肖雄偉

對于一些較為復雜的立體幾何問題，尤其是與動點有關的立體幾何問題，采用常規(guī)的方法很難使問題獲解，此時需轉換解題的思路，構造空間向量，利用向量法來求解.那么如何運用向量法來解答立體幾何問題呢？下面結合具體的例題來探討運用向量法求解立體幾何中的四種問題的思路.

一、角度問題

立體幾何中的角度問題，通常是指異面直線所成的角、二面角、直線與平面所成的角問題.解答此類問題，需先根據幾何體的結構特征，建立空間直角坐標系，然后求得各個點的坐標、直線的方向向量、平面的法向量，再根據向量的數量積公式???來

求解.

例1.

首先結合題目中所給的條件建立空間直角坐標系，設出動點 P 的坐標，并求得直線 AP 和直線 BC 的方向向量，便可根據向量的數量積公式求得異面直線所成的角的范圍.在根據向量的數量積公式求立體幾何中的角度問題時，要注意異面直線所成的角的范圍為???，二面角的范圍為 （0，π] ，直線與平面所成的角的范圍為

二、距離問題

立體幾何中的距離問題十分常見，常見的考查形式有：求兩點之間的距離、求點到平面的距離、求平面與平面之間的距離、求直線到平面的距離等.一般地，可將平面與平面之間的距離、求直線到平面的距離轉化為點到平面的距離、兩點之間的距離.運用向量法求兩點之間的距離，需在建立空間直角坐標系后，借助向量的模的公式 |a| = x2 + y2 求解;運用向量法求點到平面的距離，需求得過點的斜線 AP 的方向向量與平面的法向量?n?，然后利用數量積公式???，求得點到平面的距離??.

例 2.

由于 P、Q 點均為動點，且無法確定其具體的位置，所以建立空間直角坐標系，設出動點 P 、Q 的坐標，并求出各個條線段的方向向量，根據PQ 與AC 的位置關系建立關系式，確定參數的取值范圍，然后根據向量的模的公式求得 PA 的長的表達式，便可根據參數的取值范圍求得 PA 的取值范圍.

三、面積問題

立體幾何中的面積問題，通常要求根據已知條件求幾何體的表面積、某個三角形的面積、幾何體的某一個側面的面積.此類問題側重于考查簡單空間幾何體的表面積公式、簡單平面幾何圖形的面積公式.運用向量法求解立體幾何中的面積問題，需在建立空間直角坐標系后，求得各個點的坐標、向量的模，然后根據簡單空間幾何體的表面積公式、簡單平面幾何圖形的面積公式進行求解.

例 3.

解答本題，需首先根據幾何體的結構特點建立空間直角坐標系，并設出動點 Q 的坐標，然后求得二面角 Q - PD - A 的兩個半平面的法向量，求得其二面角，從而明確點 Q 的軌跡以及分割后的圖形，再根據三角形和梯形的面積公式進行求解.

四、體積問題

立體幾何中的體積問題側重于考查三棱柱、球體、四棱錐等簡單幾何體的體積公式.運用向量法解答體積問題，需通過坐標運算求出幾何體的邊長、高、底面的面積，再將其代入體積公式進行運算.

例4.

因 為 △BCD 的 面 積 為 定 值 ，所 以 求 三 棱 錐P - BCD 的體積的最大值，只需求得三棱錐 P - BCD的高的最大值，通過向量坐標運算求得動點 P 的軌跡方程，便可根據圖形找到三棱錐 P - BCD 的高的最大值.

可見，運用向量法解答立體幾何中的角度問題、距離問題、面積問題、體積問題，關鍵在于建立合適的空間直角坐標系，構造出向量，將問題轉化為向量運算問題來求解.同學們在解答立體幾何問題時，要學會根據空間幾何體的結構特征建立空間直角坐標系，構造出空間向量，以便轉換解題的思路，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省江安高級中學）