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明晰遞推關(guān)系式的類型,求數(shù)列的通項公式

2022-05-30 10:48:04陳月蓮
關(guān)鍵詞:項的作差關(guān)系式

陳月蓮

求數(shù)列的通項公式問題通常要求根據(jù)給出的遞推關(guān)系式,求數(shù)列的通項公式.在解題時,我們需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式,將其進(jìn)行合理的變形、化簡,將問題轉(zhuǎn)化為簡單的等差、等比數(shù)列的通項公式問題來求解.由于此類問題中遞推關(guān)系式的形式多樣,所以求數(shù)列通項公式的方法也各不相同.下面結(jié)合實例,探討一下如何由不同的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式.

一、Sn = f (an) 型的遞推關(guān)系式

Sn = f (an) 型的遞推關(guān)系式中同時含有數(shù)列的前 n項和 Sn 以及數(shù)列的通項公式 an .解答此類問題,需明晰 Sn 與 an 之間的關(guān)系 an ={S1, n = 1,Sn - Sn - 1,n ≥ 2, 根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造出 S n 、S n - 1 ,得到有關(guān) S n 、S n - 1 的遞推關(guān)系式,再將兩者作差,即可得到當(dāng) n ≥ 2 時 an 的表達(dá)式,最后驗證當(dāng) n = 1 時 a1 是否滿足所求得的 an 的表達(dá)式.若不滿足,則需分開表示.

例?1.

已知關(guān)系式?a1 + 2a2 + 3a3 +…+ nan 可看作數(shù)列{nan} 的前 n 項和 S n ,該遞推關(guān)系式形如 Sn = f (an) ,需令 n = n - 1,由已知遞推關(guān)系式得到 S n - 1 的表達(dá)式,然后將兩式作差,即可得到當(dāng) n ≥ 2 時 an 的表達(dá)式.本題中當(dāng) n = 1時的情況不滿足當(dāng) n ≥ 2 時 an 的表達(dá)式,因此需分段表示 an .

二、an + 1 - an = f (n) 型的遞推關(guān)系式

an + 1 - an = f (n) 型的遞推關(guān)系式表示的是相鄰兩項之差與n有關(guān)的數(shù)列.由這類遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式,需采用累加法,分別令n=1,2,3,…,n-1,然后將各式累加,得到(an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) +…+ (a2 - a1)+a1 ,則?an = f (n) + f (n - 1) +…+ f (2) + a1 ,化簡該式,即可得到 an 的表達(dá)式.值得注意的是,該表達(dá)式只滿足當(dāng) n ≥ 2 時的情形,對于 n = 1時的情況,需單獨進(jìn)行討論.

例2.

在遞推關(guān)系式的左右同時除以 an + 1anan - 1 ,即可得到關(guān)系式 1an + 1- 1an= 2n ,該式形如 an + 1 - an = f (n) ,于是令n=1,2,3,…,n-1,通過累加求出當(dāng) n ≥ 2 時,an的表示式,最后驗證當(dāng) n = 1 時的情況,即可求得數(shù)列{an} 的通項公式.

解答本題,需先根據(jù)數(shù)列前 n 項的和與數(shù)列通項公式之間的關(guān)系 an ={S1, n = 1,Sn - Sn - 1,n ≥ 2, 得到 anan - 1= n - 1n + 1 .而該式形如 an + 1an= f (n) ,然后令n=1,2,3,…,n-1,通過累乘,即可求出當(dāng) n ≥ 2 時的 an ,最后驗證 a1 是否滿足所求的 an ,即可求得數(shù)列的通項公式.

四、an + 1 = Aan + f (n) 型的遞推關(guān)系式

an + 1 = Aan + f (n) 型的遞推關(guān)系式中含有數(shù)列的相鄰兩項 an + 1 和 an,且二者呈線性關(guān)系.由形如 an + 1 = Aan+f (n) 的遞推關(guān)系式,求數(shù)列的通項公式,需將遞推關(guān)系式變形為 an + 1 + g(n) = A(an + g(n)) 的形式,這樣便可構(gòu)造出等比數(shù)列 {an + g(n)} ,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式來求解.

例 4.

已知遞推關(guān)系式中含有 Sn、an + 1,需根據(jù)數(shù)列前 n項和與數(shù)列通項公式之間的關(guān)系 an ={S1, n = 1,Sn - Sn - 1,n ≥ 2,得到不含 Sn 的式子:an + 1 = 3an + 2n.該式形如 an + 1 = Aan+f (n) ,需引入常數(shù)?r ,將遞推關(guān)系式設(shè)為?an + 1 + r?2n + 1= 3(an + r?2 )n ,通過對比兩式的系數(shù),求得 r 的值,即可構(gòu)造等比數(shù)列 {an + 2 }n ,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得 {an + 2 }n 的通項公式,就能求出數(shù)列 {an} 的通項公式.

通過上述分析,同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn),對于不同類型的遞推關(guān)系式,在求數(shù)列的通項公式時,需先根據(jù)遞推 關(guān) 系 式 的 特 點 判 定 遞 推 關(guān) 系 式 的 類 型 ,如Sn = f (an)、an + 1 - an = f (n)、an + 1an= f (n)、an + 1 = Aan + f (n),然后將遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,如,?)構(gòu)造有關(guān)Sn、Sn - 1 的式子;(2)令 n=1,2,3,…,n-1,求得遞推關(guān)系式中的 n 為 n=1,2,3,…,n-1 時的式子,再累加、累乘;(3)引入?yún)?shù),構(gòu)造等差、等比數(shù)列的通項公式,根據(jù)數(shù)列前 n 項的和與數(shù)列通項公式之間的關(guān)系 an ={S1, n = 1,Sn - Sn - 1,n ≥ 2,通過累加、累乘,構(gòu)造等差、等比數(shù)列,求得問題的答案.

(作者單位:江西省贛州市第十五中學(xué))

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