沈海全

摘要：深度研究高考真題是提高教師專業(yè)水平和準(zhǔn)確把握教學(xué)方向的重要途徑，本文對(duì)真題進(jìn)行深入挖掘并作一般性推廣，試圖把握此類問(wèn)題的命題規(guī)律.

關(guān)鍵詞：真題；推廣；命題規(guī)律

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0057-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：沈海泉，從事高中物理教學(xué)研究.

2021年全國(guó)甲卷第20題解析幾何中三切線問(wèn)題的出現(xiàn)感覺(jué)耳目一新但又似曾相識(shí)，與2011年浙江理數(shù)第21題有類似的背景和解法，筆者對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深度挖掘并作了一般性推廣，為讀者在教學(xué)研究中提供一種思路.

1 真題呈現(xiàn)

真題1（2011年浙江理數(shù)第21題）如圖1所示，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M.

（1）求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

（2）已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

真題2（2021年全國(guó)甲卷第20題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

2 試題解法

限于篇幅僅對(duì)真題2給出解法.

解析（1）因?yàn)閤=1與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故可設(shè)拋物線C的方程為y2=2px（p>0），令x=1，則y=±2p.

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)Q在x軸下方，故P（1，2p），Q（1，-2p）.

因?yàn)镺P⊥OQ，故1+2p×（-2p）=0.

解得p=12.

所以拋物線C的方程為y2=x.

因?yàn)椤袽與l相切，所以⊙M：（x-2）2+y2=1.

（2）設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.

（1）當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（不妨設(shè)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)），

設(shè)直線A1A2方程為kx-y=0，根據(jù)點(diǎn)M（2，0）到直線距離為1可得2k1+k2=1，解得k=±33，聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x=3，所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

（2）當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線A1A2的方程為x-（y1+y2）y+y1y2=0，

此時(shí)有|2+y1y2|1+（y1+y2）2=1.

即（y21-1）y22+2y1y2+3-y21=0.

又y22=x2，

即（y21-1）x2+2y1y2+3-y21=0.

同理可得（y21-1）x3+2y1y3+3-y21=0.

所以點(diǎn)A2，A3在直線（y21-1）x+2y1y+3-y21=0上.

所以直線A2A3的方程為

（y21-1）x+2y1y+3-y21=0.

令M（2，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=y21+1（y21-1）2+4y21=1.

所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

3 一般性推廣

兩題均以拋物線上的任一動(dòng)點(diǎn)向定圓作切線為背景，都可采用同構(gòu)的思想來(lái)解決問(wèn)題，但2021年全國(guó)甲卷第20題顯得更為特殊，第三條交點(diǎn)弦仍與圓相切，引起了筆者的思考，現(xiàn)將結(jié)論推廣到一般的拋物線和橢圓.

推廣1已知A1為拋物線C：y2=2px（p>0）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作⊙M：（x-4p）2+y2=4p2的兩條切線分別交拋物線C于A2，A3兩點(diǎn)，證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明（1）當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（不妨設(shè)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)直線A1A2方程為kx-y=0，根據(jù)點(diǎn)M（4p，0）到直線距離為2p可得4pk1+k2=2p.

解得k=±33.

聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x=6p.

所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

（2）當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），即x1≠x2≠x3，此時(shí)直線A1A2的方程為2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

由直線A1A2與圓相切可得

|8p2+y1y2|4p2+（y1+y2）2=2p.

即（y21-4p2）y22+8p2y1y2+48p4-4p2y21=0.

又y22=2px2，

即（y21-4p2）x2+4py1y2+24p3-2py21=0.

同理可得（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

所以點(diǎn)A2，A3在直線（y21-4p2）x+4py1y+24p3-2py21=0上.

所以直線A2A3的方程為

（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

令M（4p，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=2py21+4p2（y21-4p2）2+16p2y21=2p.

此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

波利亞說(shuō)：“要充分利用一般化、特殊化與類比在變更問(wèn)題方面中的功能.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、猜測(cè)、推廣，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高創(chuàng)造性思維能力.”因此筆者并不滿足于得到上述的推廣，而是繼續(xù)深入探索，利用類比的思想將結(jié)論進(jìn)一步推廣到橢圓，通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)橢圓也有如下完全類似的結(jié)論.

推廣2已知A1為橢圓C：x2a2+y2b2=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作⊙M：x2+y2=aba+b2的兩條切線分別交橢圓C于A2，A3兩點(diǎn).證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明 （1）當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為橢圓的左、右頂點(diǎn)（不妨設(shè)A1為橢圓左頂點(diǎn)），

設(shè)直線A1A2方程為y=k（x+a），根據(jù)點(diǎn)O（0，0）到直線距離為aba+b，可得ka1+k2=aba+b.

解得k=±ba2+2ab.

聯(lián)立直線A1A2與橢圓方程，得

y=ba2+2abx+a，x2a2+y2b2=1，

解得x2=aba+b.

所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

（2）當(dāng)A1，A2，A3都不是橢圓左、右頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)A1（acosα，bsinα），A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ），

此時(shí)直線A1A2方程為y-bsinαx-acosα=y-bsinβx-acosβ.

整理，得

bcosα+β2x+asinα+β2y-abcosα-β2=0.

根據(jù)點(diǎn)O（0，0）到直線距離為aba+b可得

d=abcosα-β2b2cos2α+β2+a2sin2α+β2=aba+b.

即a+b2cos2α-β2=b2cos2α+β2+a2sin2α+β2.

即a+b2·1+cosα-β2=b2·1+cosα+β2+a21+cosα+β2.

整理，得

a+bcosαacosβ+a+bsinαbsinβ+ab=0.

同理可得

a+bcosαacosγ+a+bsinαbsinγ+ab=0.

即A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ）在直線a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0上.

所以直線A2A3方程為

a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0.

令O（0，0）到直線A2A3的距離為d，則有

d=aba+b2cos2α+a+b2sin2α=aba+b.

此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

綜上，直線A2A3與⊙M相切.

推廣3已知A1為橢圓C：x2a2+y2b2=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作⊙M：x-c4a2-b22a2+y2=b22a2的兩條切線分別交橢圓C于A2，A3兩點(diǎn).證明：直線A2A3與⊙M相切.

證明同推廣2，限于篇幅不再贅述.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)教育承載著立德樹(shù)人的根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.”這對(duì)我們一線教師的專業(yè)水平提出了更高的要求，而深度研究高考真題，挖掘真題背景是提升教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)站位、準(zhǔn)確把握教學(xué)方向的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

［1］波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.