劉 健， 胡 冰， 丁曉劍， 譙自健， 臧傳來(lái)

(1. 南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院，南京 210023； 2. 南京郵電大學(xué) 現(xiàn)代郵政學(xué)院，南京 210003；3. 寧波大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 寧波 315211； 4. 東京大學(xué) 電氣工程與信息學(xué)院，東京 113-8656)

噪聲增益效應(yīng)普遍存在于非線性系統(tǒng)中, 學(xué)者們[1-6]對(duì)噪聲誘導(dǎo)布朗粒子逃逸問(wèn)題的研究也越來(lái)越多, 并且已經(jīng)得到理論推導(dǎo)和試驗(yàn)驗(yàn)證的重大發(fā)展, 關(guān)聯(lián)噪聲激勵(lì)的非線性動(dòng)力學(xué)被廣泛應(yīng)用于機(jī)械壽命預(yù)測(cè)、生物種群增長(zhǎng)、化學(xué)振蕩反應(yīng)、信號(hào)估計(jì)與檢測(cè)、水下聲吶探測(cè)等領(lǐng)域, 利用噪聲提升系統(tǒng)輸出響應(yīng)被廣義上表述為振動(dòng)共振現(xiàn)象。特別地, 研究布朗粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征, 利用平均首通時(shí)間指標(biāo)定量地評(píng)價(jià)粒子在勢(shì)阱間的躍遷過(guò)程。劉廣凱等[7]研究了過(guò)阻尼雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中正弦中頻信號(hào)的隨機(jī)共振提取問(wèn)題, 通過(guò)最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)的選取來(lái)匹配背景加性高斯白噪聲從而顯著提升信號(hào)接收性能。Fiasconaro等[8]分析了受兩種獨(dú)立的乘性和加性高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)下的腫瘤增長(zhǎng)模型的穩(wěn)定性, 發(fā)現(xiàn)兩類不同噪聲共同作用可以增強(qiáng)模型穩(wěn)定性。郭永峰等[9]研究了互關(guān)聯(lián)的乘性和加性高斯白噪聲激勵(lì)下分段線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的非平衡相變問(wèn)題, 噪聲間的耦合參數(shù)改變了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線峰值分布及誘導(dǎo)系統(tǒng)共振現(xiàn)象。

由于許多物理系統(tǒng)需要考慮各種噪聲源干擾以及多個(gè)噪聲源之間的關(guān)聯(lián)性,一些學(xué)者們[10-13]考慮了從單一噪聲源到多個(gè)噪聲源, 甚至從噪聲間的獨(dú)立性到互相關(guān)性來(lái)研究非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)共振行為。Badzey等[14]從加性高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)下的雙穩(wěn)態(tài)硅納米機(jī)械振子系統(tǒng)中觀察到共振現(xiàn)象, 發(fā)現(xiàn)通過(guò)添加白噪聲可以有效地實(shí)現(xiàn)信號(hào)強(qiáng)度的放大, 納米機(jī)械系統(tǒng)中的共振效應(yīng)對(duì)實(shí)現(xiàn)可控高速納米機(jī)械記憶單元具有重要作用。運(yùn)用統(tǒng)一色噪聲理論, Cao等[15]推導(dǎo)出了由互關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型的穩(wěn)態(tài)概率密度表達(dá)式。Liang等[16]推導(dǎo)了色關(guān)聯(lián)的色噪聲激勵(lì)的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的近似Fokker-Planck方程。Luo等[17]分析了色關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲共同作用下過(guò)阻尼雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出信噪比, 發(fā)現(xiàn)色關(guān)聯(lián)性可以誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生雙共振現(xiàn)象。靳艷飛等[18-19]分別討論了僅有色關(guān)聯(lián)噪聲激勵(lì)和色噪聲與弱信號(hào)共同激勵(lì)下分段非線性雙穩(wěn)態(tài)模型的共振現(xiàn)象。Xu[20]研究了色關(guān)聯(lián)噪聲在線性項(xiàng)和高階項(xiàng)下擾動(dòng)的隨機(jī)邏輯模型的相變現(xiàn)象, 分析了噪聲的關(guān)聯(lián)性對(duì)P-分岔的影響。

上述關(guān)于非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究側(cè)重點(diǎn)在于噪聲干擾源上, 然而物理系統(tǒng)中的勢(shì)結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)共振作用也是至關(guān)重要的, 很多學(xué)者致力于勢(shì)模型或它們的變形形式來(lái)研究非平衡相變, 勢(shì)阱深度、寬度以及勢(shì)阱壁的陡峭程度等這些因素均可改變力平衡方程, 造成勢(shì)力的微小偏差, 產(chǎn)生有益的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。Alfonsi等[21]和Li等[22]在欠阻尼雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)中分別討論了阱內(nèi)共振和阱間共振現(xiàn)象, 結(jié)果表明阱內(nèi)共振可以與經(jīng)典阱間共振同時(shí)存在于非線性系統(tǒng)之中。賴志慧等[23]在三穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型中考慮噪聲和低頻諧波信號(hào)共同驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)的輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng), 并從穩(wěn)態(tài)解曲線的角度闡述了噪聲誘導(dǎo)的三穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振機(jī)理。Zhang等[24]研究了布朗粒子在Landau型勢(shì)結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng), 發(fā)現(xiàn)功率譜放大曲線呈現(xiàn)出非典型隨機(jī)共振現(xiàn)象。此外, Arathi等[25]通過(guò)固定右半部分勢(shì)結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造一種新型非對(duì)稱勢(shì)模型, 并驗(yàn)證該新型非對(duì)稱Duffing振蕩器中的系統(tǒng)共振現(xiàn)象。進(jìn)一步地, Qiao等[26]證實(shí)了這種新型可變勢(shì)阱雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)結(jié)構(gòu)在微弱故障特征信息提取上的功效。此外,劉健等[27-28]分別討論了高斯白噪聲和時(shí)延以及非高斯噪聲激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型的動(dòng)力學(xué)共振現(xiàn)象。

盡管多種類型隨機(jī)擾動(dòng)噪聲源和新型勢(shì)結(jié)構(gòu)模型被大量研究用于探討非線性動(dòng)力學(xué)共振現(xiàn)象, 但對(duì)于對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型中阱深和阱寬對(duì)粒子躍遷影響的研究甚少, 此外, 噪聲通常是色關(guān)聯(lián)的。鑒于此, 本文考慮由色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性白噪聲共同激勵(lì)的可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型中系統(tǒng)粒子的躍遷行為, 分析了在阱深和阱寬可變的情形下噪聲相關(guān)參數(shù)對(duì)粒子平均首通時(shí)間的影響。本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第二部分給出所研究的可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型并分析可控勢(shì)阱因子對(duì)阱深和勢(shì)阱寬的控制作用; 第三部分基于概率分布密度函數(shù)的演化方程推導(dǎo)出粒子平均首通時(shí)間的解析表達(dá)式; 第四部分分別在阱深和勢(shì)阱寬兩種情形下討論不同參數(shù)對(duì)平均首通時(shí)間的影響; 第五部分總結(jié)全文。

1 可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型

本文考慮一種反映勢(shì)阱深度和勢(shì)阱寬度可控的雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型, 通過(guò)調(diào)整可控勢(shì)阱因子來(lái)改變系統(tǒng)勢(shì)阱結(jié)構(gòu), 從而研究勢(shì)阱深度和勢(shì)阱寬度的改變對(duì)隨機(jī)共振功效的影響。

色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性白噪聲共同激勵(lì)下的可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)系統(tǒng)可由下列隨機(jī)微分方程表示

(1)

式中，ε(t)和η(t)分別為色關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲, 其統(tǒng)計(jì)特性為

〈ε(t)〉=〈η(t)〉=0

(2)

(3)

〈η(t)η′(t)〉=2αδ(t-t′)

(4)

(5)

式中：D和α分別為乘性色噪聲和加性白噪聲的強(qiáng)度；τ1為乘性色噪聲自相關(guān)時(shí)間；λ和τ2分別為兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和互關(guān)聯(lián)時(shí)間, 當(dāng)-1<λ<0時(shí), 兩噪聲之間表示負(fù)關(guān)聯(lián), 當(dāng)0<λ<1時(shí), 兩噪聲之間表示正關(guān)聯(lián), 當(dāng)λ=0時(shí), 兩噪聲之間關(guān)聯(lián)性消失;t與t′為兩個(gè)不同時(shí)刻。

可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)V(x)為

(6)

2 平均首通時(shí)間

根據(jù)隨機(jī)Liouville方程和Van-Kampen引理(P(x,t)=〈δ(x(t)-x)〉), 可得概率分布密度函數(shù)的演化方程, 即系統(tǒng)的Fokker-Planck方程為

(7)

根據(jù)統(tǒng)一色噪聲近似理論, 將式(1)中非馬爾科夫過(guò)程科轉(zhuǎn)化成一維馬爾科夫過(guò)程

(8)

式中,Γ(t)為白噪聲且有如下統(tǒng)計(jì)特性

〈Γ(t)〉=0,〈Γ(t)Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)

(9)

和

(x,τ1)=1+2τ1x2

(10)

利用Novikov理論、Fox方法和式(8), 可以將式(1)的漸近Fokker-Planck方程寫(xiě)為

(11)

根據(jù)式(6)和式(8), 可以將式(11)的漸近Fokker-Planck方程改寫(xiě)為

(12)

其中,

(13)

因此, 與式(1)相對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck方程可表示為

(14)

其中,

(15)

(16)

其中，

(17)

通過(guò)式(15)和式(16)對(duì)式(14)進(jìn)行求解, 可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概念密度函數(shù)為

(18)

式中，φ(x)為廣義勢(shì)函數(shù), 計(jì)算可得

(19)

其中,

穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在不同可控勢(shì)阱因子k下的變化曲線,如圖1所示。其中，實(shí)線為利用Van-Kampen引理、Novikov理論和Fox方法推導(dǎo)的式(18)中理論結(jié)果, 圓圈為直接模擬求解隨機(jī)微分方程式(1)所得結(jié)果。為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的有效性, 不失一般性, 我們分別選取可變阱深和可變阱寬作為示例進(jìn)行分析。

圖1 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在不同可控勢(shì)阱因子k下的變化曲線(τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08)Fig.1 The steady-state probability density function Pst as a function of the variable x under different controllable potential-well factor k with τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08

在可控勢(shì)阱深度情形下, 圖1(a)描述了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在可控勢(shì)阱因子k=0.35時(shí)的曲線, 可以發(fā)現(xiàn)隨著變量x從-5～5變化, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)呈現(xiàn)出關(guān)于x=0兩邊對(duì)稱的雙峰。同時(shí), 左邊峰值明顯高于右邊峰值, 這說(shuō)明布朗粒子位于左勢(shì)阱的概率要高于位于右勢(shì)阱的概率。穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在x=0時(shí)也趨近于零, 這是由于粒子在勢(shì)壘下處于極度不穩(wěn)定狀態(tài), 要向左右勢(shì)阱躍遷。圖1(a)中的理論推導(dǎo)結(jié)果和模擬仿真結(jié)果相吻合, 這也證實(shí)了理論推導(dǎo)過(guò)程的有效性。

在可控勢(shì)阱寬度情形下, 圖1(b)描述了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在可控勢(shì)阱因子k=1.45時(shí)的曲線, 可以發(fā)現(xiàn)隨著變量x從-5～5變化, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)同樣呈現(xiàn)出關(guān)于x=0兩邊對(duì)稱的雙峰, 左峰比右峰更突出, 這與圖1(a)類似。然而, 圖1(b)中峰值高度均低于圖1(a)中峰值高度, 并且峰值寬度大于圖1(a)中峰值寬度, 這是由于可控勢(shì)阱因子k在兩種可控勢(shì)阱情形下的作用不同, 在可控勢(shì)阱深度中系統(tǒng)參數(shù)為A=B=k而可控勢(shì)阱寬度中系統(tǒng)參數(shù)為A=1/k2和B=1/k4, 通過(guò)可控勢(shì)阱因子k可實(shí)現(xiàn)對(duì)阱深和阱寬的有效控制, 從而探究非線性系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為。圖1(b)中的理論推導(dǎo)結(jié)果和模擬仿真結(jié)果相吻合, 同樣驗(yàn)證了理論推導(dǎo)過(guò)程的準(zhǔn)確性。圖1中可控勢(shì)阱因子的取值使左勢(shì)阱結(jié)構(gòu)變得更淺更緩, 這導(dǎo)致了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)中左峰占據(jù)主導(dǎo)地位。

通常, 非線性動(dòng)力學(xué)特征被瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)這兩種性質(zhì)描述, 其中布朗粒子的平均首通時(shí)間被用于表征瞬態(tài)特性, 來(lái)研究系統(tǒng)狀態(tài)間轉(zhuǎn)換的物理內(nèi)在機(jī)理。在可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型中, 平均首通時(shí)間刻畫(huà)了一個(gè)勢(shì)阱穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)化至另一個(gè)勢(shì)阱穩(wěn)態(tài)的特征。根據(jù)最速下降法, 可得粒子由x-所在的勢(shì)阱躍遷到x-所在的勢(shì)阱所需要的平均首通時(shí)間為

(20)

其中,

(21)

(22)

粒子由x+所在的勢(shì)阱躍遷到x-所在的勢(shì)阱所需要的平均首通時(shí)間為

(23)

其中,

(24)

(25)

3 可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型共振分析

為了定量研究?jī)煞N不同類型可控對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型下的布朗粒子平均首通時(shí)間, 根據(jù)式(20)和式(23)可知, 粒子從勢(shì)阱逃逸出去至另一勢(shì)阱所需的時(shí)間與廣義勢(shì)函數(shù)有關(guān), 因而我們將分別考慮布朗粒子從左勢(shì)阱(x-)躍遷至右勢(shì)阱(x+)所需要的平均首通時(shí)間(MFPT-)與布朗粒子從右勢(shì)阱(x+)躍遷至左勢(shì)阱(x-)所需要的平均首通時(shí)間(MFPT+)。不失一般性, 本文設(shè)置模型參數(shù)ω0=β=1,k用于控制雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型的可變阱深和可變阱寬。

3.1 可控勢(shì)阱深度情形

在可控勢(shì)阱深度情形下，平均首通時(shí)間作為乘性色噪聲強(qiáng)度D和加性白噪聲α的函數(shù)隨不同可控勢(shì)阱因子k的變化情況, 如圖2所示。圖2中：圖2(a)和圖2(b)分別為布朗粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱的MFPT-； 圖2(c)和圖2(d)分別為布朗粒子從右勢(shì)阱躍遷至左勢(shì)阱的MFPT+。觀察圖2(a)可知, MFPT-隨著D的增加呈現(xiàn)出先增后減的非單調(diào)趨勢(shì), 即乘性噪聲可以誘導(dǎo)共振現(xiàn)象。隨著k的增大, 平均首通時(shí)間的最大值也在增加, 可控勢(shì)阱因子的增加帶來(lái)了勢(shì)阱深度的加深, 從而粒子從左勢(shì)阱躍遷到右勢(shì)阱所需時(shí)間也會(huì)隨之增加。然而, 圖2(c)給出MFPT+隨著D的增大而單調(diào)下降并最終趨于極小值。觀察圖2(b)可知, MFPT-隨著α的增加而單調(diào)下降, 即加性噪聲加速了布朗粒子的躍遷過(guò)程。觀察圖2(d)可知, MFPT+隨著α的增加呈現(xiàn)出先緩慢降低然后快速增加的非單調(diào)現(xiàn)象, 即存在反共振現(xiàn)象。對(duì)比圖2(b)、圖2(d)與圖2(a)、圖2(c)可以發(fā)現(xiàn), 乘性噪聲、加性噪聲及可控勢(shì)阱因子對(duì)于粒子逃逸過(guò)程的影響取決了粒子初始位置, 即MFPT-和MFPT+在相同外部參數(shù)條件下展現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)特征。此外, 隨著乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度的持續(xù)增加, 平均首通時(shí)間趨于統(tǒng)一和發(fā)散, 乘性噪聲對(duì)于布朗粒子躍遷過(guò)程具有魯棒性。

圖2 平均首通時(shí)間在不同可控勢(shì)阱因子k下隨著乘性色噪聲強(qiáng)度D的變化曲線(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪聲強(qiáng)度α的變化曲線(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.2 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

圖3給出了平均首通時(shí)間作為可控勢(shì)阱因子k隨著不同自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ1、互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ2和強(qiáng)度λ的變化情，如圖3所示。圖3中：圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)分別為布朗粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱的MFPT-; 圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)分別為布朗粒子從右勢(shì)阱躍遷至左勢(shì)阱的MFPT+。對(duì)于不同的自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ1, 圖3(a)中說(shuō)明了平均首通時(shí)間隨著可控勢(shì)阱因子的增大而增大, 而圖3(d)指出平均首通時(shí)間呈現(xiàn)先減后增的非單調(diào)趨勢(shì), 即反共振現(xiàn)象。在不同的自相關(guān)時(shí)間τ1下存在一個(gè)合適的k使平均首通時(shí)間最小, 隨著k的持續(xù)增大, 平均首通時(shí)間也將急劇上升, 這就說(shuō)明更大的可控勢(shì)阱因子抑制了布朗粒子的逃逸活動(dòng)。此外, MFPT+的反共振谷值隨著τ1的增加而增大, 峰值所對(duì)應(yīng)的k卻在減小。通過(guò)圖3(b)和圖3(e)可見(jiàn), 平均首通時(shí)間隨著k的增大而持續(xù)增大, 互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ2對(duì)粒子躍遷行為的影響較小, 在相同可控勢(shì)阱因子下, 較大的互關(guān)聯(lián)時(shí)間相對(duì)更容易激發(fā)布朗粒子的逃逸過(guò)程。從圖3(c)可知, MFPT-在不同λ下隨著D的增加呈現(xiàn)不同變化趨勢(shì), 當(dāng)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ≤0時(shí), MFPT-隨著k增大展現(xiàn)出單調(diào)遞增的變化; 當(dāng)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ>0時(shí), MFPT-隨D增大呈現(xiàn)先增后減的非單調(diào)趨勢(shì), 即存在合適乘性噪聲強(qiáng)度能最大限度地提升系統(tǒng)穩(wěn)定性。與圖3(c)不同之處在于, 圖3(f)中負(fù)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度下平均首通時(shí)間隨著可控勢(shì)阱因子的增大呈現(xiàn)出先緩慢增加后急劇下降的非單調(diào)變化, 同時(shí), 隨著λ由零向正不斷增大, 布朗粒子在兩勢(shì)阱間躍遷的平均首通時(shí)間隨之增大, 當(dāng)λ數(shù)值較大(λ=0.9)時(shí), MFPT+隨著k增大先緩慢減小后急劇增大, 即反共振現(xiàn)象。相對(duì)于MFPT-情形而言,λ的變化對(duì)MFPT+的影響要更明顯, 也指出布朗粒子在左右不同勢(shì)阱開(kāi)始躍遷的速率是不同的。此外, 隨著k增至一定數(shù)量級(jí)(k>10), 平均首通時(shí)間都會(huì)趨于極大或極小數(shù)值, 說(shuō)明可控勢(shì)阱因子對(duì)布朗粒子平均首通時(shí)間的重要作用。對(duì)比圖3(a)、圖3(c)和圖3(d)、圖3(f), 自相關(guān)時(shí)間和互關(guān)聯(lián)時(shí)間的變化對(duì)MFPT+和MFPT-的影響不同, 這是由于關(guān)聯(lián)時(shí)間參數(shù)對(duì)勢(shì)結(jié)構(gòu)中左右勢(shì)阱的影響不同所致, 得出平均首通時(shí)間與布朗粒子的初始逃逸位置有關(guān)。

圖3 平均首通時(shí)間隨著可控勢(shì)阱因子k變化曲線在不同自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ1下的變化(τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5)和在不同互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ2下的變化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ下的變化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.3 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 and versus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

3.2 可控勢(shì)阱寬度情形

在可控勢(shì)阱寬度情形下平均首通時(shí)間作為乘性色噪聲強(qiáng)度D和加性白噪聲α的函數(shù)隨不同可控勢(shì)阱因子k的變化情況,如圖4所示。圖4中：圖4(a)和圖4(b)分別為布朗粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱的MFPT-；圖4(c)和圖4(d)分別為布朗粒子從右勢(shì)阱躍遷至左勢(shì)阱的MFPT+。從圖4(a)可知, MFPT-在不同k下隨著D的增加呈現(xiàn)先增后減的非單調(diào)趨勢(shì), 乘性噪聲抑制布朗粒子的逃逸速率并增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性, 即共振現(xiàn)象。隨著k的增大, 共振峰位置向左移動(dòng), 與共振峰所對(duì)應(yīng)的乘性噪聲強(qiáng)度也隨之減小。圖4(b)給出了MFPT+在k下隨加性噪聲的變化, MFPT+隨著α的增加而單調(diào)遞減, MFPT+在較小k下下降趨勢(shì)顯著, 在較大k下緩慢下降, 這也說(shuō)明了大可控勢(shì)阱因子對(duì)加性噪聲誘導(dǎo)下的粒子躍遷行為具有魯棒性。觀察圖4(c)可知, MFPT-隨著D的增大而單調(diào)下降, 乘性噪聲加速了粒子躍遷過(guò)程, MFPT-隨著k的增加而減小, 可控勢(shì)阱因子加速粒子躍遷過(guò)程。由于可控勢(shì)阱因子的增加帶來(lái)了勢(shì)阱深度的增加, 也帶來(lái)了陡峭的勢(shì)阱壁結(jié)構(gòu), 從而粒子從右勢(shì)阱躍遷到左勢(shì)阱所需時(shí)間將會(huì)減小, 這與圖4(a)中現(xiàn)象不太一致,也說(shuō)明了平均首通時(shí)間和粒子初始躍遷位置以及可控勢(shì)阱因子都有緊密關(guān)系。從圖4(d)可知, 平均首通時(shí)間隨著α的增大呈現(xiàn)出先緩慢減小后急劇增大的非單調(diào)過(guò)程, 即反共振效應(yīng)。隨著k的增大, 反共振谷值位置向右移動(dòng), 平均首通時(shí)間遞減。對(duì)比圖4(a)和圖4(d)以及圖4(b)和圖4(c), 可以發(fā)現(xiàn)平均首通時(shí)間隨噪聲強(qiáng)度的變化趨勢(shì)完全相反, 證實(shí)了可控勢(shì)阱寬度和可控勢(shì)阱深度對(duì)粒子平均首通時(shí)間影響的不同。圖4與圖2中平均首通時(shí)間變化趨勢(shì)大致相同, 但可控勢(shì)阱寬度因子比可控勢(shì)阱深度因子對(duì)于粒子躍遷過(guò)程的影響要更強(qiáng)一些。相對(duì)于加性噪聲誘導(dǎo)平均首通時(shí)間的反共振現(xiàn)象, 我們要利用乘性噪聲的共振效應(yīng)來(lái)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 平均首通時(shí)間在不同可控勢(shì)阱因子k下隨著乘性色噪聲強(qiáng)度D的變化曲線(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪聲強(qiáng)度α的變化曲線(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.4 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

平均首通時(shí)間作為可控勢(shì)阱因子k隨著不同自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ1、互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ2和強(qiáng)度λ的變化情況,如圖5所示。圖5中：圖5(a)～圖5(c)分別為布朗粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱的MFPT-； 圖5(d)～圖5(f)分別為布朗粒子從右勢(shì)阱躍遷至左勢(shì)阱的MFPT+。觀察圖5(a)和圖5(b), 發(fā)現(xiàn)MFPT-隨著可控勢(shì)阱因子k的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的非單調(diào)趨勢(shì), 即共振現(xiàn)象。在不同的自相關(guān)時(shí)間和互關(guān)聯(lián)時(shí)間下先后存在局部最優(yōu)的k使MFPT-達(dá)到最大值, 隨著k的持續(xù)增大, MFPT-將趨于平穩(wěn), 這與圖3(a)和圖3(b)中的曲線變化截然相反, 說(shuō)明可控勢(shì)阱寬度與可控勢(shì)阱深度對(duì)粒子躍遷過(guò)程的影響不同。與圖5(a)和圖5(b)有所不同, 圖5(d)中MFPT+曲線隨著k的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的非單調(diào)趨勢(shì), 且在固定的k值下, MFPT+隨著τ1的增加而增大, 最終MFPT+在不同τ1變化下均趨于平穩(wěn)的統(tǒng)一值; 圖5(e)中MFPT+隨著k的增大而單調(diào)遞減, 不同τ2對(duì)MFPT+影響較小, 這表明乘性色噪聲的自關(guān)聯(lián)性和兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)性對(duì)粒子在可控勢(shì)阱寬度情形下逃逸行為的影響不同, 適當(dāng)選取自關(guān)聯(lián)時(shí)間能增強(qiáng)噪聲增益躍遷過(guò)程。由圖5(c)和圖5(f)可知, 隨著k的增大, 平均首通時(shí)間出現(xiàn)了非單調(diào)變化趨勢(shì), 分別為共振和反共振現(xiàn)象。觀察圖5(c), 發(fā)現(xiàn)布朗粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱的MFPT-在負(fù)關(guān)聯(lián)(λ<0)下隨著k的增加而單調(diào)遞減, MFPT-在正關(guān)聯(lián)(λ>0)下隨著k的增加先急劇增大然后緩慢下降直至平穩(wěn)狀態(tài)。相對(duì)于MFPT-情形而言, 圖5(f)中MFPT+在負(fù)關(guān)聯(lián)(λ<0)下隨著k的增加先急劇增大然后緩慢下降直至平穩(wěn)狀態(tài), 這與MFPT-中正關(guān)聯(lián)情形類似; 同時(shí), 隨著λ由零向正不斷增大, MFPT+隨之增大, 當(dāng)λ數(shù)值較大(λ=0.9)時(shí), MFPT+隨著k增大先緩慢減小后急劇增大, 即反共振現(xiàn)象。圖5(c)和圖5(f)中平均首通時(shí)間的變化趨勢(shì)與圖3(c)和圖3(f)類似, 說(shuō)明布朗粒子的躍遷動(dòng)力學(xué)行為與自相關(guān)時(shí)間有關(guān)。最后, 隨著k增加到一定數(shù)量級(jí)(k>1), 平均首通時(shí)間均趨于統(tǒng)一, 可知大尺度可控勢(shì)阱因子在可控勢(shì)阱寬度情形下占據(jù)了布朗粒子躍遷行為的主導(dǎo)作用。

圖5 平均首通時(shí)間隨著可控勢(shì)阱因子k變化曲線在不同自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ1下的變化(τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002)和在不同互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ2下的變化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ下的變化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.5 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 andversus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

4 結(jié) 論

在可控雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)模型中, 研究色關(guān)聯(lián)乘性色噪聲和加性白噪聲誘導(dǎo)粒子逃逸動(dòng)力學(xué)行為, 通過(guò)計(jì)算模型近似Fokker-Planck方程, 進(jìn)而推導(dǎo)出平均首通時(shí)間表達(dá)式, 分別討論了可控阱深和可控阱寬中系統(tǒng)參數(shù)對(duì)平均首通時(shí)間的影響。結(jié)果表明: 在可控勢(shì)阱深度情形中, 平均首通時(shí)間隨著噪聲強(qiáng)度增加呈現(xiàn)非單調(diào)變化趨勢(shì), 乘性噪聲誘導(dǎo)共振現(xiàn)象, 加性噪聲誘導(dǎo)反共振現(xiàn)象。負(fù)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和正關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對(duì)粒子躍遷影響不同, 并且粒子從左勢(shì)阱躍遷至右勢(shì)阱與粒子從右勢(shì)阱躍遷至左勢(shì)阱的動(dòng)力學(xué)完全相反; 在可控勢(shì)阱寬度情形中, 平均首通時(shí)間隨著乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度的變化同樣呈現(xiàn)共振與反共振現(xiàn)象, 但可控勢(shì)阱寬度因子比可控勢(shì)阱深度因子對(duì)于粒子躍遷過(guò)程的影響更深, 互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度也能誘導(dǎo)布朗粒子在兩勢(shì)阱間躍遷的共振, 共振峰位置受兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)性影響較小。可控勢(shì)阱寬度因子可誘導(dǎo)系統(tǒng)的共振與反共振現(xiàn)象。最后, 在兩種勢(shì)阱可控的情形下, 隨著可控勢(shì)阱因子增加到一定數(shù)量級(jí), 平均首通時(shí)間均趨于統(tǒng)一, 大尺度可控勢(shì)阱因子在可控勢(shì)阱寬度情形下占據(jù)了布朗粒子躍遷行為的主導(dǎo)作用。