孫志東

【摘要】 本文先給出了“兩邊夾法”的定義，然后通過具體的例子來說明這種方法在解方程或不等式中的靈活應用.

【關(guān)鍵詞】 兩邊夾法;解方程或不等式;配方;最值取得條件;化歸

在初中數(shù)學中，若方程或不等式經(jīng)過化簡，得到如下的形式：a≤x，且x≤a，

其中x常常指各種各樣的代數(shù)式，a是一個常數(shù)，則可得x=a.

我們把這種得到x與a相等的方法稱為“兩邊夾法”.這種方法在處理某些特殊方程或不等式時，往往簡潔而奇特.下面舉例來說明其靈活的應用：

1 兩邊夾法在解方程中的應用

例1 已知y+|x-2|=1-a2，|z-2|=3y-3-b2，求x+y+z+a+b的值.

分析 已知條件中的兩個方程未知數(shù)眾多，看起來好像無從著手，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)：每個方程的左右兩邊都含有絕對值、平方的相反數(shù)的形式，若把它們都集中到等式的一邊，則這邊就變成了非負數(shù)和的形式，而每個方程的另一邊都變成了y的代數(shù)式，根據(jù)非負數(shù)建立含y的不等式組，恰好滿足“兩邊夾”的形式，這樣問題便解決了.

解 已知等式y(tǒng)+|x-2|=1-a2可變形為|x-2|+a2=1-y≥1，得y≤1;

同理|z-2|=3y-3-b2可變形為

|z-2|+b2=3y-3≥0，得y≥1.

由兩邊夾法得y=1，且|x-2|+a2=0，

|z-2|+b2=0，

從而x=4，a=0，z=2，b=0.

所以x+y+z+a+b=7.

例2 已知a，b，c均為實數(shù)，且3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2=6a-a2，則（2a+b）c的值為.

分析 這個方程含有二次根式、三次根式、平方式，這些式子看起來比較復雜，但三次根式里面又含有平方式，這樣我們可以發(fā)現(xiàn)左邊兩個式子都有最小值，且其和為-1+4=3，而右邊經(jīng)過變形得-（a-3）2+9，可以得到它有最大值3，這樣根據(jù)等號成立的條件，可以求出各個字母的值.

解 因為3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2≥3-1+4=3，

且6a-a2=-（a-3）2+9≤3，

所以由兩邊夾法得已知等式兩邊都等于3，

且當a=3，b=-5，c=2022時取等號.

所以（2a+b）c=1.

例3 當a，b為何值時，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有實數(shù)根.

分析 這個關(guān)于x的一元二次方程含有a，b兩個參數(shù)，由方程有實數(shù)根，我們可得其判別式為非負數(shù)，這樣得到a，b的一個不等式，將其配方，得到兩個非負數(shù)的和小于或等于零，這樣可以利用兩邊夾法來解決.

解 一元二次方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有實數(shù)根意味著其判別式

Δ=4（1+a）2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

整理可得（a-1）2+（a+2b）2≤0.

又因為（a-1）2+（a+2b）2≥0，

所以由兩邊夾法得

（a-1）2+（a+2b）2=0，

解得a=1，b=-12.

2 兩邊夾法在解不等式中的應用

例4 若實數(shù)x，y，z滿足（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60，則（? ）

（A）x+y-z=0.? （B）x+y-z=0.

（C）x-y+z=0.（D）x-y+z=1.

分析 不等式左邊的三個二次三項式結(jié)構(gòu)一致，經(jīng)過配方，可以發(fā)現(xiàn)各個式子的最小值分別是3，4，5，所以左邊的最小值是60，結(jié)合已知條件，發(fā)現(xiàn)符合“兩邊夾法”的特征.

解 由（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60得

[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≤60，

而[2（x+2）2+3]≥3，

[（y-5）2+4]≥4，

[3（z-3）2+5]≥5，

所以[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≥60.

由兩邊夾法可得

（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）=60，

當x=-2，y=5，z=3時等式成立，

所以x+y-z=0.

選（A）.

例5 已知a，b，c為整數(shù)，且a2+3b2+3c2+13<3ab+4b+12c，求根式（a+c）-（a+b）a+b的值.

分析 觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)，經(jīng)過配方發(fā)現(xiàn)，三個非負數(shù)的和小于1，結(jié)合a，b，c為整數(shù)這個已知條件，可以轉(zhuǎn)化為三個非負數(shù)的和小于等于零，這樣就可用“兩邊夾法”了.

解 由a2+3b2+3c2+13<2ab+4b+12c，得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2<1，

考慮到a，b，c為整數(shù)，上述不等式即為

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≤0，

又因為（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≥0，

所以由兩邊夾法得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2=0，

解得a=b=1，c=2，

從而（a+c）-（a+b）a+b

=3-22=（2-1）2=2-1.

例6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點（-1，0），且對任意實數(shù)x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.

求二次函數(shù)的解析式.

分析 條件中的不等式形式其實是不等式組，涉及這種結(jié)構(gòu)形式的問題在平時較少遇到，有一定的難度.如何解決呢？我們不妨先比較4x-12和2x2-8x+6，看看這兩個多項式是否有聯(lián)系？各自因式分解后發(fā)現(xiàn)它們含有共同的因式x-3，結(jié)合已知條件對任意實數(shù)x，已知不等式組都成立，可以令x=3，這樣就自然得到了“兩邊夾”的形式.

解 因為4x-12=4（x-3），

2x2-8x+6=2（x-1）（x-3），

且對任意實數(shù)x，都有

4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以當x=3時，都有

0≤9a+3b+c≤0，

由兩邊夾法得9a+3b+c=0，

即拋物線過點（3，0），又拋物線過點（-1，0），所以設所求拋物線的解析式為

y=a（x+1）（x-3）.

由a（x+1）（x-3）≥4x-12得

ax2-（2a+4）x+12-3a≥0，

因為它對任意實數(shù)x都成立，所以a>0且

（2a+4）2-4a（12-3a）≤0，

解得（a-1）2≤0，

又（a-1）2≥0，

所以再一次由兩邊夾法得a=1.

所以該二次函數(shù)的解析式為

y=（x+1）（x-3），

即y=x2-2x-3.

小結(jié) 以上6個典型例子的解法有個共同的特點，就是通過對方程或不等式經(jīng)過變形、整理得到了符合兩邊夾的結(jié)構(gòu)形式：“a≤x，且x≤a”，從而得到x=a，然后根據(jù)非負數(shù)取值最小值時等號成立的條件，求出方程或不等式中的各個未知數(shù).這種“兩邊夾法”通過化歸的途徑實現(xiàn)了多題一解，起到了舉一反三的高效解題效果.