劉海博 宋向東

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

一、引言

控制圖為統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制過(guò)程作出了極大貢獻(xiàn)，可以較為直觀地觀察過(guò)程是否穩(wěn)定可控。1924年，Shewhart繪制出了第一張質(zhì)量控制圖，并以此命名為休哈特控制圖[1]。后續(xù)各國(guó)學(xué)者在休哈特控制圖的基礎(chǔ)上演變出兩類控制圖：一是1954年P(guān)age提出的基于序貫概率比檢驗(yàn)的CUSUM控制圖[2]；二是1959年Robert通過(guò)賦予樣本不同權(quán)重的EWMA控制圖[3]。這兩類控制圖作為休哈特控制圖的變體，均能很好地對(duì)中小偏移作出更快速地響應(yīng)，在實(shí)際生產(chǎn)中均被廣泛使用。以上所述的控制圖均是以抽樣區(qū)間、樣本容量固定不變?yōu)榍疤岬撵o態(tài)控制圖，當(dāng)控制樣本接近控制限時(shí)，此時(shí)的監(jiān)控過(guò)程已經(jīng)大概率存在偏移，若仍按原來(lái)的抽樣區(qū)間間隔或樣本量進(jìn)行監(jiān)控，就不能及時(shí)預(yù)知生產(chǎn)過(guò)程的偏移變化，將會(huì)造成生產(chǎn)損失?；诳勺兂闃訁^(qū)間或可變樣本容量的動(dòng)態(tài)控制圖也被越來(lái)越多的學(xué)者加以研究，且已有研究證明動(dòng)態(tài)控制圖在生產(chǎn)質(zhì)量控制過(guò)程中表現(xiàn)更加合理[4-5]。

極差R控制圖在傳統(tǒng)控制圖中一般用來(lái)取代標(biāo)準(zhǔn)差S控制圖，以計(jì)算方便、簡(jiǎn)單而廣受現(xiàn)場(chǎng)工作人員喜愛(ài)。在現(xiàn)有研究中，濮曉龍和汪洋等針對(duì)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)極差控制圖中現(xiàn)有的問(wèn)題，提出了非對(duì)稱極差控制圖[6]。張維銘提出了可變參數(shù)的中位數(shù)和極差控制圖，通過(guò)計(jì)算平均鏈長(zhǎng)比較二者的控制效率[7-9]。郭寶才和林雙苗等提出帶參數(shù)估計(jì)的極差控制圖設(shè)計(jì)，對(duì)等尾控制圖和無(wú)偏控制圖加以討論，利用Bootstrap方法對(duì)控制圖的控制限加以修正，使修正圖的條件受控平均鏈長(zhǎng)高于目標(biāo)值[10]。莊芳和郁淼淼等梳理了參數(shù)過(guò)程中常見(jiàn)的四類干擾項(xiàng)，從而比較不同EWMA控制圖的運(yùn)行效率及誤差[11]。尚云艷以提高控制圖對(duì)中小漂移的敏感度為目標(biāo)，設(shè)計(jì)了基于似然比的變化樣本容量的EWMA動(dòng)態(tài)控制圖[12]。

已有研究中，對(duì)于可變抽樣區(qū)間條件下的EWMA單邊極差圖的研究仍然存在空白，本文在已有研究基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了可變抽樣區(qū)間條件下的EWMA單邊極差圖，以總體服從正態(tài)分布為假設(shè)前提，通過(guò)計(jì)算平均報(bào)警時(shí)間（ATS）來(lái)比較控制圖效率。

二、VSI EWMA單邊極差控制圖描述

（一）極差相關(guān)統(tǒng)計(jì)量推導(dǎo)

設(shè)樣本點(diǎn) xi～N（μ，σ2），表示第 i點(diǎn)抽取的樣本，均來(lái)自同一生產(chǎn)過(guò)程且相互獨(dú)立，μ0、σ0分別為標(biāo)準(zhǔn)差的目標(biāo)值，即受控過(guò)程下的均值和方差。對(duì)于極差圖來(lái)說(shuō)，僅需要考慮標(biāo)準(zhǔn)差的變化，記σ=cσ0，c為標(biāo)準(zhǔn)差的偏移系數(shù)。c=1時(shí)，認(rèn)為過(guò)程無(wú)偏移；c≠1時(shí)，認(rèn)為過(guò)程存在偏移。記 R=X（n）-X（1），其中 X（1），X（2），…，X（n）為順序統(tǒng)計(jì)量。易推得極差R的分布函數(shù)FR（n）及概率密度函數(shù)fR（n）分別為：

其中，φ（·）和φ（·）分別為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，由上述表達(dá)式我們可知，極差的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)均與樣本量n有關(guān)。其對(duì)應(yīng)期望ER（n）和方差VarR（n）分別為：

值得注意的是，極差R的方差計(jì)算需要考慮X（1）與X（n）的相關(guān)性，以上均可通過(guò)MATLAB利用數(shù)值積分來(lái)計(jì)算結(jié)果。

（二）VSI EWMA單邊極差控制圖

EWMA控制圖，即指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖，所有抽取的觀測(cè)值都依賴于EWMA點(diǎn)，可以通過(guò)設(shè)置不同參數(shù)來(lái)規(guī)定不同程度的偏移。EWMA控制圖的優(yōu)點(diǎn)在于，它不僅考慮了當(dāng)前的樣本值，也考慮了歷史觀測(cè)值對(duì)現(xiàn)在的影響，最新的樣本值占最大權(quán)重，歷史觀測(cè)值按相反次序以幾何級(jí)數(shù)依次遞減加權(quán)，所以對(duì)于連續(xù)生產(chǎn)過(guò)程中的中小偏移有較高的敏感度。記EWMA統(tǒng)計(jì)量為：

Zt=（1-λ）Zt-1+λ Rt

其中，λ為平滑參數(shù)，0<λ≤ 1；Rt為第 t個(gè)樣本觀測(cè)值的極差。對(duì)于Z0一般記為μ0，λ=1時(shí)即為常見(jiàn)的Shewhart控制圖。

當(dāng)過(guò)程可控時(shí)：

E（Z）=ER（n）=μR（n）

為計(jì)算方便，取t→∞，此時(shí)方差會(huì)收斂于漸進(jìn)值，將其與單邊極差控制圖結(jié)合，可推得其上限UCL、上警戒限UWL為：

通常情況下取a=3，w=1。

對(duì)于常規(guī)控制圖來(lái)說(shuō)，通常需要同時(shí)控制圖的上限UCL、下限LCL，但由極差的含義可知，極差R只能取正值，遂在此僅討論單邊極差圖。由此，可將極差圖分為警戒域I1，中心域I2，失控域I3：

I1=（UWL，UCL）

I2=（0，UWL）

I3=（UCL，+∞ ）

對(duì)于固定抽樣區(qū)間控制圖來(lái)說(shuō)，樣本點(diǎn)與樣本點(diǎn)間的時(shí)間長(zhǎng)度固定不變?？勺兂闃訁^(qū)間極差控制圖的樣本抽樣區(qū)間則依賴于對(duì)應(yīng)極差值。對(duì)可變抽樣區(qū)間極差圖應(yīng)用有限個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度0

在固定樣本容量情況下，如果第一次抽樣樣本點(diǎn)落入中心域I2，對(duì)于第二次抽樣擴(kuò)大抽樣區(qū)間至s2以便節(jié)省成本；第一次抽樣樣本點(diǎn)落入警戒域I1，對(duì)于第二次抽樣縮短樣本區(qū)間至s1，以便更快響應(yīng)異常；樣本點(diǎn)落入失控域I3，及時(shí)報(bào)警。理論上來(lái)說(shuō)，短抽樣間隔s1越小越好，s1越小越能降低抽樣時(shí)間；長(zhǎng)抽樣間隔s2越大越好，s2越大越能減少抽樣次數(shù)，從而節(jié)約成本。

三、VSI EWMA單邊極差圖的平均鏈長(zhǎng)

常規(guī)固定抽樣區(qū)間控制圖，通常以平均鏈長(zhǎng)（ARL）作為控制圖效率的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即在發(fā)出失控通知前所抽取的樣本個(gè)數(shù)n；此時(shí)時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度乘以發(fā)出失控通知前的樣本數(shù)即從過(guò)程運(yùn)行至發(fā)出預(yù)警所需平均時(shí)間。過(guò)程無(wú)偏移時(shí)，ARL越大越好；過(guò)程存在偏移時(shí)，ARL越小越好。與ARL經(jīng)常搭配的一個(gè)控制評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為ATS，對(duì)于子組抽樣為等時(shí)間間隔抽樣時(shí)，設(shè)某子組發(fā)出失控信號(hào)為止所用時(shí)間為t，則其期望Et為ATS。過(guò)程無(wú)偏移時(shí)，ATS越大越好；過(guò)程存在偏移時(shí)，ATS越小越好。且在固定抽樣間隔及樣本容量時(shí)，ARL與ATS可以列出如下等式：

ATS（σ）=tARL（σ）

對(duì)于可變抽樣區(qū)間控制圖來(lái)說(shuō)，子組抽樣頻率依賴于過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)發(fā)出預(yù)警信號(hào)的時(shí)間便不再是樣本數(shù)的常數(shù)倍，對(duì)于可變抽樣區(qū)間控制圖，其平均鏈長(zhǎng)需要依賴于發(fā)預(yù)警信號(hào)前的樣本數(shù)和時(shí)間。所以，這里以平均預(yù)警時(shí)間可變抽樣區(qū)間作為動(dòng)態(tài)控制圖的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[13]。在保證控制限不變時(shí)，可變抽樣區(qū)間控制圖并不影響樣本點(diǎn)失控或預(yù)警的概率。記pi為落入Ii區(qū)域的概率，q為樣本點(diǎn)落入失控域I3的概率，N為發(fā)出信號(hào)時(shí)所需樣本數(shù)，易知N～Ge（q），T為發(fā)出信號(hào)時(shí)所需時(shí)間，ξi為抽取第i個(gè)樣本之前的抽樣區(qū)間，在過(guò)程未發(fā)生變化時(shí)，有：

因?yàn)閟（Zt）是只受控制限內(nèi)的樣本點(diǎn)定義，所以ξi為s（Zt）的條件分布。為方便后續(xù)計(jì)算，這里給定一個(gè)默認(rèn)前提，假設(shè)控制圖起始點(diǎn)為0，且在過(guò)程開(kāi)始時(shí)使用短的抽樣區(qū)間s1。在過(guò)程均值為常數(shù)時(shí)，ξi獨(dú)立且同分布，根據(jù)瓦爾德等式：

四、效率比較

要使可變抽樣區(qū)間（VSI）控制圖與固定抽樣區(qū)間（FSI）控制圖可比較，需要保證兩個(gè)相同前提：一是抽樣比相同，即在較長(zhǎng)的固定時(shí)間間隔內(nèi)，兩方案的抽取樣本總數(shù)相同；二是需要令其在無(wú)偏移情況時(shí)，即σ=σ0時(shí)，平均預(yù)警時(shí)間相同。也就是說(shuō)，假設(shè)FSI控制圖每隔一小時(shí)抽取一個(gè)樣本點(diǎn)觀測(cè)，即以一小時(shí)為單位時(shí)間，就要求FSI控制圖的平均預(yù)警時(shí)間與發(fā)信號(hào)的平均樣本數(shù)相等。對(duì)于設(shè)計(jì)的VSI控制圖在無(wú)偏移情況下的E（ξi）為一個(gè)時(shí)間單位，此時(shí)才能保證兩圖可以通過(guò)ATS來(lái)對(duì)比控制效率。因而在接下來(lái)的VSI EWMA R圖與FSI EWMA R圖比較中，控制以上兩個(gè)前提均相等。

給定n=5，a=3，w=1，固定抽樣情況下選取抽樣區(qū)間s=1，變抽樣區(qū)間情況下選取s1=0.5，s2=1.5。以下為應(yīng)用MATLAB軟件隨機(jī)模擬10000次的數(shù)值結(jié)果，分別計(jì)算了VSI EWMA單邊極差控制圖與FSI EWMA單邊極差控制圖的ATS。從模擬數(shù)據(jù)的對(duì)比中可以看到，控制平滑系數(shù)不變的情況下，隨著偏移增大，VSI EWMA單邊極差圖相較于FSI EWMA單邊極差圖有著較快的響應(yīng)速度。

表1 λ=0.1條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對(duì)比

表2 λ=0.2條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對(duì)比

表3 λ=0.3條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對(duì)比

表4 λ=0.4條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對(duì)比

表5 λ=0.5條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對(duì)比

五、結(jié)論

本文構(gòu)造了VSI EWMA單邊極差控制圖，與傳統(tǒng)FSI EWMA單邊極差控制圖對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，在給定若干前提的情況下，隨著標(biāo)準(zhǔn)差偏移系數(shù)c的增大，兩圖的ATS都有一定程度的減小，這與預(yù)想相同，即隨著過(guò)程偏移愈發(fā)明顯，控制圖更容易檢測(cè)出過(guò)程異常；若控制標(biāo)準(zhǔn)差偏移系數(shù)c一致，對(duì)比兩圖的ATS發(fā)現(xiàn)，VSI EWMA單邊極差圖的ATS更低，即在相同偏移情況下，VSI EWMA單邊極差控制圖的平均預(yù)警時(shí)間更低，可以更快發(fā)現(xiàn)過(guò)程異常，方便工作人員及時(shí)檢測(cè)生產(chǎn)過(guò)程，從而在一定程度上減少抽樣成本，為生產(chǎn)提效，因而有一定研究和推廣意義。

本文在新控制圖的設(shè)計(jì)上進(jìn)行了有價(jià)值的研究，但由于本文設(shè)計(jì)的控制圖所有參數(shù)較多，在后續(xù)的研究中，仍然有一定優(yōu)化空間。如對(duì)于不同抽樣區(qū)間的取值，在何種抽樣區(qū)間組合下，可以使VSI EWMA單邊極差控制圖最優(yōu)且效率最大化；結(jié)合控制圖的推廣來(lái)說(shuō)，在何種條件組合下可以使該圖的設(shè)計(jì)成本最低。這些都是后續(xù)可以研究、改進(jìn)的方向。