毛國榮

［摘 要］概念是最基本的數(shù)學知識，也是建立數(shù)學邏輯的基石，可以說任何數(shù)學問題都是以數(shù)學概念為基本元素的，也可以說一切數(shù)學問題都是對概念的研究和拓展。對原始概念的牢固掌握，直接關系到學生日后對建立在這個概念上或者與這個概念有關的一切數(shù)學規(guī)律的推導，同時，也關系到學生解題能力的提高。當學生對數(shù)學規(guī)律和實際問題的掌握變得熟練后，其對數(shù)學學習的興趣自然大大增強。

［關鍵詞］概念；誤區(qū)；規(guī)律；對比

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）32-0049-03

近年來，針對概念教學的教研活動愈加頻繁，不少一線教師進行了堅持不懈的努力，也做出了艱苦的探索，總體來說有所進展。然而，一些重大關切的命題仍沒有取得突破性進展，如只重視通過直觀操作的過程和結果來概括規(guī)律，卻沒有從理論邏輯上真正推演；只習慣于用順向的“示例總結——規(guī)律方法”，卻很難見到用逆向的“規(guī)律方法——舉例說明”；只片面注重對概念的剖析，卻缺乏對相關概念橫向的對比勾連；只重視與概念有關的生活情境，卻很少將其他數(shù)學知識引進概念中，缺乏知識板塊的互融互通。本文就這四大誤區(qū)進行集中整理總結，并從理論上尋求破解之道。

一、只重操作，忽視理論

小學數(shù)學概念的形成過程至關重要，而一旦需要展示概念的形成過程，直觀演示便是首選，由此，動手操作就理所當然成了熱門。但凡事過猶不及，如果只是片面追求動手操作，企圖從操作過程和結果中總結規(guī)律，而不從理論邏輯上推演，勢必會讓概念解讀變得表象化。這樣一來，學生只會對概念斷章取義，形成教條主義，進而喪失理性的邏輯推理能力。

例如，在教學“圓的性質”時，有教師安排了兩個任務：①在圓形紙片上畫出半徑和直徑；②通過折疊、測量，探索半徑和直徑的關系。學生經(jīng)過直觀操作后得出結論：①在同一個圓或者大小相等的圓中，半徑（或直徑）都相等；②任意一個圓中，直徑和半徑的數(shù)量都是無窮的；③在同一個圓或者大小相等的圓中，直徑的長度都是半徑的2倍。

教師的設計初衷，是讓學生通過操作活動總結出圓的一系列性質。直觀操作確實能讓學生親眼看出有關半徑和直徑的一些性質，但是操作的過程是流水式的，只訓練了學生的雙手，沒有訓練到大腦。因此，在操作活動中，教師要引導學生手腦并用，設計步驟驅動學生深入思考，以手動帶動腦動。操作只是表象，思維才是核心，學生應該在操作中有所體悟。為此，筆者對任務做出如下改編。

【改編后】①重溫圓的定義——當一條線段繞它的一個端點在平面內旋轉一周，另一個端點的軌跡就是一個圓（也可換種表述）；②從定義出發(fā)，推理出圓應該具備什么基本性質。

這樣一來，雖然取消了直觀的操作，但是加深了學生對圓的概念理解，還促進了學生的自主探索，讓學生從理論上探索圓的性質。

精彩的操作活動不能徒有其表，如果設計的操作只顧著讓學生好玩，那學生就沒有動腦思考的過程，也不會經(jīng)歷反思內省。改編后的任務，雖然沒有任何操作活動，但卻是緊扣圓的概念來設計的。有的數(shù)學活動脫離了直觀，反而能夠讓學生集中精力專心致志地進行理論研究。如重溫圓的定義時，學生可能會出現(xiàn)不同的表述，這代表了不同的理解方式，說明學生對概念理解不是死記硬背和機械復述。學生要做到言之有物、表達準確、直擊關鍵，就必須先在心中對圓的概念有一個清晰的勾勒，默想出圓的所有要素和組織結構，只有這樣，才能有話可說、言之鑿鑿。當學生按自己的意愿說出圓的概念后，教師讓學生返回去推想圓的基本性質，就是對學生構想的一次檢驗和確認。學生會重新審視、回顧并構建圓的動態(tài)過程及幾何原理，進而推出圓具備的所有性質。

二、只用順向，難見逆向

出示范例的方法有兩種。第一種是順向的“示例總結——規(guī)律方法”，即先向學生提供大量相同或相似的實例，包括正例和反例，然后概括出它們的共同特征，最后抽象出一個概念。第二種則是逆向的“規(guī)律方法——舉例說明”，即先給學生提出概念，然后呈現(xiàn)一些樣本，最后讓學生分辨和判斷，哪些屬于這個概念，哪些不屬于這個概念。然而，在數(shù)學中，有些概念如果只采用第一種方法教學，那么學生是很難完全掌握的。

例如，在教學“面積”的概念時，教師通常會采用第一種順向的方法，即先讓學生觀察并比較課本封面、桌面、黑板面、墻面，分出它們的大小，感受它們的存在形式，再讓學生通過觸摸對面積建立質感，最后歸納出面積的概念。按照這種教法，教師安排了兩個任務：①對比圖1中兩個圖形面積的大??；②兩個圖形的面積分別指哪些部分？請用涂色表示。調查結果：全班49人，只有23人做對，正確率為46.9 %。

為什么這樣一道基礎題，卻有超過一半的人做錯呢？學生體驗多了，材料也豐富了，為什么還是會將面積與周長混淆？究其根本，是因為學生沒有深入領會面積是圖形內部包含的所有區(qū)域，而不是邊緣的擴張程度。筆者認為，當多數(shù)示例的特征與指向概念的內涵難以達到吻合時，教師就要直接摒棄第一種方法，轉而啟用第二種方法，如果實在難以取舍，那就折中處理，將兩種方法融合。為此，筆者將任務進行了如下改編。

【改編后】①讓學生口述面積的概念（表述不清時，可以打開教材參考）；②描述一下指定物體的表面或者圖形的面積是指哪一部分？③通過對比辨析，嚴格區(qū)分面積和周長的界線。

如此一來，不僅能讓學生明白面積到底是指哪部分，還能與周長區(qū)分開來，加深了學生對面積的獨特印象，突出了生本教育理念。

面積和周長經(jīng)常被混淆，如果僅從大量示例中歸納出面積概念，是無法避開周長概念的負遷移的。因為在一系列面積的示例中總是伴隨著周長的影子，所以學生在觸摸面積大小時，總會在潛意識里注意到周長的存在，而且通過觸覺感知和抽象歸納得出的概念具有很強的模糊性，學生停留在一種似是而非、模棱兩可的意識狀態(tài)，具體也說不上什么是面積，導致一旦出現(xiàn)干擾條件，就立馬出錯的現(xiàn)象。改進后的任務，讓學生直接陳述面積概念，從內涵上理解概念本質，即先借助對概念的理性認知，按圖索驥來尋找概念的外延——生活中物體的表面，然后再觀察和探究面積的實例，此時學生對面積概念有了一個全面且深入的把握，最后區(qū)分周長和面積就正合時宜。

三、只重剖析，不知對比

一般而言，每個概念呈現(xiàn)后，都有一個解讀環(huán)節(jié)。目前的現(xiàn)狀是，不少概念課只關注概念本身，忽視呈現(xiàn)與概念有橫向聯(lián)系的其他概念。

例如，在教學體積的概念時，有教師設計了如下教學片段。

師：請回顧“物體所占空間的大小，叫作物體的體積”這個定義，關鍵詞是什么？

生1：物體、空間、大小。

（教師按照學生說的圈出關鍵詞，學生朗讀，接著教師出示教材習題）

師：①一團橡皮泥，先捏成長方體，再捏成球，兩種物體哪個體積大？哪個體積??？②用枚數(shù)相等的1元硬幣堆疊成不同形狀（如圖2），哪個體積大？請說出你的理由。

上述片段中，就對體積的理解方式而言，太拘泥于概念的文本含義，翻來覆去就是那幾個詞，缺乏橫向比較。這樣教學概念，略顯蒼白無力，也會導致學生對概念結構的理解停滯不前，甚至會越聽越糊涂，越聽越麻木。教師應該幫助學生建立概念之間的橫向聯(lián)系，讓學生通過橫向對比尋找各個概念之間的異同，再通過對比辨析，加深對目標概念的精準定義。當學生深刻掌握新概念之后，教師又可以將新概念反過來襯托舊概念，即將舊概念回爐重溫，從而拓寬學生的視野，讓學生將所有相關概念盡收眼底，連成知識網(wǎng)，構建系統(tǒng)認識。為此，筆者在上述任務的基礎上，增加了新的內容。

【增加習題】③有人說：“立體圖形中體積與表面積的關系，就像平面圖形中面積與周長的關系?！蹦阃膺@種說法嗎？請用文字或圖畫說明你的理由。

通過研究，學生感悟到，周長是平面圖形邊界的長度；面積是邊界內部容納的范圍；表面積是物體外表的伸張程度；體積是物體表面包含的空間范圍。如理解體積單位1立方厘米時，除了尋找對應的實物，學生還應將長度單位1厘米與面積單位1平方厘米拿來比較（如圖3），當然，這種比較也可延后至學習了長方體的體積之后。這樣的學習，可以讓學生領會從長度到面積再到體積的變化是一個維度的不斷演變升級的過程，同時也能科學地解釋各單位的名稱制定，如為何面積單位是長度單位加“平方”前綴，而體積單位則是加“立方”前綴。

如果對概念的理解僅僅拘泥于目標概念，那么學生的眼界就會非常狹隘，思維也會陷入定式，看問題就會片面而膚淺。如體積概念，其實簡簡單單一句話就可以將概念說清楚，但是這個概念又很深邃，不是隨隨便便透過字面意思就可以理解透徹的。此時，如果教師能夠將體積、長度和面積概念進行橫向對比，那么學生理解概念的站位和角度就會大大提高，眼界開闊了，視野拓寬了，看問題自然就能全面深入。不僅如此，由于長度、面積、體積之間的維度關系，學生在理解體積概念時會自動與長度和面積概念進行對比，這樣一來，學生對體積概念的把握就會更加精準和嚴謹。

四、只重聯(lián)系生活，不知聯(lián)系其他知識

“數(shù)學從生活中來，又到生活中去?！睌?shù)學的確來自生活，因為學生需要靠形象思維來理解數(shù)學；數(shù)學的確也可以應用于生活，因為學生需要在應用中找到數(shù)學的價值和存在感。這句話的本意沒錯，但是數(shù)學更應該是思維的工具，是一切科學的理論工具。

例如，在教學“比的認識”時，為了讓學生感受到“比”的實用性以及比與現(xiàn)實聯(lián)系的密切性，有教師設計了如下教學過程：①讓學生觀察并研究5張畫像的協(xié)調性（圖略，其中有3張畫像的長與寬之比相同）；②讓學生根據(jù)行程問題、計價問題引出比的概念；③讓學生根據(jù)圖片敘述奶茶的甜度與含糖量，引出奶茶質量和所含糖量的比；④讓學生通過測量影長推測樹高的實踐活動；⑤師生一起歸納“比”的定義。

小結學習比的作用時，有的學生說“比”可以解決畫像協(xié)調與否的問題，有的學生說“比”可以用來間接測量旗桿、煙囪、信號塔等高大建筑物的高度……學習“比”如果只局限于眼前的生活，看似是應用知識服務生活，其實與課程標準倡導的“應用意識”背道而馳?！氨取钡木薮髢r值在于簡化和異化其他數(shù)學概念，如比和分數(shù)的關系、比與除法的關系。比可以對分數(shù)和除法的重合定義進行異化、擴充和彌補，分數(shù)和除法不能解決的問題，用比可以解決；分數(shù)和除法不便解釋的問題，用比可以解釋清楚。比不但可以表示除法運算以及部分與整體的配額情況，還可以表示兩個量的倍數(shù)關系和不同類量的比較關系。事實上，不同類的兩個量的關系在除法定義和分數(shù)定義上都站不住腳，而引進比的概念，就可以打破這個壁壘。其實，比的價值遠不止于此，小學階段的“比”其實還是“函數(shù)”的雛形。

數(shù)學概念的教學如果只是讓學生了解并記住概念，囫圇吞棗不加消化，那么完全可以只對文本進行膚淺解讀，再舉幾個示例就完成教學。然而，在這樣的教學模式下，學生對概念的理解是僵化且呆板的，一旦在練習中遇到稍復雜的題型，學生就會束手無策，因此，概念教學應該開闊思路、創(chuàng)新方法。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王芳.小學數(shù)學概念教學真實場景設計策略[J].新教育，2021（29）：42-43.

[2] 張晶.互聯(lián)網(wǎng)思維下的小學數(shù)學概念教學：以“分數(shù)”的教學為例[J].江蘇教育，2021（61）：42-45.

[3] 鄭桂斌，李靜.基于學生理解水平的小學數(shù)學概念教學模式探究[J].遼寧教育，2021（17）：83-85.

（責編 李琪琦）