袁潮，張嘯，邱松

基于動力學(xué)找形方法的非連續(xù)多重曲面拓?fù)渲貥?gòu)研究

袁潮，張嘯，邱松

（清華大學(xué)，北京 100084）

通過重拓?fù)涓咝У貙⒐I(yè)建模工程中的多重曲面（B-rep）文件轉(zhuǎn)化成均勻連續(xù)的網(wǎng)格（Mesh）文件，為參數(shù)化設(shè)計、有限元分析工作提供對接橋梁，形成參數(shù)化設(shè)計工作流閉環(huán)。基于Rhino平臺下的算法插件，將預(yù)設(shè)有桿件彈簧力、邊界錨固力、目標(biāo)吸引力等約束的基礎(chǔ)網(wǎng)格，包覆到已知多重曲面上，并通過動力學(xué)算法多次迭代收斂，將重拓?fù)渚W(wǎng)格無限趨近于原曲面，最終重構(gòu)為均勻連續(xù)、網(wǎng)格數(shù)可控的四邊網(wǎng)格。經(jīng)過此工藝流程后，設(shè)計師只需幾步點選操作，在幾分鐘內(nèi)即可對非連續(xù)多重曲面進(jìn)行重拓?fù)涔ぷ?，獲得的新網(wǎng)格均勻連續(xù)，且面數(shù)可控，省去了大量人力修復(fù)時間。通過動力學(xué)算法的重拓?fù)涔に?，可使參?shù)化設(shè)計師更順暢地對接工廠，同時使有限元分析輔助支持設(shè)計更具效率，是工業(yè)設(shè)計數(shù)字閉環(huán)的重要技術(shù)基礎(chǔ)之一。

動力學(xué)找形；重拓?fù)?；參?shù)化設(shè)計；網(wǎng)格映射；有限元分析；數(shù)據(jù)閉環(huán)

在工業(yè)生產(chǎn)中廣泛存在著使用參數(shù)曲面進(jìn)行表示的模型[1]，如基于NURBS連續(xù)曲面或?qū)嶓w建模的表示方法[2]，這類模型表示方法能很好地保存曲面的連續(xù)性信息。然而，在前期設(shè)計優(yōu)化階段，這類建模方式卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到網(wǎng)格建模的高效性。網(wǎng)格建模以離散化方式逼近連續(xù)曲面，雖然不具備NURBS曲面的連續(xù)性，但是在大多數(shù)不需要很高連續(xù)性要求的工業(yè)生產(chǎn)中，網(wǎng)格建模在表達(dá)復(fù)雜曲面及紋理細(xì)節(jié)時更具實用價值。同時，隨著計算性設(shè)計時代的到來，設(shè)計與數(shù)據(jù)的關(guān)系越發(fā)緊密，不論是外部數(shù)據(jù)的導(dǎo)入，還是對模型進(jìn)行有限元分析，都需要將多重曲面（B-rep）轉(zhuǎn)換為網(wǎng)格文件（Mesh）[3]。雖然市場現(xiàn)有的重拓?fù)涔ぞ吆芏啵谴蟛糠旨性谟嬎銠C動畫領(lǐng)域或數(shù)字雕塑領(lǐng)域，很難與現(xiàn)有制造業(yè)建模水平匹配，而且強行使用這些平臺進(jìn)行重拓?fù)涔ぷ饕残枰肆M(jìn)行曲面連續(xù)性的優(yōu)化預(yù)處理，同樣費時費力。在計算機圖形學(xué)領(lǐng)域針對網(wǎng)格劃分問題已有許多基礎(chǔ)方法[4]，如Delaunay法[5]，波前法[6]，映射法[7]等。一些研究者針對建筑領(lǐng)域的形態(tài)也做過一些研究，如基于引導(dǎo)線偏移的方法[8]，針對建筑地板的拓?fù)溥B鎖結(jié)構(gòu)研究[9]，對自由形式網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的研究[10]，基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化的生物形態(tài)建筑研究[11]等，但是這些方法并不完全適用于工業(yè)產(chǎn)品領(lǐng)域的形態(tài)重拓?fù)溲芯浚瑳r且相較于建筑形體，工業(yè)產(chǎn)品的形態(tài)往往更加復(fù)雜，同時對連續(xù)性及誤差精度等要求更高，因此，在建筑上優(yōu)化的一些方法并不能很好地適用于工業(yè)產(chǎn)品形態(tài)的重拓?fù)?。針對工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中表面紋理的制作，此次研究提出了一種基于動力學(xué)找形的方法將NURBS曲面模型進(jìn)行重拓?fù)渚W(wǎng)格化并進(jìn)行紋理制作的方法。

1 基本原理

1.1 曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分類

該工作流基本原理如下：首先需要操作者對拓?fù)鋷缀斡蟹浅；A(chǔ)的認(rèn)識，對已知曲面進(jìn)行分類，可分為單一曲面（Surface）和多重曲面（B-rep）。其中單一曲面包括開放的單一曲面（Open Surface）和封閉的單一曲面（Closed Surface）。多重曲面包括開放的多重曲面（Open B-rep）和封閉的多重曲面（Closed B-rep）。針對目標(biāo)幾何的開放性進(jìn)行分類，并分別進(jìn)行設(shè)計。幾何形體的類型見圖1。

圖1 幾何形體的類型

1.2 基本拓?fù)渚W(wǎng)格單元設(shè)計

以“斯坦福兔”模型為例，在曲面分類中可被定義為“封閉的多重曲面”。其基本拓?fù)淠Ｐ途褪乔蝮w網(wǎng)格模型，不論其細(xì)節(jié)多煩瑣，都可以抽象為球體表面網(wǎng)格頂點的拓?fù)潢P(guān)系，見圖2。以一雙運動鞋的鞋底模型為例，其在曲面分類中可被定義為“開放多重曲面”，其基本關(guān)系可通過一個平面網(wǎng)格進(jìn)行概括，不論其底部是否凹凸，都可抽象為平面網(wǎng)格上各頂點的坐標(biāo)變化，見圖3。

對于目標(biāo)模型，其開洞（虧格）情況是最重要的拓?fù)湟?，基礎(chǔ)網(wǎng)格模型必須對開口信息進(jìn)行描述，見圖4。重拓?fù)涔に嚥僮魅藛T需對目標(biāo)幾何有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)認(rèn)知能力，并用簡單網(wǎng)格來概括目標(biāo)模型。針對網(wǎng)格細(xì)分等操作，可以使用建模軟件內(nèi)置的網(wǎng)格細(xì)分算法指令來完成，也可用插件（如Weaverbird）[12]完成。基礎(chǔ)網(wǎng)格設(shè)計是一項類型概括工作，可以為計算機后續(xù)工作提供基本優(yōu)化方向。

圖2 斯坦福兔幾何形體的拓?fù)潢P(guān)系

圖3 鞋底幾何形體的拓?fù)潢P(guān)系

圖4 幾何形體的開口信息

1.3 動力學(xué)擬合找形

文中使用的動力學(xué)找形方法是基于Rhino平臺下的可視化編程平臺Grasshopper中的一款名為Kangaroo的力學(xué)模擬仿真插件，見圖5。該插件可直接在Grasshopper中進(jìn)行交互式的力學(xué)模擬、力學(xué)優(yōu)化與力學(xué)找形。該插件由Daniel Piker開發(fā)制作，可免費用于商業(yè)和非商業(yè)項目中。目前最新的Kangaroo2已經(jīng)內(nèi)置于Rhino6的Grasshopper中。此插件可將網(wǎng)格文件中的點、線賦予不同的力學(xué)約束，在此項目中，筆者將網(wǎng)格邊緣頂點定義為“鎖定在目標(biāo)邊緣上”，以保證重拓?fù)涞木W(wǎng)格與目標(biāo)多重曲面的邊緣嚴(yán)格貼合；將網(wǎng)格內(nèi)部的線定義為“彼此約束的彈簧力”，以防止在擬合過程中各點位置移動過大，而導(dǎo)致網(wǎng)格不均勻；將網(wǎng)格內(nèi)部頂點定義為“向目標(biāo)幾何的吸引力”及“球體彈性碰撞力”，吸引力可以保證重拓?fù)渚W(wǎng)格嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匚皆谀繕?biāo)曲面上，彈性碰撞力可以防止網(wǎng)格出現(xiàn)自折疊現(xiàn)象，影響最終網(wǎng)格平滑度。Kangaroo算法會逐漸向一個穩(wěn)定解收斂，一般需要數(shù)十秒的等待，最終收斂到一個穩(wěn)定態(tài)。

圖5 動力學(xué)找形階段用到的核心力學(xué)模擬單元

1.3.1 受力分析

具體而言，網(wǎng)格每個頂點所受到的力可分為桿件彈力、球體彈性碰撞力、頂點與目標(biāo)曲面的彈性吸引力，及特定頂點的錨固力。這些力可用胡克定律原理進(jìn)行描述，其公式：

(1)

由胡克定律基本公式可得到網(wǎng)格頂點與頂點相互之間受到的彈力公式：

(2)

在網(wǎng)格形體中，網(wǎng)格的每個頂點都有與之相連接的多個相鄰點（Adjacent Vertices），因此在初始時刻所有Edge的平均長度的計算公式：

(3)

頂點受到與之相連的Edge所具有的彈簧力見圖6。

圖6 Edge預(yù)設(shè)目標(biāo)長度與當(dāng)前兩頂點之間的距離

(4)

兩球碰撞時的受力情況見圖7。當(dāng)兩球發(fā)生碰撞時，計算兩球心距離與兩倍半徑的差值，可得出彈性碰撞力。網(wǎng)格頂點與頂點相互之間受到的彈力：

圖7 兩球碰撞時的受力情況

(5)

(6)

式（6）中為網(wǎng)格所有頂點的數(shù)目。

此外需要對每個頂點設(shè)定目標(biāo)曲面的彈性吸引力，其原理也符合胡克定律：

(7)

(8)

1.3.2 平衡求解

在上述合力的作用下，網(wǎng)格的頂點將在目標(biāo)曲面上運動。初始狀態(tài)下網(wǎng)格的頂點位置經(jīng)過一段時間運動后不再變動（位置坐標(biāo)不再變化）或小于一定的誤差范圍（可以自行設(shè)置）時，即為平衡狀態(tài)，其頂點所受的合力為0，該過程變?yōu)槭芰ζ胶馇蠼鈫栴}。Velocity- Verlet[13]算法能較好地模擬整個運動過程，對于此次求解平衡問題其運動過程并不重要，重點是如何快速達(dá)到平衡收斂狀態(tài)。此外還有基于前向歐拉法[14]的簡化求解，其特點是將力與點位置直接關(guān)聯(lián)：（無量綱），然后進(jìn)行迭代更新：。其中為步長；為迭代次數(shù)。由于這種方法不要求運動過程的真實性，所以可以快速完成迭代求解，從而滿足平衡求解問題的需要。此次基于Kangaroo算法提供的運動求解器（Solver）類似前向歐拉法的迭代求解，可以很方便地進(jìn)行求解，將以上這些約束力輸入求解器，可以設(shè)置每次迭代的時間步長（步長越大，運算越快，步長越小，運動過程模擬越真實）。當(dāng)?shù)_(dá)到平衡狀態(tài)時在大多數(shù)情況下只需數(shù)十秒，即可得到平衡狀態(tài)下的網(wǎng)格形態(tài)。

以優(yōu)化Delaunay三角剖分網(wǎng)格的內(nèi)部頂點分布為測試對象，在規(guī)定的平面區(qū)域內(nèi)分別生成4種不同數(shù)量的隨機點（Random Point 2D），并分別進(jìn)行Delaunay三角剖分形成4種網(wǎng)格。需要在不改變外邊框和頂點連線關(guān)系的前提下，使網(wǎng)格內(nèi)部的頂點分布盡可能均勻。使用彈簧力和錨固力作為合力約束，Solve使用默認(rèn)設(shè)置（步長為10）。不同網(wǎng)格面數(shù)量的網(wǎng)格計算所用時間的比較見圖8。從圖8中可以看出，當(dāng)初始網(wǎng)格面數(shù)超過3萬時，21 s即可完成求解。當(dāng)初始網(wǎng)格面數(shù)少于1萬時，幾秒就能完成求解。同時在求解過程中設(shè)計師還能實時交互地改變調(diào)參系數(shù)，直至滿意為止。

圖8 不同網(wǎng)格面數(shù)量的網(wǎng)格計算所用時間的比較

2 具體方法

重拓?fù)涔ぷ髁鞒蹋ㄒ妶D9）大致可分為3步：繪制低階（網(wǎng)格面數(shù)較少，拓?fù)潢P(guān)系明確）基本網(wǎng)格；將低階網(wǎng)格細(xì)分并施加動力學(xué)找形算法，使之?dāng)M合到目標(biāo)多重曲面上；根據(jù)后續(xù)工藝需求，設(shè)定新網(wǎng)格的面數(shù)、邊數(shù)。在此過程中，對開放多重曲面、閉合多重曲面的操作略有不同，在下文中會有具體闡釋。

圖9 重拓?fù)涔ぷ髁鞒?/p>

2.1 對封閉的多重曲面的重拓?fù)涔に嚰凹y理制作

由于封閉曲面形體沒有邊界，所以無法通過邊緣作為網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)?；诰W(wǎng)格映射，將多面體或其衍生形體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，通過施加力學(xué)約束條件擬合到目標(biāo)形體上。具體而言，首先根據(jù)目標(biāo)形體的特征選擇對應(yīng)的基礎(chǔ)網(wǎng)格形體，并將目標(biāo)形體包裹。然后通過具體要求進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分，并將網(wǎng)格擬合到目標(biāo)形體上，完成網(wǎng)格重建，最后便可對網(wǎng)格進(jìn)行紋理制作等操作。此次需要施加的力學(xué)約束條件有每根線段的彈簧力約束；頂點與目標(biāo)曲面的彈性吸引力；網(wǎng)格所有頂點的球體彈性碰撞力。封閉多重曲面形體的重拓?fù)溥^程見圖10。

對封閉形體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，該方法能很好地控制拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，包括奇異點的數(shù)量和位置，同時網(wǎng)格的變化十分均勻，單元網(wǎng)格的形狀質(zhì)量很高。幾何紋理映射制作過程見圖11，筆者通過基于網(wǎng)格紋理映射的

圖10 封閉多重曲面形體的重拓?fù)溥^程

方法[15]將幾何紋理單元（Geometric Texture Units）映射到被優(yōu)化后的網(wǎng)格表面上，完成了此模型的紋理制作（見圖12a）。之后使用光敏樹脂，進(jìn)行SLA光固化立體成型3D打印，見圖12b。如果不借助重拓?fù)涔に囅碌膮?shù)化設(shè)計，模具廠的建模能力將無法達(dá)到圖中所示的效果。

圖11 幾何紋理映射制作過程

圖12 幾何紋理生成結(jié)果

2.2 對開放的多重曲面的重拓?fù)涔に嚰凹y理制作

工業(yè)生產(chǎn)中大多數(shù)的形體都為開放的多重曲面，因此對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分具有重要價值。多重曲面所表示的形體類型十分豐富，在此根據(jù)形體的具體特點確定使用網(wǎng)格劃分方法。

2.2.1 類球面的形體

類球面的形體在空間坐標(biāo)中的三個維度上其數(shù)值都有較大的變化，如果將其投影為平面圖形進(jìn)行網(wǎng)格劃分，會出現(xiàn)較大的形狀變形，因此更適合使用封閉形體的網(wǎng)格劃分方法。需要注意的是在目標(biāo)形體的開放缺口處，其對應(yīng)的網(wǎng)格也需要剔除。在施加力學(xué)約束條件時，需要將網(wǎng)格開口處的頂點固定到目標(biāo)形體所對應(yīng)的邊緣上，同時對網(wǎng)格連接線施加彈簧力，并對網(wǎng)格頂點施加體積碰撞力，最后通過網(wǎng)格頂點吸引力將基礎(chǔ)網(wǎng)格吸附到目標(biāo)多重曲面上。開放的類球面多重曲面形體的重拓?fù)溥^程見圖13。此后，筆者將設(shè)計的幾何紋理單元嵌入到以重拓?fù)渚W(wǎng)格生成的Twisted box中，形成了非常復(fù)雜的形態(tài)見圖14。

圖13 開放的類球面多重曲面形體的重拓?fù)溥^程

圖14 復(fù)雜鞋型的幾何紋理生成結(jié)果

2.2.2 類平面的形體

當(dāng)目標(biāo)形體在空間坐標(biāo)中只在2個維度有較大的數(shù)值變化時，變化維度較小的形變可被忽略，并可以根據(jù)形體的平面投影輪廓來重建網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然后施加力學(xué)約束條件將網(wǎng)格擬合到目標(biāo)形體上。開放的類平面多重曲面形體的重拓?fù)溥^程見圖15，即為重拓?fù)溥^程和紋理制作的流程：將目標(biāo)曲面的邊緣提取出來，并向變化維度較小的坐標(biāo)軸壓縮；通過平面閉合曲線生成均勻連續(xù)的基礎(chǔ)網(wǎng)格；將平面基礎(chǔ)網(wǎng)格通過動力學(xué)找形的方法包覆到目標(biāo)曲面上。

在對原目標(biāo)曲面進(jìn)行重拓?fù)涔に嚭螅P者通過三角函數(shù)干擾算法對新建網(wǎng)格進(jìn)行了干擾，形成了類似水波紋的效果，此效果已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)突破了模具廠的建模能力，同時也不浪費其基礎(chǔ)模型，可作為后期參數(shù)化設(shè)計師進(jìn)行操作的基礎(chǔ)模型，見圖16。

圖15 開放的類平面多重曲面形體的重拓?fù)溥^程

圖16 幾何紋理生成結(jié)果

3 技術(shù)突破及優(yōu)勢

3.1 技術(shù)突破：普適性提升

在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中，人們常用“邊界表示（B-Rep）”法來描述所要加工的物體，此方法是一種根據(jù)歐拉拓?fù)溥吔鐦?gòu)建的幾何形狀所需的信息，并由計算機保存該信息的方法[16]，該方法利于機械設(shè)備采用輪廓制造工藝對曲面進(jìn)行精細(xì)化的加工等操作。然而，這種幾何描述法的缺點很明顯：由于需要對曲面的邊緣有清晰定義，在進(jìn)行面面相接、倒角等操作時，往往出現(xiàn)邊界的“非連續(xù)”。這種非連續(xù)特點，在車輛曲面建模中，往往需要專門的設(shè)計師或數(shù)模師耗費大量的時間精力進(jìn)行修復(fù)、優(yōu)化，但在鞋服模具廠的工作中往往被忽略，因為所導(dǎo)致的誤差較小，不影響生產(chǎn)。

然而在重拓?fù)涔に囍校瑤缀畏沁B續(xù)就會出現(xiàn)很大的問題。Rhino7自帶的重拓?fù)涔δ芤妶D17。圖17a為模具廠提供的曲面文件，通過外露邊緣檢查（紫色顯示）發(fā)現(xiàn)很多曲面根本就沒有連接上，且無法組合成一個多重曲面（由于設(shè)計師建模水平等因素，邊緣有空隙）。如果直接對這個模型進(jìn)行網(wǎng)格重拓?fù)洌嬎銠C就會將整個物件識別成許多的Surface，并逐個分別進(jìn)行網(wǎng)格化。以Rhino7內(nèi)置的重拓?fù)渌惴槔斎脒@樣的物件只能達(dá)到單一網(wǎng)格內(nèi)自身的均勻，但整個物件還是無法重拓?fù)涑梢粋€單一網(wǎng)格（如圖17b生成出來的結(jié)果還是有外露邊緣，說明依舊是多個網(wǎng)格）。甚至在一些局部產(chǎn)生破面現(xiàn)象，不能達(dá)到全局的網(wǎng)格均勻性。雖然市場上現(xiàn)有的重拓?fù)涔ぞ哂泻芏?，如Hypermesh、CreateQuadMesh等，但是想要對上面這樣的破面直接進(jìn)行網(wǎng)格重拓?fù)湟仓荒苌啥鄠€質(zhì)量良好的單一網(wǎng)格，不過其邊緣的連續(xù)性無法得到保證，邊緣頂點無法一一對應(yīng)，只能在重拓?fù)渲笆謩有扪a物件不連接的地方，這無疑會增加設(shè)計師的負(fù)擔(dān)，減慢開發(fā)進(jìn)度。除了工業(yè)領(lǐng)域之外其他重拓?fù)涔ぞ叽蟛糠旨性谟嬎銠C動畫軟件（如C4D、Maya）或數(shù)字雕塑軟件（如ZBrush），很難與現(xiàn)有制造業(yè)建模水平匹配，而且強行使用這些平臺進(jìn)行重拓?fù)涔ぷ饕残枰肆M(jìn)行曲面連續(xù)性的優(yōu)化預(yù)處理，同樣費時費力。

圖17 Rhino7自帶的重拓?fù)涔δ?/p>

針對文中提出的方法，由于基礎(chǔ)網(wǎng)格本身就是根據(jù)整個物件設(shè)計（可以無視曲面不連接的地方，無需對Surface進(jìn)行修補預(yù)處理），再進(jìn)行動力學(xué)找形（網(wǎng)格間增加桿件彈簧力約束其形變不至于過長，同時施加碰撞力使桿件不至于過短），就能保證一次達(dá)到均勻網(wǎng)格的效果。此次方法的效果相對傳統(tǒng)軟件有本質(zhì)區(qū)別，所用平臺與模具廠所用的平臺一致，均為犀牛（Rhino）平臺，非常適用于工業(yè)生產(chǎn)、制造領(lǐng)域。工程師只需要重構(gòu)網(wǎng)格的拓?fù)潢P(guān)系，即可自動生成設(shè)定數(shù)目的均勻網(wǎng)格。

3.2 網(wǎng)格自身質(zhì)量優(yōu)勢

在曲面上進(jìn)行網(wǎng)格劃分無法使每個單元網(wǎng)格完全一致，因此可以在誤差允許范圍內(nèi)盡可能地滿足特定的需求。一般來說，對于一個優(yōu)化后的網(wǎng)格，其每個面的形狀越“規(guī)整”，其形狀質(zhì)量就越好，以三角網(wǎng)格為例，其形狀越接近于正三角形，說明其形狀質(zhì)量越高。對于一個網(wǎng)格整體來說，其所有面的面積越近似，說明其整體均勻性越好，這一數(shù)據(jù)體現(xiàn)在漸變程度方差上。因此，對于一個網(wǎng)格優(yōu)化算法，形狀質(zhì)量和漸變程度是評價此算法的兩大技術(shù)指標(biāo)。

3.2.1 形狀質(zhì)量優(yōu)勢

對于三角網(wǎng)格形狀質(zhì)量的評價，可以通過計算面積與邊長之比計算[17]：

(9)

對于四邊網(wǎng)格形狀質(zhì)量的評價，可以使用失真系數(shù)（distortion coefficient）來描述，其由Lo[18]提出。將四邊形依對角線分割成4個三角形，分別計算4個三角形的值并求出一種幾何平均值，即通過下面的公式來計算四邊網(wǎng)格的形狀質(zhì)量[19]：

(10)

以球面和類球面形體擬合出來的網(wǎng)格為例，在此次評價中用Rhino7內(nèi)置的QuadRemesh指令作為對比，筆者對目標(biāo)形體進(jìn)行重建四邊網(wǎng)格，得到網(wǎng)格M_1（此次方法）、M_1（QuadRemesh）和M_2（此次方法）、M_2（QuadRemesh）。形狀質(zhì)量可視化對比見圖18，經(jīng)過以上方法完成的重拓?fù)渚W(wǎng)格形狀質(zhì)量好于Rhino7內(nèi)置的重拓?fù)渲噶钏傻木W(wǎng)格（紅色區(qū)域代表網(wǎng)格質(zhì)量較差，藍(lán)色區(qū)域代表網(wǎng)格質(zhì)量較好）。

圖18 形狀質(zhì)量可視化對比

3.2.2 網(wǎng)格漸變程度優(yōu)勢

良好的網(wǎng)格大小漸變能帶來一種良好的視覺效果。網(wǎng)格面面積比值見圖19。如果每2個相鄰網(wǎng)格面面積的比值都相同，也就是說整個網(wǎng)格面是線性變化的，那網(wǎng)格漸變程度也是最均勻的。

由于網(wǎng)格形體的每個面都有其相鄰的面，所以可將每個網(wǎng)格面的面積與其相鄰網(wǎng)格面的面積之比的平均值作為這個網(wǎng)格面的漸變程度值：

(11)

式（11）中Areai為一個網(wǎng)格面（Face）面積，AdjacentAreaj為Areai相鄰的Face面積，n。為相鄰面的數(shù)量，對于四邊網(wǎng)格（除在邊緣處的面以外），n=4，γ值越接近1，說明網(wǎng)格變化程度越小。計算每個網(wǎng)格面的γ值，并通過計算其平均值和方差，即可量化比較不同的網(wǎng)格優(yōu)化方法。

圖19 網(wǎng)格面面積比值

Fig.19 Ratio of area for faces

操作過程：采用控制變量法，將此次方法與Rhino7內(nèi)置的QuadRemesh方法分別重拓?fù)銶_1及M_2形體為四邊網(wǎng)格，并分別對比所生成的網(wǎng)格形狀質(zhì)量與漸變程度。表中最重要的指標(biāo)為形狀質(zhì)量的方差與漸變程度的方差，數(shù)值越小說明越優(yōu)異。

網(wǎng)格質(zhì)量對比見表1。通過表1的數(shù)據(jù)可以看出，使用此次方法獲得的網(wǎng)格漸變程度，較Rhino7原裝方法其方差值有明顯變小，這說明在對目標(biāo)形體的網(wǎng)格重建中，用此次方法獲得的視覺效果更均勻，更利于后續(xù)工作的開展。同時此次方法在處理奇異點的數(shù)量和位置上更具靈活性，其他軟件自帶的重建網(wǎng)格指令則根本無法控制奇異點的數(shù)量和位置。此次方法奇異點的分布（見圖20a）相比Rhino7原裝方法奇異點的分布（見圖20b）更加均勻。對于更加復(fù)雜的形體，奇異點的可控制也比其他軟件生成得更理想。

表1 網(wǎng)格質(zhì)量對比

Tab.1 Mesh quality comparison

圖20 奇異點分布對比

4 結(jié)語

隨著計算性設(shè)計時代的到來，設(shè)計與數(shù)據(jù)的關(guān)系越發(fā)緊密。在目前消費品設(shè)計領(lǐng)域，計算機多半還是承擔(dān)“輔助設(shè)計”的角色，數(shù)據(jù)傳遞的信息主要是設(shè)計師對產(chǎn)品幾何的描述，并由工廠生產(chǎn)。這樣的設(shè)計閉環(huán)并未將數(shù)據(jù)在設(shè)計端的意義發(fā)揮到極致，缺乏數(shù)據(jù)監(jiān)測及反饋對產(chǎn)品的優(yōu)化。設(shè)計師依舊是憑借經(jīng)驗在優(yōu)化現(xiàn)有的產(chǎn)品。同時由于加工廠商的建模能力約束，很多設(shè)計師所希望的表皮紋理設(shè)計也很難實現(xiàn)，一旦需要連續(xù)的肌理，就必然涉及到“跨面操作”。這項操作在建模工程中會遇到不小的阻礙，會拉長設(shè)計周期，對商業(yè)設(shè)計有致命影響。

借助文中提出的“基于動力學(xué)找形的重拓?fù)涔に嚒狈椒?，模具廠繪制的B-rep模型可以被快速轉(zhuǎn)換為分布均勻、形態(tài)規(guī)則、面數(shù)可控的連續(xù)網(wǎng)格。這一方法既沒有浪費模具廠對模型準(zhǔn)確繪制的基本功，同時也為未來更多的數(shù)字設(shè)計師提供了模型接口，避免了他們獨立處理“非連續(xù)多重曲面“時的重復(fù)勞動。在產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計過程中，將基礎(chǔ)形體快速轉(zhuǎn)換成以網(wǎng)格表示為基礎(chǔ)的數(shù)字化模型，可以在前期的設(shè)計過程中方便地介入有限元分析，并通過參數(shù)化的控制直接修改、調(diào)整網(wǎng)格，加快迭代優(yōu)化過程。此外甚至可以接入用戶數(shù)據(jù)采集作為基礎(chǔ)網(wǎng)格形態(tài)變化的依據(jù)，從而實現(xiàn)形態(tài)的快速定制化生成。

模型轉(zhuǎn)換效率看似是一個量變的過程，其實是產(chǎn)品數(shù)據(jù)鏈的“潤滑劑”，在一個開發(fā)周期較緊張的商業(yè)項目中，模型文件轉(zhuǎn)換效率的提升可以讓研發(fā)團(tuán)隊、數(shù)字服務(wù)團(tuán)隊更快地同時參與到項目中來，從而更高質(zhì)量地為設(shè)計到制造的開發(fā)體系奠定基礎(chǔ)。

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Discontinuous B-rep Geometry Topology Reconstruction in Dynamic Form-finding Method

YUAN Chao, ZHANG Xiao, QIU Song

(Tsinghua University, Beijing 100084, China)

This paper aims toconvert files of the Boundary Representation (B-rep)model in industrial modeling engineering to files of the Uniform continuous mesh model efficiently through retopology, which provides a bridge for parametric design and finite element analysis, further construct a closed loop of parametric design workflow.Through algorithm plug-in based on Rhino platform, the basic mesh preset many constraints such as the spring force of the rod, the anchoring force of the boundary and the attractive force of the target is wrapped onto known B-rep shapes. And through dynamic multiple iteration algorithms, the retopology mesh is infinitely approached to the original surface. Finally, the basic mesh is reconstructed into a uniformly continuous four-sided mesh with a controllable number.After this process, the designer only needs to do a few clicks operation, and the discontinuous B-rep shaper can be re-topological within a few minutes. The new mesh obtained is uniform and continuous, and the number of faces is controllable, saving a lot of manpower repair time.By providing retopology method based on dynamic algorithm, parametric designer can Connect factories more smoothly, and finite element analysis will be more efficient to aided support design. It is one of the important technical foundations of industrial design digital closed loop.

dynamic form-finding; retopology; parametric design; mesh mapping; finite element analysis; data closed loop

TB472

A

1001-3563(2022)10-0158-11

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.10.019

2022-01-02

袁潮（1996—），男，碩士生，主攻工業(yè)設(shè)計。

邱松（1964—），男，碩士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為設(shè)計形態(tài)學(xué)。

責(zé)任編輯：馬夢遙