陳梅香, 楊忠鵬, 林志興, 馮曉霞

(1. 莆田學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 福建 莆田 351100；2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 漳州 363000)

0 引 言

廣義二次矩陣[1]是二次矩陣的推廣[2-6], 目前關(guān)于廣義二次矩陣的研究已有很多結(jié)果[7-22]. 設(shè)n×n,[x]分別為復(fù)數(shù)域上的n×n階矩陣集合和一元多項(xiàng)式集合,r(A)為A∈n×n的秩,I(Ir)為r×r階單位矩陣,+為正整數(shù)集合.約定Ψn={P∈n×n|P2=P}.如無特殊說明, 本文的矩陣P均為冪等矩陣, 即P∈Ψn.若存在d,e∈, 使得(A-dI)(A-eI)=0, 則稱A∈n×n為由d,e確定的二次矩陣.若

A2=αA+βP,P2=P∈Ψn,AP=PA=A,α,β∈,

(1)

則A稱為(由冪等矩陣P和α,β∈確定的)廣義二次矩陣[1], 且記

Ωn(P)={A∈n×n|A2=αA+βP;α,β∈,AP=PA=A}.

(2)

文獻(xiàn)[15,20-22]使用了定義式(1), 還可以使用如下定義：

Ωn(P;d,e)={A∈n×n|(A-dP)(A-eP)=0,AP=PA=A},

(3)

其中P∈Ψn.當(dāng)P=I時(shí), 式(3)即為由d,e確定的二次矩陣.由式(1)～(3)易得:

(A-dP)(A-eP)=A2-αA-βP=0,

(4)

其中

(5)

由命題1知, 式(3)與式(1)廣義二次矩陣的定義等價(jià).

命題2[1]設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),k∈+, 則Ak∈Ωn(P),

Ak+1=αkA+βkP,

(6)

其中α1=α,β1=β且αk+1=ααk+βk,βk+1=βαk.

文獻(xiàn)[7]將命題2推廣到廣義二次算子上.文獻(xiàn)[1]用歸納法, 由式(1)出發(fā)比較了Ak+1=AAk與Ak+1=αkA+βkP中A,P對應(yīng)的系數(shù), 得到了αk,βk的計(jì)算公式(6).本文延續(xù)文獻(xiàn)[1]的結(jié)論和研究方法.

對任意一組復(fù)數(shù)am,…,a1,a0, 文獻(xiàn)[1]考慮了A∈Ωn(P)的多項(xiàng)式：

fP(A)=amAm+…+a1A+a0P,

(7)

這里f(x)=amxm+…+a1x+a0∈[x],m∈+.

例1表明, 文獻(xiàn)[1]給出的廣義二次矩陣多項(xiàng)式(7)與通常意義下的矩陣多項(xiàng)式不同.因此文獻(xiàn)[11]稱式(7)中的fP(A)為A的廣義多項(xiàng)式合理.

命題3[1]設(shè)P2=P∈Ψn,A∈Ωn(P)滿足式(1),f(x)由式(7)確定, 則

fP(A)=α*A+β*P∈Ωn(P),

(8)

式(8)表明, 廣義二次矩陣A的fP(A)對Ωn(P)的運(yùn)算是封閉的, 且fP(A)作為A與P的線性組合系數(shù), 可由式(8)得到, 并與多項(xiàng)式f(x)有關(guān).對給定的p,q∈, 總設(shè)

Γ(p,q)={(a,b):ab(ap+bq)≠0,a,b∈},

特別地,Γ=Γ(1,1).由文獻(xiàn)[23-24]可知, 對線性算子Fredholm穩(wěn)定性質(zhì)的研究有一定的理論意義.

命題4[25-26]設(shè)P,Q∈Ψn, 則r(aP+bQ)=r(P+Q), (a,b)∈Γ.

命題5[27-28]設(shè)P,Q,A,B∈n×n, 則

r(PQ-QP)=r(P-Q)+r(I-P-Q)-n=r(PQ-PQP)+r(PQP-QP),

(9)

r(AB-BA)=r(A+B)+r(A-B)-n,

(10)

其中P2=P,Q2=Q,A2=B2=I.

本文根據(jù)文獻(xiàn)[22], 利用A∈Ωn(P;d,e)與冪等矩陣P的關(guān)系, 證明廣義二次矩陣可表示為兩個(gè)冪等矩陣的線性組合, 并討論廣義二次矩陣中廣義多項(xiàng)式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算的秩不變性.結(jié)果表明, 廣義多項(xiàng)式的秩不僅與組合系數(shù)的選擇無關(guān), 而且在大多數(shù)情況下與多項(xiàng)式的選擇也無關(guān).從而概括并推廣了已有冪等矩陣、 對合矩陣、 二次矩陣、 廣義二次矩陣的相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1設(shè)P∈Ψn,AP=PA=A.如果d,e∈且d≠e, 則

(11)

且當(dāng)A∈Ωn(P;d,e)時(shí),

A=(e-d)CA+dP=(d-e)KA+eP,PCA=CAP=CA,PKA=KAP=KA,

(12)

A=eCA+dKA,CA+KA=P,CAKA=KACA=0.

(13)

證明: 當(dāng)A∈Ωn(P;d,e)且d≠e時(shí), 由式(3)知(A-dP)(A-eP)=0, 則

當(dāng)A∈Ωn(P;d,e)時(shí), 由式(11)可得(e-d)CA+dP=(A-dP)+dP=A, 又由AP=PA=A可知,

同理可得A=(d-e)KA+eP且PKA=KAP=KA.因此式(12)成立.當(dāng)A∈Ωn(P;d,e)時(shí), 由式(11)可得

結(jié)合式(3)得

(15)

即式(13)成立.證畢.

引理2設(shè)P∈Ψn,A∈n×n且AP=PA=A, 則有可逆矩陣G和W, 使得

P=Gdiag(Ir,0)G-1,r(P)=r；A=Gdiag(A1,0)G-1,A1∈r×r；

(16)

A∈Ωn(P;d,e)?A1∈Ωr(Ir;d,e).

(17)

當(dāng)d≠e時(shí),

A=Wdiag(dIt,eIr-t,0)W-1∈Ωn(P;d,e),P=Wdiag(Ir,0)W-1.

(18)

證明: 由文獻(xiàn)[14]中引理9或文獻(xiàn)[16]中定理1.1及文獻(xiàn)[21]中引理1的證明知, 式(16)成立.從而

(A-dP)(A-eP)=Gdiag((A1-dIr)(A1-eIr),0)G-1,AP=PA=A.

故由式(3)得式(17).由文獻(xiàn)[16]中定理1.1(iii)的證明或文獻(xiàn)[20]中引理3的(9)得式(18).證畢.

對?f(x)∈[x]形如式(7), 當(dāng)P∈Ψn,r(P)=r,AP=PA=A時(shí), 由式(16),(17)可得

fP(A)=amAm+…+a1A+a0P=Gdiag(f(A1),0)G-1,

(19)

其中A1∈r×r.文獻(xiàn)[16,19]中研究的廣義二次矩陣是由同一個(gè)冪等矩陣確定的, 本文討論更一般的情形.約定： 若P,Q∈Ψn, 則A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB), 且對f(x),g(x)∈[x], 設(shè)

ω=ω(A,B)=(eA-dA)(eB-dB),ωf,g=(f(eA)-f(dA))(g(eB)-g(dB)).

(20)

將文獻(xiàn)[8]中定理2和文獻(xiàn)[9]中定理3.2應(yīng)用到有限維空間, 可得:

引理3設(shè)P,Q∈Ψn,A∈Ωn(P),B∈Ωn(Q)滿足A2=αAA+βAP,βA≠0, 且B2=αBB+βBQ,βB≠0.如果P-Q可逆, 則A-B可逆.

引理4設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB)且dA≠eA,dB≠eB.則

r(CACB-CBCA)=r(CA1CB1-CB1CA1)=r(AB-BA).

(22)

當(dāng)dA=dB=d≠e=eA=eB時(shí),

r(AB-BA)=r(A-B)+r[(e+d)P-A-B]-r(P).

(23)

當(dāng)A∈Ψn,B∈Ωn(I;0,μ)時(shí),

r(AB-BA)=r(AB-ABA)+r(ABA-BA).

(24)

證明: 式(21)可由文獻(xiàn)[12]中定理3.1的式(3.1),(3.4)得到, 式(22)來源于文獻(xiàn)[12]定理3.1證明中的式(3.6), 式(23)即為文獻(xiàn)[12]中定理4.1, 式(24)可由文獻(xiàn)[12]中式(4.4)得到.證畢.

2 廣義二次矩陣的廣義多項(xiàng)式

定理1設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e), 則當(dāng)d≠e時(shí),

Ak=(ek-dk)CA+dkP,k∈+；

(25)

當(dāng)d=e時(shí),

Ak+1=(k+1)dkA-kdk+1P,k∈+;

(26)

且

Ak∈Ωn(P;dk,ek),k∈+.

(27)

證明: 當(dāng)d≠e時(shí), 用歸納法證明式(25).當(dāng)k=1時(shí), 由式(11)知式(25)成立.假設(shè)當(dāng)k-1≥1時(shí), 式(25)成立, 即有Ak-1=(ek-1-dk-1)CA+dk-1P, 則由式(11)有

即式(25)成立.

當(dāng)d=e時(shí), 由式(3)知當(dāng)k=1時(shí)式(26)成立, 且A2=2dA-d2P,A∈Ωn(P;d,d)； 而

A3=2d(2dA-d2P)-d2A=3d2A-2d3P,

即當(dāng)k=2時(shí)式(26)成立.假設(shè)k-1≥2時(shí)式(26)成立, 即

Ak=A(k-1)+1=kdk-1A-(k-1)dkP,

則

Ak+1=AkA=kdk-1(2dA-d2P)-(k-1)dkA=dk[2k-(k-1)]A-kdk+1P,

即式(26)成立.

即式(27)成立； 當(dāng)d≠e且dk=ek時(shí), 由式(25)知(Ak-dkP)2=0, 此時(shí)式(27)成立.當(dāng)d=e時(shí), 由式(26)得

A2k=2kd2k-1A-(2k-1)d2kP=2dk[kdk-1A-(k-1)dkP]-d2kP=2dkAk-d2kP,

即(Ak-dkP)2=0, 此時(shí)式(27)成立.證畢.

推論1設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),k∈+, 則式(6)中的

αk=dk+dk-1e+…+dek-1+ek,βk=-(dke+dk-1e2+…+dek).

(28)

證明: 當(dāng)d≠e時(shí), 由式(25)和引理1知

再由式(6)知式(28)成立.當(dāng)d=e時(shí), 由

dk+dk-1e+…+dek-1+ek=(k+1)dk=αk, -(dke+dk-1e2+…+dek)=-kdk+1=βk,

并結(jié)合式(26)知式(28)成立.證畢.

定理2設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),f(x)∈[x],f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù), 則廣義多項(xiàng)式fP(A)滿足fP(A)P=PfP(A)=fP(A), 并且當(dāng)d≠e時(shí),

fP(A)=(f(e)-f(d))CA+f(d)P；

(29)

當(dāng)d=e時(shí),

fP(A)=f′(d)A+(f(d)-f′(d)d)P；

(30)

fP(A)∈Ωn(P;f(d),f(e)).

(31)

證明: 如式(7), 設(shè)f(x)=amxm+…+a1x+a0∈[x], 由式(19)和AP=PA=A得fP(A)P=PfP(A)=fP(A).當(dāng)d≠e時(shí), 由式(7),(11),(25)得

即式(29)成立.

當(dāng)d=e時(shí), 由式(7),(26)得

又當(dāng)d=e時(shí), 由A2=2dA-d2P及命題1和式(30), 得

即(fP(A)-f(d)P)2=0, 再由式(3)得式(31).證畢.

當(dāng)A∈Ωn(I;dA,eA)時(shí), 由定理2可得二次矩陣多項(xiàng)式的相應(yīng)結(jié)論.

3 主要結(jié)果

定理3設(shè)P,Q∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB), 其中dAdBeAeB≠0,f(x),g(x)∈[x]滿足f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0.如果P-Q可逆, 則fP(A)-gQ(B)可逆.特別地, 當(dāng)a,b∈且ab≠0,k,t∈+時(shí),aAk+bBt可逆.

證明: 由定理2和式(31)知,

fP(A)∈Ωn(P;f(dA),f(eA)),gQ(B)∈Ωn(Q;g(dB),g(eB)).

再由f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0和式(2),(4),(5)得

因此由引理3可知fP(A)-gQ(B)可逆.

設(shè)f(1)(x)=axk,g(1)(x)=-bxt∈[x], 由dAdBeAeB≠0知,

定理3表明,fP(A)-gQ(B)可逆只需滿足f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0, 而與多項(xiàng)式f(x),g(x)的選擇無關(guān).當(dāng)f(x)=g(x)=x時(shí), 由定理3可得引理3.

定理4設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB),f(x),g(x)∈[x].如果式(20)中ωωf,g≠0, 則廣義多項(xiàng)式fP(A),gP(B)的換位子滿足

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA).

證明: 由式(11),(20),(25),(27)知,

(32)

再由式(20),(32)得

即

(33)

結(jié)合引理4中式(22)可知定理4的結(jié)論成立.證畢.

定理4表明, 在約束ωωf,g≠0下, 由同一個(gè)冪等矩陣確定的兩個(gè)廣義二次矩陣的兩個(gè)廣義多項(xiàng)式換位子的秩與多項(xiàng)式選擇無關(guān).

推論2設(shè)P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB),f(x),g(x)∈[x].如果式(20)中ωωf,g≠0, 則廣義多項(xiàng)式fP(A),gP(B)的換位子滿足

且當(dāng)dA=dB=d,eA=eB=e時(shí), 有

當(dāng)dA=1,eA=0時(shí), 有

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA)=r(ABA-AB)+r(ABA-BA);

(36)

當(dāng)dA=dB=d=-eA=-eB≠0時(shí), 有

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA)=r(A-B)+r(A+B)-r(P).

(37)

證明: 當(dāng)f(x)=g(x)=x時(shí), 由定理4和引理4中式(21)知式(34)成立.再由式(34)分別可得式(35),(36).最后由式(35)知式(37)成立.證畢.

當(dāng)f(x)=g(x)=x且dA=dB,eA=eB時(shí), 由式(35)可得文獻(xiàn)[11]中的式(23).當(dāng)P=I,f(x)=g(x)=x且取d=1,e=0(d=1,e=-1)時(shí), 由式(35)(或(37))可得文獻(xiàn)[27](或文獻(xiàn)[28])給出的冪等(或?qū)?矩陣的秩等式(9)(或(10)).由式(36)可得文獻(xiàn)[11]的結(jié)論(式(24)), 表明秩等式(9)也適用于冪等矩陣和廣義二次矩陣； 式(37)表明式(10)也適用于數(shù)量對合矩陣[29].

r(f(A)g(B)-g(B)f(A))=r(AB-BA)=r(A-B)+r(I-A-B)-n.

(38)