盧榮華， 陳特歡,2， 婁軍強(qiáng),2， 崔玉國(guó)

(1. 寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211；2. 浙江大學(xué) 工業(yè)控制技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027)

壓電柔性結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕，能耗低，可操縱性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于航天探索，精密工程，柔性機(jī)器人等領(lǐng)域。但是，由于其固有的低阻尼比和較大的柔韌性[1]，它們不可避免出現(xiàn)明顯的持續(xù)振動(dòng)，這會(huì)降低系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)行效率。因此，使用致動(dòng)器柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制越來(lái)越受到人們的關(guān)注[2-3]。尤其在壓電致動(dòng)器的輸入與輸出之間存在遲滯效應(yīng)，且不同壓電致動(dòng)器對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)，其遲滯也不盡相同，對(duì)壓電柔性結(jié)構(gòu)精確控制，遲滯效應(yīng)是必須考慮的主要因素。為了克服壓電陶瓷的脆性，美國(guó)宇航局(NASA)發(fā)明了新型的基于纖維的壓電復(fù)合材料(marco fiber composite,MFC)。MFC顯示出優(yōu)異的性能，如薄層壓板，大驅(qū)動(dòng)力和高可靠性[4-5]。Wu等[6]將MFC致動(dòng)器應(yīng)用到復(fù)合梁上，研究并獲得其在空氣中的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)特性。

如今使用MFC致動(dòng)器進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)和變形控制受到廣泛的關(guān)注。由于逆壓電效應(yīng)，壓電陶瓷在電壓輸入下會(huì)產(chǎn)生變形。但是，其固有的遲滯和蠕變行為會(huì)降低驅(qū)動(dòng)和定位精度[7]。此外，顯著的遲滯效應(yīng)甚至導(dǎo)致壓電致動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定性問(wèn)題。遲滯效應(yīng)在驅(qū)動(dòng)電壓和響應(yīng)位移之間呈現(xiàn)出環(huán)狀非線性關(guān)系，壓電致動(dòng)器的遲滯問(wèn)題亟需解決。目前描述遲滯的模型有很多，如基于物理現(xiàn)象，有Preisach(P)模型[8]，PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[9-10],Bouc-Wen模型[11],Duhem模型[12],Maxwell遲滯模型[13]。另外通過(guò)對(duì)模型優(yōu)化，提出了一些改進(jìn)模型，如基于PI模型進(jìn)行改進(jìn)的MPI(modified Prandtl-Ishlinskii)模型[14]，基于傳統(tǒng)Bouc-Wen模型引入形狀控制函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，建立改進(jìn)的Bouc-Wen模型[15]。在這些遲滯模型中，PI遲滯模型是目前應(yīng)用最廣泛的唯象模型，因?yàn)槠鋵?shí)現(xiàn)過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，并且可以輕松獲得其逆模型。指交叉電極技術(shù)允許MFC致動(dòng)器在d33模式下工作。由于壓電常數(shù)d33模式大約是d31模式的2～3倍，因此在d33模式下MFC致動(dòng)器具更高的致動(dòng)能力；另一方面，較大的致動(dòng)力相應(yīng)地需要較高的驅(qū)動(dòng)電壓。MFC致動(dòng)器通常以很高的驅(qū)動(dòng)電壓驅(qū)動(dòng)，甚至最高可達(dá)+1 500 V，從而產(chǎn)生強(qiáng)大的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)。MFC致動(dòng)器的復(fù)雜結(jié)構(gòu)加劇了遲滯非線性，同時(shí)其遲滯具有明顯的不對(duì)稱性,故必須考慮MFC驅(qū)動(dòng)的柔性臂的偏置雙極性遲滯非線性，從而改善壓電柔性臂的定位和操作精度。

大部分的遲滯模型均是靜態(tài)的且輸入頻率低，無(wú)法滿足高頻率輸入，也無(wú)法描述壓電柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。如，Adly等[16]建立的廣義PI模型，精確描述遲滯非線性，同時(shí)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行識(shí)別，模型局限于非線性需要一致性。Kuhnen[17]將遲滯算子與非對(duì)稱遲滯環(huán)串行組合到經(jīng)典PI遲滯模型中，建立一種改進(jìn)型PI遲滯模型來(lái)描述非對(duì)稱遲滯特性，但沒(méi)有考慮輸入頻率對(duì)遲滯特性的影響。Wang等[18]提出一種MPI遲滯模型，采用耦合算子描述不對(duì)稱遲滯特性，其仍是個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型。相比動(dòng)態(tài)遲滯模型，對(duì)不同頻率遲滯適用性有限，且適用頻率離壓電致動(dòng)器的固有頻率較遠(yuǎn)。在動(dòng)態(tài)特性方面，王鈺鋒等[19]基于Hammerstein模型，以MPI遲滯模型描述壓電柔性臂的靜態(tài)遲滯部分，以外因輸入自回歸模型描述壓電致動(dòng)器的遲滯線性動(dòng)態(tài)部分，準(zhǔn)確描述壓電致動(dòng)器的遲滯率相關(guān)。同時(shí)復(fù)雜控制器的引入，彌補(bǔ)逆補(bǔ)償誤差的問(wèn)題，但易出現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性下降的可能性。Liu等[20]利用離散傳遞函數(shù)模型良好描述電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，且系統(tǒng)是多輸入多輸出的。王一凡等[21]利用單輸入單輸出傳遞函數(shù)模型研究研究風(fēng)電功率波動(dòng)變化與換流站的動(dòng)態(tài)關(guān)系。Liu等和王一凡等以傳遞函數(shù)模型進(jìn)行系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究，為本文研究壓電柔性臂遲滯的動(dòng)態(tài)特性提供了一些思路。為了提高M(jìn)FC致動(dòng)器對(duì)不同頻率輸入的適用性，準(zhǔn)確描述系統(tǒng)遲滯的動(dòng)態(tài)特性?；贖ammerstein模型，建立具有雙極性非對(duì)稱的改進(jìn)PI遲滯模型，同時(shí)建立系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型，串聯(lián)組成一個(gè)組合模型。并設(shè)計(jì)相應(yīng)的補(bǔ)償控制方法，即前饋補(bǔ)償控制。

本文搭建MFC致動(dòng)的柔性臂構(gòu)件試驗(yàn)系統(tǒng)，測(cè)試得到了柔性臂構(gòu)件的末端變形位移與MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電壓之間的雙極性非對(duì)稱遲滯特性。基于經(jīng)典PI模型，通過(guò)疊加一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子，建立描述MFC致動(dòng)器的雙極性非對(duì)稱性遲滯特性的改進(jìn)PI遲滯模型，提高其遲滯模型非對(duì)稱的逼近能力。在描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性方面，采用離散傳遞函數(shù)模型描述系統(tǒng)線性動(dòng)態(tài)特性，并與準(zhǔn)靜態(tài)改進(jìn)PI遲滯模型串聯(lián)組成組合模型，即壓電柔性臂系統(tǒng)。最后，通過(guò)最小二乘法辨識(shí)得到改進(jìn)PI遲滯正、逆模型，離散傳遞函數(shù)模型的特征參數(shù)，并對(duì)所提出的組合模型進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果表明其有效性。

1 MFC致動(dòng)的柔性臂構(gòu)件系統(tǒng)搭建

MFC結(jié)構(gòu)組成示意如圖1所示。MFC結(jié)構(gòu)中環(huán)氧樹(shù)脂的加入提升了整個(gè)復(fù)合結(jié)構(gòu)的柔韌性、可靠性和變形能力，而指交叉電極的排布方式大幅提高了壓電材料的應(yīng)變致動(dòng)效率。對(duì)比傳統(tǒng)的壓電陶瓷片而言，MFC的變形和驅(qū)動(dòng)能力顯著增強(qiáng)。因此，MFC致動(dòng)器是柔性結(jié)構(gòu)主動(dòng)變形、驅(qū)動(dòng)控制及振動(dòng)抑制的理想元件。

圖1 MFC結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of the MFC laminate

為了測(cè)試MFC致動(dòng)器的致動(dòng)性能，搭建MFC壓電柔性臂構(gòu)件試驗(yàn)系統(tǒng)，其實(shí)物圖如圖2所示。采用環(huán)氧樹(shù)脂膠水3M-DP60將兩片MFC致動(dòng)器(型號(hào)M2814-P1，工作模式d33)對(duì)稱地粘貼在鋁基柔性臂構(gòu)件根部的左右表面。柔性臂構(gòu)件及MFC基本參數(shù)如表1所示。測(cè)試過(guò)程中，PC機(jī)通過(guò)USB總線將MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)傳輸?shù)蕉嗖矍度險(xiǎn)SB CompactDAQ機(jī)箱(NI,cDAQ-9178)，然后經(jīng)D/A模塊(NI-AO9263)轉(zhuǎn)換為模擬電壓信號(hào)，該電壓信號(hào)經(jīng)高壓放大器(Trek PZD700A，放大倍數(shù)200倍)放大后施加到MFC壓電柔性臂上，MFC致動(dòng)器在壓電材料逆壓電效應(yīng)下實(shí)現(xiàn)柔性臂變形位移的精密驅(qū)動(dòng)。水平安裝在柔性臂構(gòu)件末端的激光位移傳感器(Keyence,LK-G80,分辨率0.15 μm)實(shí)時(shí)檢測(cè)構(gòu)件的變形位移，傳感器檢測(cè)位移經(jīng)控制器調(diào)理為模擬電壓信號(hào)，然后傳輸?shù)角度朐跈C(jī)箱中的D/A模塊(NI-AI9205)，最后經(jīng)機(jī)箱和USB總線傳輸?shù)絇C機(jī)中。整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)基于LabVIEW平臺(tái)完成。

圖2 試驗(yàn)裝置實(shí)物圖Fig.2 Photograph the experimental setup

表1 柔性臂構(gòu)件及MFC致動(dòng)器參數(shù)表Tab.1 Parameters of the beam and MFC actuator

MFC致動(dòng)器的工作電壓范圍為-500～+1 500 V，故測(cè)試過(guò)程中選取電壓峰峰值(voltage peak-to-peak，Vpp)分別為400 V、600 V及800 V，頻率為0.1 Hz的正弦波驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)施加到MFC致動(dòng)器上，得到柔性臂構(gòu)件的末端變形位移與驅(qū)動(dòng)電壓之間的關(guān)系如圖3(a)所示;不同頻率在相同的輸入電壓下，壓電柔性臂遲滯呈現(xiàn)遲滯的率相關(guān)，如圖3(b)所示。試驗(yàn)結(jié)果表明：MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓和柔性臂構(gòu)件變形位移之間存在著嚴(yán)重的遲滯現(xiàn)象，不同激勵(lì)電壓下得到遲滯環(huán)的初載曲線基本重合。隨著激勵(lì)電壓幅值的增大，遲滯現(xiàn)象愈加明顯。在峰峰值電壓800 V的正弦激勵(lì)下，柔性構(gòu)件位移的最大遲滯誤差達(dá)50.6%。值得注意的是，在MFC致動(dòng)器的雙極性驅(qū)動(dòng)電壓作用下，柔性臂構(gòu)件的正、負(fù)向變形位移存在著明顯的偏置現(xiàn)象，且偏置隨著驅(qū)動(dòng)電壓幅值增大而變大。在±400 V無(wú)偏置電壓驅(qū)動(dòng)下，柔性梁構(gòu)件正、負(fù)向位移之間的偏置誤差達(dá)24.4%。

圖3 MFC致動(dòng)器的遲滯特性曲線Fig.3 Hysteresis loops of the MFC actuators

壓電柔性臂的遲滯隨著驅(qū)動(dòng)電壓頻率增加也愈發(fā)明顯，即呈現(xiàn)遲滯率相關(guān)性。此時(shí)準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型已無(wú)法良好描述不同頻率的驅(qū)動(dòng)電壓在壓電柔性臂的遲滯非線性特性,其顯著影響了柔性構(gòu)件的定位、操控。因此，迫切需要對(duì)MFC致動(dòng)器的柔性臂的非對(duì)稱遲滯特性及動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行深入研究，對(duì)壓電柔性臂模型進(jìn)行辨識(shí)，并提出可靠的補(bǔ)償控制方法來(lái)改善其驅(qū)動(dòng)精度。

2 壓電柔性臂的系統(tǒng)模型

對(duì)于壓電柔性臂構(gòu)件，其輸入電壓頻率較低時(shí)(小于1 Hz)，可以由準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型進(jìn)行表示。故當(dāng)輸入驅(qū)動(dòng)電壓頻率較大時(shí)，此時(shí)用單純的準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型已無(wú)法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的遲滯非線性特性，需要建立一個(gè)動(dòng)態(tài)的遲滯模型來(lái)描述?；贖ammerstein模型的思想，提出一個(gè)組合模型描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)遲滯特性。該壓電柔性臂的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)遲滯模型有兩個(gè)部分，改進(jìn)PI遲滯模型表示靜態(tài)遲滯非線性部分；離散傳遞函數(shù)模型表示線性動(dòng)態(tài)部分，如圖4所示。

圖4 試驗(yàn)對(duì)象系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of the experimental object system

圖4中：yc(t)為中間變量；u(t)和y0(t)分別為壓電柔性臂的輸入與輸出。

2.1 改進(jìn)PI遲滯模型

PI模型是目前應(yīng)用最廣泛的唯象遲滯模型之一，其表達(dá)式簡(jiǎn)單，求逆簡(jiǎn)便，易于實(shí)現(xiàn)。Play算子的數(shù)學(xué)解析式為

(1)

式中:l(t)為致動(dòng)器的輸入電壓；yr(t)為其響應(yīng)移；c代表常數(shù)；r及wr分別為Play算子的閾值和權(quán)重。

PI遲滯模型僅能描述壓電柔性臂的對(duì)稱遲滯特性。為描述壓電柔性臂的雙極性非對(duì)稱遲滯特性，基于經(jīng)典PI遲滯模型，串聯(lián)一系列無(wú)記憶、非對(duì)稱特性的死區(qū)算子。雙邊死區(qū)算子輸入和輸出之間的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 死區(qū)算子的輸入輸出關(guān)系Fig.5 Input-output relationship of the dead-zone operator

雙邊死區(qū)算子的表達(dá)式為

(2)

式中，x(t)和Gs[x(t),s]分別為死區(qū)算子的輸入和死區(qū)算子的輸出,s為死區(qū)算子閾值,Gs=[G-m,G-m+1,…,G0,G1,…Gm]T為死區(qū)算子向量。將不同權(quán)重、不同閾值的死區(qū)算子進(jìn)行疊加可得到G[x](t)

(3)

-∞

綜合上述，改進(jìn)PI遲滯模型與經(jīng)典PI遲滯模型的區(qū)別有：引入了死區(qū)算子及死區(qū)算子相關(guān)的權(quán)重、閾值；模型求逆時(shí)，出現(xiàn)死區(qū)逆算子的逆權(quán)重、逆閾值；動(dòng)態(tài)遲滯模型是個(gè)組合模型，改進(jìn)PI遲滯模型是準(zhǔn)靜態(tài)遲滯部分，另外引入離散傳遞函數(shù)模型描述動(dòng)態(tài)遲滯特性部分。將Play算子與另一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子進(jìn)行串聯(lián)，即可得到描述MFC壓電柔性臂的遲滯現(xiàn)象的雙極性非對(duì)稱改進(jìn)PI遲滯模型

(4)

壓電致動(dòng)器的固有特性，輸入-輸出關(guān)系必須保持強(qiáng)單調(diào)性，故對(duì)死區(qū)算子權(quán)重施加線性不等式約束來(lái)保證這一特性，如式(5)所示

Us·ws-us≤0

(5)

式中，us及Us矩陣如下

us=[-ε… -ε… -ε]T

式中，ε為無(wú)窮小量。

2.2 離散傳遞函數(shù)模型

柔性臂和MFC致動(dòng)器的參數(shù)如表1所示。描述壓電柔性臂動(dòng)態(tài)特性，需建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型；同時(shí)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是辨識(shí)的前提。純改進(jìn)PI遲滯模型，在描述遲滯的非對(duì)稱性有明顯改善，如圖6所示。通過(guò)引入離散傳遞函數(shù)模型與改進(jìn)PI遲滯模型串聯(lián)成組合模型，能更好的描述遲滯動(dòng)態(tài)特性。為研究方便，將柔性臂模型視作歐拉-伯努利梁模型，則離散傳遞函數(shù)模型使用多項(xiàng)式的比率描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，其表達(dá)式為

(6)

式中，na和nb均為正整數(shù)。

采用最小二乘法對(duì)離散傳遞函數(shù)模型進(jìn)行辨識(shí)?；谙到y(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)(見(jiàn)圖4)，得到如下最小二乘形式，即

yo(k)=φT(k)θ

(7)

式中:φ(k)為數(shù)據(jù)向量，包括系統(tǒng)的輸出和中間變量;θ為待估參數(shù)向量，具體表示為

(8)

基于系統(tǒng)采到的M組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到其參數(shù)向量的估計(jì)θ*為

θ*=(φTφ)-1φTY

(9)

式中:Y=[yo(1),yo(1),…,yo(M)]T;φ=[φT(1),φT(2), …,φT(M)]T。

由系統(tǒng)參數(shù)向量的估計(jì)為θ*，那么對(duì)應(yīng)k時(shí)刻的估計(jì)輸出為

(10)

將系統(tǒng)實(shí)際輸出和估計(jì)輸出之間的殘差表示為

(11)

對(duì)系統(tǒng)采到的M組數(shù)據(jù)，其殘差的平方和也就是性能指標(biāo)，可以表示為

(12)

式中，e=[ε(1),ε(2),…,ε(M)]T。系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘估計(jì)值就是對(duì)性能指標(biāo)J求θ*向量的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，從而計(jì)算得到參數(shù)使得J達(dá)到極小值。

3 模型的試驗(yàn)辨識(shí)

3.1 改進(jìn)PI遲滯模型的辨識(shí)

為了辨識(shí)改進(jìn)PI遲滯模型的參數(shù)，并求得死區(qū)算子的逆G-1[y(t)](t)

(13)

(14)

由式(2)中雙邊死區(qū)算子Gs[x(t),s]的輸出與閾值正、負(fù)有關(guān)，故G[x](t)與G-1[y(t)](t)權(quán)重的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

根據(jù)試驗(yàn)所測(cè)得的MFC驅(qū)動(dòng)電壓與柔性臂構(gòu)件位移之間的雙極性非對(duì)稱遲滯曲線，采用等分閾值的方式確定Play算子閾值ri和死區(qū)算子逆G-1[y(t)](t)閾值s′j為

(16)

式中,V為系統(tǒng)輸入向量，即輸入電壓向量。

(17)

E[x,y](t)=

表2 Play算子與其逆算子參數(shù)表Tab.2 Parameters of the Play operators and their inverse operators

表3 Play雙邊死區(qū)算子與其逆算子參數(shù)表Tab.3 Parameters of the double-sides dead zone operators and their inverse operators

從PI遲滯模型、改進(jìn)PI遲滯模型與實(shí)測(cè)遲滯曲線擬合情況進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。Play算子對(duì)稱平行四邊形結(jié)構(gòu)決定經(jīng)典PI遲滯模型的輸出正、負(fù)向位移也是對(duì)稱的，故導(dǎo)致其無(wú)法很好地逼近遲滯曲線的正、負(fù)偏置位移，存在較大的偏差，最大偏差達(dá)214.5 μm，其擬合誤差達(dá)到16.06%；而本文提出的改進(jìn)PI遲滯模型是基于經(jīng)典PI遲滯模型，引入不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子進(jìn)行疊加，模型對(duì)比經(jīng)典PI遲滯模型在非對(duì)稱遲滯的逼近性能得到提升，其擬合的最大誤差為74.5 μm，擬合度誤差下降到5.58%。兩種建模對(duì)比，改進(jìn)PI遲滯模型更好的描述壓電柔性臂的非對(duì)稱遲滯非線性特性。

圖6 PI遲滯模型與改進(jìn)PI遲滯模型建模對(duì)比Fig.6 Modeling comparison between PI hysteresis model and improved PI hysteresis model

3.2 離散傳遞函數(shù)模型的辨識(shí)

在辨識(shí)過(guò)程中，由于壓電柔性臂的一階振動(dòng)模態(tài)在其振動(dòng)中起主導(dǎo)作用，故對(duì)其振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)截?cái)嗵幚恚瑑H對(duì)振動(dòng)的一階振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行辨識(shí)。

試驗(yàn)辨識(shí)采用幅值為±2 V，頻率范圍為10～30 Hz的正弦掃頻電壓信號(hào)，通過(guò)Labview測(cè)控平臺(tái)驅(qū)動(dòng)MFC壓電柔性臂激起柔性臂的一階振動(dòng)，并使用激光位移傳感器測(cè)量柔性臂末端的響應(yīng)位移，整個(gè)掃頻過(guò)程持續(xù)時(shí)間為20 s，采樣頻率為1 000 Hz。以改進(jìn)PI模型的擬合位移(中間變量yc(t))作為輸入，實(shí)測(cè)掃頻響應(yīng)位移作為輸出，此時(shí)具有有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法的擬合。由擬合結(jié)果，即可得到離散傳遞函數(shù)模型G(z)，其掃頻試驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果如圖7所示。試驗(yàn)結(jié)果表明，除了在壓電柔性臂的固有頻率附近擬合稍顯不足，其余位置擬合度均較好。

從掃頻辨識(shí)試驗(yàn)結(jié)果可得，離散傳遞函數(shù)模型與系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)高度吻合，其擬合度可達(dá)95.39%，充分體現(xiàn)了離散傳遞函數(shù)模型對(duì)于壓電柔性臂的適用性。一般情況下，在一定范圍內(nèi)隨著模型階次的增加，模型與曲線的擬合程度也會(huì)得到提高。另外，隨著模型階次的增加，模型參數(shù)辨識(shí)的計(jì)算量、系統(tǒng)復(fù)雜度也會(huì)增加，并有可能降低離散傳遞函數(shù)模型的魯棒性。辨識(shí)過(guò)程中，對(duì)幾組不同模型階次的輸入與輸出擬合度進(jìn)行對(duì)比分析，最終采用二階離散傳遞函數(shù)模型已經(jīng)可以滿足使用要求，同時(shí)采用離散傳遞函數(shù)模型能克服數(shù)據(jù)隱藏缺陷，使模型更加穩(wěn)定。基于最小二乘法所辨識(shí)得到的離散傳遞函數(shù)模型G(z)為：G(z)=(629z-1-628z-2)/(1-0.241 9z-1-0.735 5z-2)。

圖7 掃頻試驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果Fig.7 Sweep frequency experiment identification result

4 前饋補(bǔ)償控制試驗(yàn)

利用建立的改進(jìn)PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型計(jì)算得到MFC壓電致動(dòng)器的補(bǔ)償控制輸入，本質(zhì)上就是對(duì)改進(jìn)PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型求逆。由改進(jìn)PI遲滯模型及離散傳遞函數(shù)模型與其逆互為反函數(shù)，式(4)的兩層算子依次求逆得到

對(duì)離散傳遞函數(shù)模型進(jìn)行求逆，可得到：G-1(z)=(1-0.241 9z-1-0.735 5z-2)/(629z-1-628z-2)。

為驗(yàn)證壓電柔性臂辨識(shí)出來(lái)的遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的有效性，建立試驗(yàn)裝置平臺(tái)(見(jiàn)圖2)，開(kāi)展柔性臂構(gòu)件在MFC致動(dòng)下正弦波軌跡跟蹤試驗(yàn)。分別采用幅值為±1,±1,±1.5,±2，對(duì)應(yīng)頻率分別為1 Hz,5 Hz,10 Hz,15 Hz正弦波理想位移信號(hào)。根據(jù)求得的改進(jìn)PI遲滯逆模型式(19)，結(jié)合逆離散傳遞函數(shù)模型G-1(z)，計(jì)算得到每個(gè)時(shí)刻的補(bǔ)償控制電壓，同時(shí)測(cè)得壓電柔性臂補(bǔ)償后的位移并與正弦波理想位移進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)為了對(duì)比組合模型的補(bǔ)償效果，開(kāi)展基于經(jīng)典PI遲滯模型的補(bǔ)償試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。實(shí)測(cè)1代表組合模型補(bǔ)償后的實(shí)測(cè)位移，補(bǔ)償1誤差就是其補(bǔ)償后的誤差。實(shí)測(cè)2代表經(jīng)PI模型補(bǔ)償后的實(shí)測(cè)位移，補(bǔ)償2誤差是其補(bǔ)償后的誤差。

經(jīng)典PI模型補(bǔ)償后，由于其本身算子是關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，即求得的逆補(bǔ)償電壓也是對(duì)稱的，補(bǔ)償不掉壓電柔性臂的遲滯非對(duì)稱性，同時(shí)不同頻率還出現(xiàn)不同程度的相位差，補(bǔ)償后的誤差也偏大。而組合模型的補(bǔ)償解決了壓電柔性臂補(bǔ)償遲滯非對(duì)稱的問(wèn)題，實(shí)測(cè)跟蹤位移與理想位移曲線基本重合，跟蹤誤差控制在6.38%以內(nèi)。表明，MFC壓電柔性臂的遲滯現(xiàn)象基本消除，基于改進(jìn)PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的組合模型的補(bǔ)償方法對(duì)MFC壓電柔性臂的遲滯特性有明顯的改善，具體效果數(shù)據(jù)，如表4和表5所示。

圖8 補(bǔ)償后試驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results after compensation

表4 基于組合模型的補(bǔ)償控制效果Tab.4 Compensation control effect based on combined model

表5 基于經(jīng)典PI模型的補(bǔ)償控制效果Tab.5 Compensation control effect based on classic PI model

表4和表5中四個(gè)不同頻率信號(hào)均為正弦波位移信號(hào)。本文所提出的改進(jìn)PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的組合模型，雖然在很大程度補(bǔ)償?shù)鬗FC壓電柔性臂的遲滯誤差，提高了其驅(qū)動(dòng)精度，但是并未完全消除其遲滯引起的誤差。下一步的工作，有必要引進(jìn)反饋控制算法，搭建前饋+反饋的復(fù)合控制平臺(tái)，以進(jìn)一步提高其驅(qū)動(dòng)精度、定位精度。

5 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典PI遲滯模型，疊加一系列不同權(quán)重、不同閾值的死區(qū)算子，建立一種具有非對(duì)稱遲滯特性的改進(jìn)PI遲滯模型。基于Hammerstein模型的思路，建立系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型，并將改進(jìn)PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型串聯(lián)構(gòu)成一個(gè)組合模型，解決了純遲滯模型對(duì)不同輸入頻率的適用性差及無(wú)法良好描述系統(tǒng)遲滯動(dòng)態(tài)特性的問(wèn)題。在前饋控制策略下，MFC壓電柔性臂的跟蹤精度得到一定的提高。目前仍存在一些不足:比如前饋補(bǔ)償無(wú)法完全消除遲滯引起的誤差，抗干擾能力弱，被動(dòng)控制等。后續(xù)研究有必要引進(jìn)前饋+反饋的復(fù)合控制策略，進(jìn)一步提高驅(qū)動(dòng)、跟蹤精度。