蔡忠平

D

由中點(diǎn)可以聯(lián)想等腰三角形“三線合一”、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線等知識(shí). 李英豪老師在《中點(diǎn)用法》直播課中，構(gòu)建了與中點(diǎn)相關(guān)的幾何模型，能夠幫助同學(xué)們根據(jù)不同條件作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，從而解決與中點(diǎn)相關(guān)的幾何問題.

模型構(gòu)建

模型一：中點(diǎn) + 等腰，如圖1，考慮等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);

模型二：中點(diǎn) + 直角，如圖2，聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì);

模型三：中點(diǎn) + 中點(diǎn)，如圖3，聯(lián)想三角形的中位線的性質(zhì);

模型四：中點(diǎn) + 平行，如圖4，構(gòu)造全等三角形;

模型五：中點(diǎn) + 垂直，如圖5，聯(lián)想垂直平分線的性質(zhì).

模型應(yīng)用

例1 如圖6，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF = EF. 求證：BD = CE.

解析：由DF = EF，聯(lián)想“中點(diǎn) + 平行”模型.

作DG[?]AC，如圖6，可證△DGF≌△ECF，得到DG = EC.

由AB = AC，可得∠B = ∠ACB，由DG[?]AC，得∠DGB = ∠ACB，

則∠B = ∠DGB，所以DB = DG.

由等量代換可證得BD = CE.

例2 如圖7，在?ABCD中，點(diǎn)N為BC邊的中點(diǎn)，M為AB邊上的點(diǎn)，P為CD邊上的點(diǎn)，連接MN，NP，且MP⊥CD. 求證：MN = NP.

解析：由?ABCD和BN = CN，聯(lián)想“中點(diǎn)+平行”模型.

如圖7，延長AB，PN交于點(diǎn)G，

易證△PCN≌△GBN，可得PN = GN.

由AB[?]CD，得∠GMP = ∠DPM = 90°.

聯(lián)想“中點(diǎn) + 直角”模型可得MN = [12]PG = NP.

例3 如圖8，點(diǎn)B為線段DC上的一點(diǎn)，分別以DB，BC為直角邊作等腰直角三角形DBE和等腰直角三角形ABC，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接DF，CF，試判斷DF與CF有怎樣的關(guān)系.

解析：由題意知∠EDB = ∠ACB = 90°.

由點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，聯(lián)想“中點(diǎn) + 平行”模型.

延長CF，DE，交于點(diǎn)G，

可證△ACF≌△EGF，得AC = EG，CF = GF，從而可證DC = DG.

聯(lián)想“中點(diǎn) + 等腰”模型，可證得DF⊥CF，DF = CF.

例4 如圖9，在四邊形ABCD中，∠DAB = 90°，∠DCB = 90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，AC = 6，BD = 10，求EF的長.

解析：連接AE，CE，由∠DAB = ∠DCB = 90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，聯(lián)想“中點(diǎn) + 直角”模型，可得EA = EC = [12]BD. 由點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，聯(lián)想“中點(diǎn) + 等腰”模型，可得EF⊥AC. 在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理，可得EF = 4.

分層作業(yè)

難度系數(shù)： ★★★解題時(shí)間：15分鐘

1. 如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， BC = 3， AC = 4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為. （答案見第37頁）

2. 如圖11，點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB = 10，MN = 3，BC = 15，則△ABC的周長為. （答案見第37頁）

3. 如圖12，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，BC = 4，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使AD = [12]AB， 連接DE，DF，則DF的長為. （答案見第37頁）