性問(wèn)題、記憶性問(wèn)題、推理性問(wèn)題、創(chuàng)造性問(wèn)題和批判性問(wèn)題。若要引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，那么課堂上記憶性問(wèn)題應(yīng)盡量減少，有利于學(xué)生深度思考的推理性、創(chuàng)造性和批判性問(wèn)題應(yīng)增多[1]?！白鴺?biāo)法”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)中共提出63 個(gè)問(wèn)題，其中需要學(xué)生明確回應(yīng)和思考的問(wèn)題有54 個(gè)，根據(jù)引發(fā)學(xué)生思考的深度將教學(xué)課堂提問(wèn)分為不同梯度，其中常規(guī)管理性問(wèn)題、記憶性問(wèn)題共有8 個(gè)，推理性問(wèn)題有32個(gè)，創(chuàng)造性問(wèn)題有6 個(gè)，批判性問(wèn)題有8 個(gè)。根據(jù)計(jì)算得知：教學(xué)設(shè)計(jì)中記憶性問(wèn)題占所有提問(wèn)的14.81%，低于32.81%的常模數(shù)據(jù)占比，說(shuō)明教師的提問(wèn)不以機(jī)械性記憶問(wèn)題為主；推理性問(wèn)題占比59.26%，批判性問(wèn)題占比14.81%，兩項(xiàng)指標(biāo)遠(yuǎn)高于常模數(shù)據(jù)占比，這樣的提問(wèn)類型分布說(shuō)明教學(xué)提問(wèn)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生深度思考。

教學(xué)提問(wèn)設(shè)計(jì)不僅包括問(wèn)題設(shè)計(jì)，還包括問(wèn)題回答方式的設(shè)計(jì)。課堂教學(xué)中教師挑選學(xué)生回答問(wèn)題的方式主要包括點(diǎn)名提問(wèn)、讓學(xué)生齊答、叫舉手者答、叫未舉手者答和鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題。如果課堂上叫未舉手者答和鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題的問(wèn)題回答方式占比高，則說(shuō)明教師在課堂上照顧到了沒(méi)有勇氣舉手的學(xué)生，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，有利于引發(fā)學(xué)生深入思考。常模數(shù)據(jù)中叫未舉手者答的占19.7%，鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題的占0.86%，而“坐標(biāo)法”課堂實(shí)錄中這兩項(xiàng)指標(biāo)分別是53.85%和7.69%，遠(yuǎn)高于常模數(shù)據(jù)。這說(shuō)明“坐標(biāo)法”一課的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)照顧到了大部分沒(méi)有勇氣回答問(wèn)題的學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考。

在教學(xué)過(guò)程中，為了引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有必要研究教學(xué)提問(wèn)的深度。教師可以進(jìn)行“四何”問(wèn)題設(shè)計(jì)?！八暮巍眴?wèn)題指的是以下四類問(wèn)題：“是何”問(wèn)題（引導(dǎo)學(xué)生直接從數(shù)學(xué)定義出發(fā)給出解答的問(wèn)題）、“為何”問(wèn)題（引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題背后的原因的問(wèn)題）、“如何”問(wèn)題（學(xué)生需要給出解決方案的問(wèn)題）、“若何”問(wèn)題（引導(dǎo)學(xué)生深入思考還能怎么辦的問(wèn)題）?！白鴺?biāo)法”課堂上具有深度的“如何”問(wèn)題和“若何”問(wèn)題占比分別是22.22%和7.41%，都高于常模數(shù)據(jù)占比，這說(shuō)明“坐標(biāo)法”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)于普通教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)提問(wèn)的質(zhì)量比常規(guī)課堂教學(xué)提問(wèn)質(zhì)量要高。例如，在引導(dǎo)學(xué)生分析和解決與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)提問(wèn)：“看到這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)同學(xué)們想到了什么？同學(xué)們還能設(shè)計(jì)哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？”這樣的教學(xué)提問(wèn)能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的基本習(xí)慣，形成由數(shù)想形、以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。

（二）教學(xué)提問(wèn)方式改進(jìn)策略

第一，提高追問(wèn)占比。根據(jù)教師對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題的態(tài)度，可以將教師回應(yīng)態(tài)度分為肯定回應(yīng)、否定回應(yīng)、無(wú)回應(yīng)、打斷學(xué)生回答、代答、追問(wèn)。鼓勵(lì)學(xué)生積極回答、進(jìn)行高質(zhì)量的追問(wèn)能夠促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，也是教學(xué)提問(wèn)的重要內(nèi)容。在“坐標(biāo)法”一課的教學(xué)中，教師追問(wèn)的占比為23.08%，雖然高于常模數(shù)據(jù)占比，但是不足30%，因此教師可以提高追問(wèn)的質(zhì)量，增加追問(wèn)的數(shù)量，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)。在具體教學(xué)中，教師可以把學(xué)生的觀點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，進(jìn)行追問(wèn)：“其他同學(xué)有需要補(bǔ)充完善的嗎？同學(xué)們還有什么不同意見(jiàn)和建議嗎？”把一種知識(shí)同其他知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，把昨天學(xué)到的知識(shí)同今天學(xué)習(xí)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，把這個(gè)學(xué)生和那個(gè)學(xué)生的想法串聯(lián)起來(lái)，不斷訓(xùn)練學(xué)生的思維，使學(xué)生去比較、發(fā)現(xiàn)和分享，從而真正引發(fā)學(xué)生深入思考。

第二，精研“深度指導(dǎo)”。所謂“深度指導(dǎo)”是指課堂上教師對(duì)學(xué)生的回答予以肯定，并且能向?qū)W生提出更好的解決方案或可行的改進(jìn)、提升方案。“坐標(biāo)法”這節(jié)課上的“深度指導(dǎo)”僅占5.26%，低于常模數(shù)據(jù)，這說(shuō)明教師需要在“深度指導(dǎo)”方面進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)。針對(duì)此種情況，可以從兩個(gè)方面改進(jìn)：一是注重傾聽(tīng)，傾聽(tīng)包括師生之間和生生之間的傾聽(tīng)，教師應(yīng)以“學(xué)”為中心，構(gòu)建課堂上的“學(xué)習(xí)共同體”，去傾聽(tīng)每一個(gè)學(xué)生的心聲，只有用心傾聽(tīng)學(xué)生真實(shí)的想法和思路才有可能實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步、彼此促進(jìn)、思維火花的迸發(fā)與碰撞；二是反思，反思包括對(duì)提問(wèn)和回答兩個(gè)方面的反思，教師需要分析好的提問(wèn)和優(yōu)秀的回答到底好在哪里、是否可以更好、怎樣可以更好，不斷總結(jié)提煉，對(duì)提問(wèn)進(jìn)行完善，提升教學(xué)效果，促使學(xué)生不斷進(jìn)步。例如，在“坐標(biāo)法”這節(jié)課的導(dǎo)入部分，教師可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：“同學(xué)們用坐標(biāo)法研究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系得到了平面直角坐標(biāo)系中重要的兩個(gè)基本公式，那么同學(xué)們能否用同樣的方法解決更多的幾何關(guān)系問(wèn)題呢？”教師通過(guò)這樣的教學(xué)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考，傾聽(tīng)學(xué)生的回答并進(jìn)一步肯定學(xué)生的可行方案，最終使學(xué)生思維得到不斷發(fā)展。

第三，提升課堂師生對(duì)話深度。課堂教學(xué)離不開(kāi)師生之間的對(duì)話，而課堂提問(wèn)是常見(jiàn)的對(duì)話形式。教師可以開(kāi)展小組教學(xué)活動(dòng)并設(shè)置相應(yīng)問(wèn)題以提高自己與學(xué)生之間的對(duì)話深度。例如，設(shè)計(jì)小組交流分享的環(huán)節(jié)，讓學(xué)習(xí)中遇到困難的學(xué)生可以更好地觀察和借鑒已經(jīng)達(dá)成目標(biāo)的學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與思維方式，讓學(xué)優(yōu)生通過(guò)與其他學(xué)生的對(duì)話鞏固所學(xué)知識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)中，既進(jìn)行著各種認(rèn)知活動(dòng)（感知、記憶、思維等），又要對(duì)自己的各種認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行積極的監(jiān)控和調(diào)節(jié)，這種對(duì)自己的感知、記憶、思維等認(rèn)知活動(dòng)本身的再感知、再記憶、再思維就稱為元認(rèn)知。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)為學(xué)生提供更多思維碰撞的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，在合作交流中獲得知識(shí)，還要對(duì)學(xué)生進(jìn)行正向引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)自己的學(xué)習(xí)，反思解剖自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，自我調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)策略，從而提高學(xué)生的元認(rèn)知能力。此外，教師應(yīng)以學(xué)生為中心，巧設(shè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，并促進(jìn)生生之間交流互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。