唐朝君 余湛 魏正元

0 引言

近年來,多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究吸引了來自計(jì)算機(jī)應(yīng)用、自動(dòng)控制、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域研究學(xué)者的關(guān)注[1-4].其中系統(tǒng)中含有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的跟蹤問題也被稱為包含控制問題,包含控制在軍事和民用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.在研究多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問題中,文獻(xiàn)[5]構(gòu)建了一個(gè)有效的分布式協(xié)議框架,在此協(xié)議下解決了有限時(shí)間的一致性問題，文獻(xiàn)[6]通過二重積分器設(shè)計(jì)了用于實(shí)現(xiàn)在干擾下有限時(shí)間一致性問題的分布協(xié)議，文獻(xiàn)[7]研究了在外部干擾下的非線性多智能體系統(tǒng),通過利用滑?？刂萍夹g(shù)解決有限時(shí)間一致性的跟蹤控制問題.然而上述文獻(xiàn)的收斂時(shí)間是與初始狀態(tài)息息相關(guān)的,因此,初始狀態(tài)無法影響收斂時(shí)間的研究成為一個(gè)重要課題.文獻(xiàn)[8]通過研究固定時(shí)間穩(wěn)定性,從而提出了固定時(shí)間一致性問題,并且保證了收斂時(shí)間是與初始狀態(tài)沒有關(guān)系的.對(duì)于帶有外部干擾的多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[9]通過設(shè)計(jì)非線性協(xié)議解決了固定時(shí)間一致性問題.對(duì)于非線性的多智能體系統(tǒng),并且該通信拓?fù)涫怯邢虻?其固定時(shí)間一致性問題在文獻(xiàn)[10]中被解決.在多智能體系統(tǒng)包含控制問題中,文獻(xiàn)[11]提出了固定無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌陌刂茊栴}，文獻(xiàn)[12]研究了多智能體系統(tǒng)分別在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)下的包含控制問題，文獻(xiàn)[13]通過齊次控制技術(shù)設(shè)計(jì)了用于實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間包含控制問題的控制協(xié)議，文獻(xiàn)[14]針對(duì)有向切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溲芯科浒刂茊栴}.但是在已有文獻(xiàn)中,對(duì)固定時(shí)間包含控制的研究結(jié)果還比較少.特別是對(duì)于有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎鹿潭〞r(shí)間包含控制的研究,相關(guān)的研究結(jié)果更少.

基于上述原因,本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,通過設(shè)計(jì)更加一般的非線性系統(tǒng)和控制協(xié)議,研究多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)的包含控制問題.本文與文獻(xiàn)[10]的不同主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:第一,文獻(xiàn)[10]研究的是具有單個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性問題,本文研究的是具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的包含控制問題,文獻(xiàn)[10]是本文的一個(gè)特例;第二,本文將文獻(xiàn)[10]中的控制協(xié)議進(jìn)行了推廣,更具一般性.本文利用代數(shù)圖論、矩陣?yán)碚摵凸潭〞r(shí)間穩(wěn)定性理論給出系統(tǒng)解決固定時(shí)間包含控制最弱的拓?fù)錀l件.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

1.2 相關(guān)引理

引理1[16]令x1,x2,…,xn≥0,0

(1)

引理2[8]考慮如下系統(tǒng):

(2)

其中:x(t)∈Rn表示信息狀態(tài);f:Rn×R+→Rn是連續(xù)非線性函數(shù).假設(shè)原點(diǎn)是平衡點(diǎn),如果存在一個(gè)連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R和一些常數(shù)a,b>0,0<μ<1<ν使得:

(3)

則原點(diǎn)是全局固定時(shí)間穩(wěn)定,且滿足:

(4)

2 模型描述與結(jié)果

設(shè)所研究的多智能體系統(tǒng)包含m個(gè)跟隨智能體和n-m個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體,分別用F={1,2,…,m}和S={m+1,m+2,…,n}表示跟隨智能體和領(lǐng)導(dǎo)智能體的集合.該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(5)

其中:xi(t)表示第i個(gè)智能體在時(shí)刻t的信息狀態(tài);ui(t)∈R是第i個(gè)跟隨智能體的控制輸入;f(xi(t),t):R×R→R是第i個(gè)智能體的非線性動(dòng)態(tài).

定義1如果存在控制協(xié)議ui,i=1,…,m,且對(duì)于一個(gè)不依賴于初始值的正實(shí)數(shù)T和有界正常數(shù)Tmax,滿足T

(6)

則稱該協(xié)議解決固定時(shí)間包含控制問題.

假設(shè)1對(duì)于每個(gè)跟隨智能體,都存在來源于領(lǐng)導(dǎo)智能體的有向路徑.

為研究方便,將Laplacian矩陣L寫成如下分塊矩陣的形式:

(7)

其中L1∈Rm×m,L2∈Rm×(n-m).

定義2[18]若對(duì)于一個(gè)非奇異的實(shí)方陣A,其非對(duì)角線元素是非正的,并且每個(gè)特征值具有正實(shí)部,則稱矩陣A是M-矩陣.

(8)

由假設(shè)2明顯看出當(dāng)m=n-1時(shí),即系統(tǒng)只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體時(shí),該條件為L(zhǎng)ipschitz條件.

考慮如下控制協(xié)議:

(9)

其中β≥α>0,μ>1>ν>0.

令

xF(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T,

xS(t)=(xm+1(t),xm+2(t),…,xn(t))T,

F(xF(t))=(f(x1(t),t),…,f(xm(t),t))T,

F(xS(t))=(f(xm+1(t),t),…,f(xn(t),t))T,

則有:

L2xS(t))[ν]+F(xF(t)).

(10)

令加權(quán)跟蹤誤差δ(t)=L1xF(t)+L2xS(t),可以得到:

L1(-αδ(t)[μ]-βδ(t)[ν])+

L1F(xF(t))+L2F(xS(t)).

(11)

在下文中,為了表示方便,在不引起混淆的情況下,我們有時(shí)去掉時(shí)間變量t.下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下,如果控制增益參數(shù)α,β滿足以下條件:

(12)

則協(xié)議(9)解決固定時(shí)間包含控制問題.

證明首先構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

(13)

其中W=diag(w1,w2,…,wm)是引理4中定義的對(duì)角陣.

對(duì)其求導(dǎo)得到:

-(αδ[μ]+βδ[ν])TWL1(αδ[μ]+βδ[ν])+

(14)

又由于β≥α>0,所以

‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(15)

(16)

再由假設(shè)2可以得到:

(17)

(18)

又根據(jù)β≥α>0,所以

‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(19)

-γ‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(20)

又由于

(21)

(22)

(23)

即

(24)

(25)

(26)

即

(27)

最后結(jié)合不等式(20)、(24)和(27),可以得到:

(28)

(29)

圖1 系統(tǒng)的通信拓?fù)銯ig.1 System communication topology

3 數(shù)值仿真

圖2 加權(quán)跟蹤誤差的狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 State curve of the weighted tracking error over time

多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)淙鐖D1所示,分別由2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體(用頂點(diǎn)5、6表示)和4個(gè)跟隨智能體(用頂點(diǎn)1、2、3、4表示)組成.設(shè)智能體的非線性動(dòng)態(tài)為f(xi,t)=xisint.當(dāng)l=1時(shí),滿足條件假設(shè)2.經(jīng)過計(jì)算,取對(duì)角矩陣W=diag(2,0.8,1,0.5),選擇參數(shù)μ=1.5,ν=0.5,α=30,β=35,取跟隨智能體的初始狀態(tài)xF(0)=(5,-2,3,-7)T,領(lǐng)導(dǎo)智能體的初始狀態(tài)xS(0)=(4,-9)T,可以得到初始加權(quán)跟蹤誤差的狀態(tài)δ(0)=(1,-12,12,2)T,加權(quán)跟蹤誤差的狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線如圖2所示.從圖 2可以看出,加權(quán)跟蹤誤差大約在0.01 s內(nèi)收斂到0,比Tmax=0.89 s要小得多,這意味著系統(tǒng)能在固定時(shí)間內(nèi)解決包含控制問題,驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

4 結(jié)論

本文研究了非線性多智能體系統(tǒng)在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌墓潭〞r(shí)間包含控制問題.假設(shè)所有智能體之間的通信拓?fù)涫怯邢虻?而且每個(gè)跟隨智能體都至少有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體能夠直接或間接地與其通信,在這最弱拓?fù)錀l件下,所給出的控制協(xié)議能夠解決固定時(shí)間的包含控制問題.仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提理論結(jié)果的正確性.