劉立軍

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是各地中考中重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一。但同學(xué)們?cè)诮庥嘘P(guān)二次函數(shù)問題時(shí)，常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。為了幫助同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)減少失誤，現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)中一些常見的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析，以幫助同學(xué)們更好地理解和掌握二次函數(shù)。

一、概念理解不清

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函數(shù)，則k= 。

【錯(cuò)解】根據(jù)二次函數(shù)的概念，令k2-3k+2=2，解得k=0或k=3。

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念，要使y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函數(shù)，k必須滿足兩個(gè)條件：①k2-3k+2=2;②k-3≠0。兩者缺一不可。

【正解】根據(jù)二次函數(shù)的概念，得

[k2-3k+2=2，k-3≠0，]解得k=0。

二、函數(shù)性質(zhì)掌握不牢

例2 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y=ax2+bx+b（a≠0）與一次函數(shù)y=ax+b的圖像可能是（ ）。

【錯(cuò)解】不知道如何分析圖像導(dǎo)致出錯(cuò)。

【分析】可以先對(duì)a、b的正負(fù)進(jìn)行討論，再從選項(xiàng)中選擇正確答案;也可以根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的圖像，先判斷出a、b的正負(fù)，再判斷另一個(gè)函數(shù)是否正確。

【正解】選項(xiàng)A，二次函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖像應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B，∵二次函數(shù)圖像開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖像應(yīng)該過第二、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C，二次函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖像應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故C正確;選項(xiàng)D，二次函數(shù)圖像開口向上且過原點(diǎn)，則a>0，b=0，∴一次函數(shù)圖像應(yīng)該過第一、三象限，且與二次函數(shù)交于原點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。故選C。

例3 若A（1，y1），B（3，y2），C（-3，y3）三點(diǎn)都在二次函數(shù)y=x2-4x-m的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 。

【錯(cuò)解】∵-3<1<3，∴y3

【分析】錯(cuò)解只考慮A，B，C三點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，而忽視了它們不在對(duì)稱軸x=2的同側(cè)。對(duì)于對(duì)稱軸兩側(cè)的點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)它到對(duì)稱軸的距離來比較函數(shù)值的大小。

【正解】函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=2，圖像開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，可判斷y1

三、忽視隱含條件

例4 若二次函數(shù)y=mx2+4x+m-1的最小值是2，則m的值為 。

【錯(cuò)解】∵二次函數(shù)y=mx2+4x+m-1的最小值是2，∴[4ac-b24a]=[4m（m-1）-424m]=2，即m2-3m-4=0，解得m1=4，m2=-1。

【分析】二次函數(shù)有最小值，則開口向上，所以錯(cuò)解忽略了“m>0”這一隱含條件。

【正解】∵二次函數(shù)y=mx2+4x+m-1的最小值是2，∴[4ac-b24a]=[4m（m-1）-424m]=2，即m2-3m-4=0，解得m1=4，m2=-1?！叨魏瘮?shù)有最小值，∴函數(shù)圖像開口向上，m>0，從而m=4。

四、缺乏數(shù)形結(jié)合思想

例5 已知二次函數(shù)y=（x+1）2-4，當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值。

【錯(cuò)解】當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3，當(dāng)x=2時(shí)，y=5，∴當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最小值是-3，最大值是5。

【分析】錯(cuò)解誤以為端點(diǎn)的值就是這段函數(shù)的最值。解決此類問題，可以畫出函數(shù)圖像，借助圖像的直觀性幫助理解。

【正解】二次函數(shù)y=（x+1）2-4的對(duì)稱軸為直線x=-1，開口向上，∴當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而減小。由圖像可知：在-2≤x≤2內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，y=（2+1）2-4=5;當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值-4。

五、忽視分類討論思想

例6 若函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為 。

【錯(cuò)解】由題意，可知Δ=16-8a（a-1）=0，解得a=2或a=-1。

【分析】錯(cuò)解只考慮了a≠1，即函數(shù)圖像是拋物線的情形。但題目并沒有明確指出函數(shù)是二次函數(shù)。當(dāng)a=1時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2，與x軸永遠(yuǎn)會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)，因此出現(xiàn)了漏解的情況。

【正解】①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a-1=0，解得a=1;②當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，可得Δ=16-8a（a-1）=0，解得a=2或a=-1。

綜上所述，a的值為1或-1或2。