李海艷

直線與圓錐曲線問題具有較強的綜合性，且運算量較大，側(cè)重于考查直線的方程、直線的斜率、直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式、圓錐曲線的方程、平面幾何圖形的性質(zhì)等.常見的命題形式有求直線的斜率、求直線的方程、求圓錐曲線的方程、判斷直線與圓錐曲線的位置關系、求圓錐曲線中弦的長度等.本文主要探討下列三類直線與圓錐曲線問題的解法.

一、直線的斜率問題

解：設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

因為直線y=kx-1與y軸交于點P，

所以點P（0，-1）

消去y得（3+4k²）x²-8kx-8=0，Δ>0

則（-x₁，-1-y₁）=3（x₂，y₂+1）

所以x₁=-3x₂

設出直線與圓錐曲線的兩個交點的坐標，將直線和橢圓的方程聯(lián)立，通過消元，構(gòu)造關于x的一元二次方程，即可根據(jù)韋達定理建立方程，通過解方程即可求得直線的斜率.求直線的斜率，需重點研究直線與圓錐曲線的方程以及交點的坐標.

二、弦中點問題

∵AB的中點為M（-4，1）

∴x₁+x₂=-8，y₁+y₂=2

∴正確答案為選項C.

該題是與弦中點有關的圓錐曲線離心率問題，需首先設出交點A和B的坐標，將其代入橢圓的方程中并作差，求得直線的斜率的表達式，便可根據(jù)中點的坐標建立關于a、b的等式，求得橢圓的離心率.運用點差法解答中點弦問題，關鍵是將兩個交點的坐標代入圓錐曲線的方程中，并作差，據(jù)此建立關系式.

三、弦長問題

（1）求橢圓M的方程;

（2）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

綜上可見，無論是求直線的斜率、解答中點弦問題，還是解答弦長問題，都需重點研究直線與圓錐曲線的方程，可將兩個方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，也可將交點的坐標代入圓錐曲線的方程，并將兩個方程作差.