宋艷東 胡海東 秦 嶺 范 普

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

1 混合結(jié)構(gòu)柔性臂建模

1.1 假設(shè)模態(tài)法描述柔性形變

本文中，將所有連桿均視為Euler-Bernoulli 梁。根據(jù)假設(shè)模態(tài)法[1]，柔性偏差可表示為：

其中，φ (x)為模態(tài)函數(shù)，q(t)為模態(tài)坐標(biāo)。

由于混合結(jié)構(gòu)柔性臂由兩節(jié)連桿嵌套組成，因此將連桿分為固定段、重疊段和延伸段建立坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 混合結(jié)構(gòu)柔性臂坐標(biāo)系模型

由于混合結(jié)構(gòu)柔性機械臂系統(tǒng)模型比較復(fù)雜且耦合程度高，因此本文將系統(tǒng)狀態(tài)變量分為剛性結(jié)構(gòu)變量u0和柔性結(jié)構(gòu)變量u2[2]。其表達(dá)式分別為：

1.2 剛性結(jié)構(gòu)部分建模

由剛體拉格朗日平衡方程[3]，可推導(dǎo)混合結(jié)構(gòu)柔性機械臂剛性結(jié)構(gòu)部分動力學(xué)方程為：

1.3 柔性結(jié)構(gòu)部分建模

當(dāng)考慮混合結(jié)構(gòu)柔性機械臂的撓曲變形時，連桿上任意一點p 的位置矢量表示為：

其中，Pi為該點所在參考坐標(biāo)系原點在基坐標(biāo)系中的位置向量；Ai為該點所在參考系坐標(biāo)系到基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；ηi表示該點的柔性偏差。

由于 Δθ1, Δθ2為微小的柔性偏差角度，所以忽略二階及以上的項，則p 點速度表達(dá)式為：

則系統(tǒng)動能表示為：

對于p 點的勢能，依據(jù)動能計算方法，可表示為：

采用拉格朗日方程[4]，

將式(6)和(8)代入式(9)，即可得柔性偏差部分動力學(xué)方程為：

其中，F(xiàn)=［f1f 200 0］T?對于上式，參數(shù)H,B,G,K都是關(guān)于剛性關(guān)節(jié)變量 θ1和k的函數(shù)，則方程(10)可視為一個線性時變系統(tǒng)。

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計

混合結(jié)構(gòu)柔性臂軌跡跟蹤控制器的總體設(shè)計思路為給定參考軌跡，將滑?？刂破骺刂屏兀斎氲絼傂越Y(jié)構(gòu)部分動力學(xué)模型中得到剛性關(guān)節(jié)變量的運動軌跡，然后將實際運動軌跡與參考軌跡的偏差反饋至滑模控制器中形成閉環(huán)控制鏈。將剛性關(guān)節(jié)變量輸入到柔性結(jié)構(gòu)部分線性動力學(xué)方程中進(jìn)行求解，即可得到柔性結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量的變化情況。

2.1 滑模控制器的設(shè)計

定義Lyapunov 函數(shù)

則

設(shè)計控制律為

于是

令

2.2 通過BLF 方法對部分輸出變量施加約束

定義輸出偏差為

定義Barrier Lyapunov 函數(shù)

則

設(shè)計穩(wěn)定函數(shù)

(2)定義Lyapunov 函數(shù)

對時間T 求導(dǎo)并結(jié)合式(10)、(20)，有：

3 仿真結(jié)果

兩關(guān)節(jié)變量初始狀態(tài)為：θ1=0.06rad,k=0.02m，仿真時長為6s。仿真結(jié)果如圖2 所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與伸縮關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與力矩變化示意圖

圖3 柔性角度偏差 Δ Δ、模態(tài)變量q2 及末端隨時間的變化

4 結(jié)論

本文針對混合結(jié)構(gòu)柔性臂的結(jié)構(gòu)特點，將系統(tǒng)分為固定段、重疊段、延伸段，并將系統(tǒng)分解為剛性部分和柔性部分分別進(jìn)行建模。設(shè)計滑模控制器對剛性關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行跟蹤，并針對控制過程中出現(xiàn)柔性偏差角度變大的問題，采用Barrier Lyapunov 函數(shù)結(jié)合反演的方法，實現(xiàn)對柔性偏差角度的輸出約束。