山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

一、題目呈現(xiàn)

(2020高考浙江省3月聯(lián)考(B)第10題)已知實(shí)數(shù)x,y,滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值為( ).

二、命制背景

圖1

拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：一是把目標(biāo)函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中；二是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數(shù)來將含有n個(gè)變量和k個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為含有n+k個(gè)變量的無約束優(yōu)化問題.因?yàn)樵跇?gòu)造的拉格朗日函數(shù)中無論約束條件φ(x，y)=0如何，都滿足限制條件.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，不難發(fā)現(xiàn)求z=f(x,y)的極值點(diǎn)，其實(shí)就是求L(x,y)的極值點(diǎn)，兩者的極值是等價(jià)的，且與λ無關(guān)，至于為什么增加一個(gè)λ，其實(shí)就相當(dāng)于用待定系數(shù)法來確定這個(gè)拉格朗日函數(shù).拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性，顯然通過求解拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來求得原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更實(shí)際，更方便的做法.于是，我們可以用這種方法來破解一些簡單的條件極值問題，例如本題可解答如下：

三、題目解答

拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問題優(yōu)化算法，其理論上的優(yōu)越性顯而易見.然而,在實(shí)際操作中，對(duì)拉格朗日乘數(shù)法求極值的原理理解接受需要一個(gè)過程，求偏導(dǎo)對(duì)于高中學(xué)生來說也是陌生的，另外，在聯(lián)立方程組求解時(shí)對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高，那么，本題如何用初等數(shù)學(xué)的方法解決呢？事實(shí)上，在高中階段，解決此類問題可以分別從基本不等式、方程有解、函數(shù)最值(三角代換或?qū)?shù))等途徑尋求突破，消參減元轉(zhuǎn)化是這類問題的基本解題原則，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程，再輔以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就能解決.當(dāng)然，鑒于該類題目的綜合性，解答過程往往需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數(shù)學(xué)思想和方法，頗具挑戰(zhàn)性和選拔性.

思路一：換元法+基本不等式法

通過觀察已知條件x2-4xy-5y2=5，可以發(fā)現(xiàn)，該等式可以通過因式分解等價(jià)變形為(x-5y)(x+y)=5，由“積為定值”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到進(jìn)行換元s=x-5y，t=x+y，從而將關(guān)于x，y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為s，t的二元函數(shù)，進(jìn)而借助基本等式求出最值即可.

思路二：判別式法

轉(zhuǎn)化為方程有解利用判別式△≥0也是處理該類試題的常見思路.利用目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造二次的齊次式，分子、分母同時(shí)除以x2(或y2)，借助換元法將二元方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，利用判別式△≥0求解，于是有了如下解法.

思路三：三角換元法

評(píng)注：使用三角代換，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，利用正余弦函數(shù)的有界性，求平方和代數(shù)式的范圍是常用方法和思路.

思路四：導(dǎo)數(shù)法

與思路二類似，利用目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造齊次式，然后分子、分母同時(shí)除以x2(或y2)，換元后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)的最值問題，然后通過導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值和最值.

①當(dāng)y=0時(shí)，x2+2y2=x2=5；

圖2

思路五：配湊法+平方非負(fù)性

通過觀察、配湊，變形為完全平方公式形式，利用完全平方非負(fù)性，確定最值.

追根溯源可以讓我們了解命題意圖，橫跨縱聯(lián)也利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元二次方程條件下的二元最值問題，歷來是高考和競賽的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，題目一般是函數(shù)、方程與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用試題，解法多樣，活潑靈動(dòng)，技巧性較強(qiáng).當(dāng)然，在解題過程中，要防止沒有思想的技巧，或者說揭示不出技巧背后的思想的做法是不可取的，違背了數(shù)學(xué)教育的育人之道，把數(shù)學(xué)變成了形式化的技巧.作為教師，一定要把技巧后面的思想挖掘出來，充分體現(xiàn)教學(xué)的簡約性功能.

最后，讀者可仿照上述方法求解以下三題.

1.(2020屆浙江省寧波市高三期末考試)已知45x2-12xy+52y2=20，求3x2+4y2的范圍.

2.(2017年清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試第12題)已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( ).

3.(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽第1題)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是.