■江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué) 李明

函數(shù)性質(zhì)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn),所有知識(shí)均可與函數(shù)建立聯(lián)系,都可圍繞這一主線(xiàn)展開(kāi),函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性更是高考考查的重中之重,常與方程、不等式等知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查,本文探究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。

一、抽象函數(shù)性質(zhì)探究中的“思維方法”

例1(2021年江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)高三月考)已知定義在R 上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0。

(1)求f(0)的值,并證明f(x)為奇函數(shù);

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;

(3)若f(k·2x)+f(4x+1-8x-2x)＞0對(duì)任意x∈[-1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析:(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0。

令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù)。

(2)設(shè)x2＞x1,則x2-x1＞0。

由f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)?f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)。

因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0,所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)＞0?f(x2)＞f(x1)。

所以f(x)是增函數(shù)。

(3)由題知f(k·2x+4x+1-8x-2x)＞0。

又y=f(x)是定義在R 上的增函數(shù),所以k·2x+4x+1-8x-2x＞0 對(duì)任意x∈[-1,2]恒成立,所以k·2x＞2x+8x-4x+1,所以k＞1+22x-2x+2。

令2x=t,t∈,則f(t)=t2-4t+1,所以k＞f(t)max。

當(dāng)t=4時(shí),f(t)max=f(4)=16-16+1=1,所以k＞1。

體驗(yàn):對(duì)于抽象函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題,其求解的思維方法是:合理運(yùn)用對(duì)應(yīng)法則和題設(shè)條件,多次賦值探究奇偶性;依據(jù)定義、題設(shè)及法則證明其單調(diào)性;利用奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式,通過(guò)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍;常用變量分離法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法等求最值。主要考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、構(gòu)建函數(shù)模型及邏輯推理等能力。

二、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用中的“整體思維”

例2(2021 年湖南省衡陽(yáng)市雁峰區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f(x)=。

(1)求證:存在定點(diǎn)M,使得函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)的圖像上,并求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)對(duì)于(2)中的Sn,求證:對(duì)于任意的n∈N*,都有l(wèi)nSn+2-lnSn+1＞。

解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)。設(shè)M(a,b),若使得函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)的圖像上,則必有f(x)+f(2a-x)==2b,對(duì)于x∈(0,1)恒成立,所以1-2a=0,1=2b,所以a=b=。所以存在定點(diǎn),使得函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)的圖像上。

(2)由(1)得f(x)+f(1-x)=1。

所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g＇(x)＞0,即函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=0,所以g(x)＞g(0)=0,即x3-x2+ln(1+x)＞0恒成立。

故當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),有l(wèi)n(1+x)＞x2-x3成立,取x=∈(0,+∞),則有成立。

體驗(yàn):當(dāng)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+a)+f(b-x)=c時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);利用“函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的特征,采用倒序相加法整體思維”可簡(jiǎn)化求解函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列的求和問(wèn)題。對(duì)于函數(shù)不等式的證明,可用分析綜合法轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)行求證。凸顯函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的邏輯推理、整體思維、構(gòu)建函數(shù)模型等素養(yǎng)。

三、最值探究中的“換元法和分類(lèi)討論”

例3(2022 屆東北育才學(xué)?？茖W(xué)高中部高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)=+(sinx+cosx)·(sinx-cosx)+1。

(1)常數(shù)ω＞0,若函數(shù)y=f(ωx)在區(qū)間上是增函數(shù),求ω的取值范圍;

(2)若函數(shù)g(x)=-1 在上的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值。

解析:(1)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得f(x)=+sin2xcos2x+1=2(1-sinx)sinx+sin2x-cos2x+1=2sinx,則y=f(ωx)=2sin(ωx)。

故ω的取值范圍為(0,1]。

(2)由(1)可得g(x)=-1=sin 2x+a(cosx-sinx)--1,x∈。

設(shè)t=cosx-sinx,則sin 2x=2sinxcosx=1-t2。

綜上,實(shí)數(shù)a的值為-2或。

體驗(yàn):三角公式±sinxcosx=,揭示了二次函數(shù)關(guān)系,同時(shí)給出了“平方溝通的三角變換方法”,奠定了換元法化歸構(gòu)造外層為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值,借助對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間分類(lèi)研究最值問(wèn)題。形如y=asin2x+bsinx+k,可先設(shè)sinx=t,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域;形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c,可先設(shè)t=sinx±cosx,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域。利用換元法處理三角函數(shù)的最值時(shí),注意確定新元范圍,如令t=sinx,t∈[-1,1];t=sinx+cosx,t∈等。

四、復(fù)合函數(shù)開(kāi)放探索研究中的“推理驗(yàn)證”

例4(2021 年江蘇省淮安市洪澤區(qū)高三月考)現(xiàn)有如下三個(gè)條件:在①f(x)+f(-x)=0;②f(x)-f(-x)=0;③f(-2)=-f(2)。從這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并給出解答。

已知函數(shù)f(x)=(a∈R)滿(mǎn)足____。

(1)求a的值;

(2)若函數(shù)g(x)=2f(-x)+1-,證明:g(x2-x)≤。

解析:選擇條件①f(x)+f(-x)=0。

選擇條件②f(x)-f(-x)=0。

選擇條件③f(-2)=-f(2)。

體驗(yàn):復(fù)合函數(shù)研究中的開(kāi)放探索,按照題設(shè)要求合理選擇條件,一一進(jìn)行推理驗(yàn)證,推理驗(yàn)證過(guò)程中涉及奇偶函數(shù)的特征、對(duì)數(shù)運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的最值探究。