董然， 孫創(chuàng)， 傅強(qiáng)， 李長江， 魏薇， 辛祿平

(1.北京石油化工學(xué)院 信息工程學(xué)院， 北京 102617； 2.宜昌測試技術(shù)研究所，湖北 宜昌 443003； 3.中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院, 山東 青島 266100； 4.中國石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院, 山東 青島 266580)

隨著人類對于海洋資源開發(fā)和利用的需求日益增加，單艘動力定位船舶已無法滿足某些大型海洋工程項(xiàng)目的作業(yè)要求，例如大型海底油氣設(shè)施安裝和拆卸、大型海上結(jié)構(gòu)物的拆解、海上大型無動力負(fù)載的拖曳操縱等任務(wù)，都需要多艘動力定位船編隊來完成。因此，研究多動力定位船編隊控制方法具有重要的工程實(shí)際意義。

船舶在海上會受到以風(fēng)、浪、流為主的時變環(huán)境干擾，顯著影響船舶動力定位精度。這類干擾往往持續(xù)不斷，隨機(jī)性強(qiáng)，精確測量很困難，因此，有效估計和補(bǔ)償海洋環(huán)境干擾對多船編隊控制十分必要。文獻(xiàn)[1]利用自抗擾控制技術(shù)對未建模擾動因素進(jìn)行估計和補(bǔ)償；文獻(xiàn)[2]提出一種基于自適應(yīng)在線逼近技術(shù)和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計時變、不確定的海洋環(huán)境干擾；文獻(xiàn)[3-4]使用自適應(yīng)模糊控制方法來逼近未知環(huán)境干擾，解決模型不確定性；文獻(xiàn)[5]通過滑?？刂萍夹g(shù)使外擾觀測器的估計誤差在有限時間內(nèi)收斂至擾動的固定倍數(shù)范圍內(nèi)；文獻(xiàn)[6-7]分別使用非線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器和干擾觀測器來估計未知時變環(huán)境擾動，且觀測誤差有界。

在非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計中，除了要應(yīng)對不確定環(huán)境干擾因素，通常還要關(guān)注系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)品質(zhì)。為此，非線性控制領(lǐng)域的大量研究成果從不同角度，提出了改善控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能的方法[8-11]。文獻(xiàn)[8]采用漏斗法，即根據(jù)漏斗的形狀分配系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)速率，但其只能保證系統(tǒng)輸出的近似性能，適應(yīng)性一般；此外，該方法用到與誤差相關(guān)的控制增益，會在誤差接近漏斗邊界時無限變大。文獻(xiàn)[9]提出了預(yù)設(shè)性能控制的概念，針對一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，首次使用性能約束函數(shù)將系統(tǒng)輸出誤差限制在任意設(shè)定的范圍內(nèi)，例如限制收斂速度在給定范圍以節(jié)約控制能量、提高系統(tǒng)魯棒性。隨后，文獻(xiàn)[10]根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出一種帶預(yù)設(shè)性能的編隊自適應(yīng)控制方法，成功應(yīng)用于具有未知非線性的高階系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]針對水面船的軌跡跟蹤控制問題，使用一種預(yù)定義性能的自適應(yīng)神經(jīng)輸出反饋控制方案，將跟蹤誤差限制在自定義集合范圍內(nèi)。

基于上述研究成果，針對多動力定位船舶在未知時變干擾環(huán)境中的編隊控制問題，本文首先設(shè)計了一種非線性干擾觀測器來估計不確定擾動，其干擾估計誤差能在有限時間內(nèi)收斂；其次，根據(jù)船舶間通信拓?fù)?、結(jié)合反步法設(shè)計分布式編隊控制器來補(bǔ)償環(huán)境干擾，并引入響應(yīng)速度函數(shù)將跟蹤誤差轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)期望的跟蹤性能；最后，仿真驗(yàn)證本文所提出方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和問題描述

1.1 數(shù)學(xué)符號

本文用到以下數(shù)學(xué)符號：λmin(·)、λmax(·)和λi(·)分別表示方陣最小、最大、第i個特征值；‖·‖表示向量2-范數(shù)或矩陣范數(shù)；Rn×n表示n×n維歐式空間；sign為符號函數(shù)；diag{ai}表示對角矩陣，ai為對角線上第i個元素；sigδ(y)表示|y|δsign(y)，其中δ>0，y∈R；?表示克羅內(nèi)克積。

1.2 有限時間穩(wěn)定性

引理1[12]考慮連續(xù)系統(tǒng)

(1)

假設(shè)存在一個正定的連續(xù)函數(shù)V:Rn→R，實(shí)數(shù)β>0，l∈(0,1)和原點(diǎn)的一個開鄰域U0∈Rn，滿足：

(2)

則連續(xù)系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)是有限時間穩(wěn)定的。若滿足U0=Rn，則原點(diǎn)是全局有限時間穩(wěn)定的。

1.3 圖論基礎(chǔ)

1.4 響應(yīng)速度函數(shù)

為使船舶跟蹤誤差在預(yù)先設(shè)定時間內(nèi)收斂，構(gòu)造響應(yīng)速度函數(shù)為[13]：

(3)

式中：0<ξf≤1是待定參數(shù)，函數(shù)γ(t)由式(4)給出：

(4)

性質(zhì)1：ξ(t)關(guān)于時間的一階和二階導(dǎo)數(shù)都存在且有界。

1.5 問題描述

動力定位船舶的3自由度數(shù)學(xué)模型為[14]：

(5)

(6)

圖1 船舶運(yùn)動坐標(biāo)系

為方便下文書寫，用符號Ri代表R(ψi)。

控制目標(biāo)：針對每艘動力定位船設(shè)計分布式控制律，使船在時變環(huán)境干擾作用下能保持期望隊形，并按照期望性能跟蹤虛擬領(lǐng)航船，即參考信號ηd。

本文的分析和設(shè)計工作用到以下假設(shè)條件。

假設(shè)1至少存在一條從虛擬領(lǐng)航船到每艘跟隨船的有向路徑。

2 非線性干擾觀測器設(shè)計

本節(jié)設(shè)計干擾觀測器為：

(7)

為方便設(shè)計，引入一個新向量ωi，定義為：

(8)

(9)

式中：Li1和Li2是設(shè)計的正定對角矩陣，δi1和δi2是設(shè)計的正常數(shù)，且滿足0<δi2<δi1<1和δi2=2δi1-1。

(10)

(11)

(12)

定理1通過選擇合適的非線性干擾觀測器式(7)～(9)參數(shù)，時變環(huán)境干擾能在有限時間內(nèi)被估計，且估計誤差在有限時間內(nèi)收斂。

定理1表明，本節(jié)設(shè)計的干擾觀測器的干擾估計誤差能在有限時間內(nèi)收斂。

證明選擇李雅普諾夫函數(shù)為：

(13)

(14)

將式(13)的等號兩邊對時間求導(dǎo)，可得:

(15)

(16)

由δi2=2δi1-1和xid的表達(dá)式可知式(16)中:

-Li2sigδi2(xi1)=-xid·Li2·sigδi1(xi1)

(17)

且有：

(18)

(19)

因此，

(20)

將式(20)等號兩邊同取轉(zhuǎn)置后，可得:

(21)

進(jìn)而根據(jù)式(22)～(24)，可得式(25)，則式(26)成立。

(22)

(23)

XPPi=PiXP

(24)

(25)

(26)

由引理3可知XPHi1的特征根λ滿足：

(27)

則由式(26)、式(27)，結(jié)合“假設(shè)2”給出的環(huán)境干擾邊界，可得：

(28)

‖i‖2=+‖xi2‖2

(29)

(30)

(31)

λmin(XP)=μδi1-1>‖

(32)

(33)

(34)

‖

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

證畢。

3 編隊控制器設(shè)計

本節(jié)基于反步設(shè)計思想完成動力定位船舶編隊控制器設(shè)計。

首先，結(jié)合編隊內(nèi)船舶之間相對方位誤差以及跟蹤編隊領(lǐng)航船的誤差，定義編隊“綜合跟蹤誤差”zi1為式(40)，注意本設(shè)計采用單編隊領(lǐng)航船。

(40)

式中θi∈R3表示第i艘船與參考信號ηd之間的期望相對位置。

為改善跟蹤性能，引入誤差轉(zhuǎn)換：

si1=ξi1·zi1

(41)

式中：ξi1即為式(3)的ξ(t)；si1關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為：

(42)

然后，定義第2個跟蹤誤差zi2為式(43)，其中αi滿足式(44)，式中ki1∈R3×3是設(shè)計的正定對角增益矩陣。由式(6)可知zi2的導(dǎo)數(shù)滿足式(45)。

zi2=υi-αi

(43)

(44)

(45)

將式(43)、式(44)代入式(42)后得到式(46)。為使zi2收斂，設(shè)計推進(jìn)系統(tǒng)控制律為式(47)，式中ki2∈R3×3是設(shè)計的正定對角增益矩陣，將式(47)代入式(45)得到式(48)。

(46)

(47)

(48)

下面的定理表明，對于由式(40)、(41)、(43)、(44)、(47)構(gòu)成的閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)，在恰當(dāng)選取控制增益前提下，能使跟蹤誤差收斂。

定理2對于由動力定位船舶式(5)和式(6)、基于干擾估計更新律式(9)的非線性干擾觀測器式(8)、基于虛擬控制律式(44)的分布式編隊控制律式(43)和式(47)所組成的船舶編隊閉環(huán)控制系統(tǒng)，若假設(shè)條件1～3均滿足，則選取合適的控制增益能使船舶編隊的跟蹤誤差有界，且誤差將以期望的收斂速度在設(shè)定時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近。

證明針對編隊中任意船的跟蹤誤差，選取李雅普諾夫函數(shù)為：

(49)

對式(49)兩邊求導(dǎo)，根據(jù)式(46)、式(48)和式(50)可得式(51)。

(50)

(51)

根據(jù)楊氏不等式和響應(yīng)速度函數(shù)的性質(zhì)2，有下列不等式成立，式中ξif與式(3)的ξf含義一致。

(52)

(53)

將式(52)和式(53)代入式(51)后可得式(54)。

(54)

(55)

(56)

(57)

-(ζiaV1+ζibV2)≤-ci2V

(58)

(59)

(60)

再由式(3)、式(4)和式(41)得到：

(0

(61)

在大地坐標(biāo)系中定義船舶i的“絕對跟蹤誤差”為：

ei=ηi-ηd-θii∈[1,n]

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

1)計算‖z1‖的邊界。

(67)

2)計算‖RT‖m2的邊界。

(68)

根據(jù)克羅內(nèi)克積的一般性質(zhì)可得式(69)和式(70)，進(jìn)而推出式(71)和式(72)[18]。

(69)

(70)

(71)

(72)

綜上可得：

(73)

4 仿真驗(yàn)證

本文以3艘動力定位船組成的編隊來驗(yàn)證所提出控制方法的有效性。選取鄰接矩陣：

(74)

式中：b∈R3滿足一階馬爾可夫過程；Tb為時間常數(shù)對角陣；Φ為擾動幅值對角陣；ω∈R3為零均值高斯白噪聲向量。

船舶編隊跟蹤控制效果如圖2所示?？梢?，盡管存在初始位置偏差和環(huán)境干擾，但編隊船舶在完成軌跡糾偏后都能以期望隊形緊密跟蹤參考信號。

圖2 船舶編隊路徑跟蹤控制

對該跟蹤過程中船1在縱蕩、橫蕩和艏搖3個自由度上所受的時變環(huán)境干擾，本文設(shè)計的非線性干擾觀測器的估計結(jié)果如圖3～5所示。盡管估計值在仿真初期振蕩幅度較大，但很快收斂，仿真10 s后觀測器的整體估計準(zhǔn)確度較高，縱、側(cè)向力干擾的估計誤差限制在6 kN以內(nèi)，力矩干擾的估計誤差限制在15 kN·m以內(nèi)，表明本文設(shè)計的非線性干擾觀測器具有良好的環(huán)境擾動估計性能。

圖3 船1所受縱向干擾力的真實(shí)值和估計值

圖4 船1所受側(cè)向干擾力的真實(shí)值和估計值

圖5 船1所受首向干擾力矩的真實(shí)值和估計值

下面對比本文設(shè)計的控制器與基于傳統(tǒng)反步法的控制器在降低編隊跟蹤誤差方面的性能?？紤]到傳統(tǒng)方法不含響應(yīng)速度函數(shù)以及本文設(shè)計的干擾觀測器，則基于傳統(tǒng)反步法設(shè)計的、與式(44)和式(47)相對應(yīng)的控制律分別為：

(76)

將這2個控制器對應(yīng)參數(shù)取相同數(shù)值，則船1在二者控制下，跟蹤圖2所示期望軌跡過程的綜合誤差，即z11，如圖6～8所示。圖6～8的(a)圖表明：2個控制器都能迅速降低船舶初始方位偏差，作用2 s后的對應(yīng)誤差曲線幾乎重合；相比之下，本文提出的控制方法在縮小編隊船舶的初始方位偏差方面速度更快，響應(yīng)指令能力更強(qiáng)。

圖6 船1縱向跟蹤誤差對比

圖7 船1側(cè)向跟蹤誤差對比

圖8 船1首向角跟蹤誤差對比

當(dāng)放大響應(yīng)曲線后發(fā)現(xiàn)：因傳統(tǒng)控制方法缺乏環(huán)境干擾補(bǔ)償機(jī)制，系統(tǒng)對擾動更敏感，被控變量的響應(yīng)呈現(xiàn)緩慢振蕩的特點(diǎn)，盡管仍在原點(diǎn)附近變化，但誤差有逐漸累積趨勢；相比之下，本文提出的控制方法魯棒性更好，系統(tǒng)在時變隨機(jī)干擾環(huán)境下的跟蹤精度很高，如圖6～8的圖(b)所示。

基于此，考慮在傳統(tǒng)控制方法中加入本文設(shè)計的干擾觀測器，即仍用式(47)控制律但不引入響應(yīng)速度函數(shù)，仿真編隊船舶對圖2所示期望軌跡的跟蹤情況，結(jié)果為：仿真持續(xù)2 s后，傳統(tǒng)方法和本文提出方法的跟蹤精度都很高，且跟蹤誤差的變化曲線幾乎完全吻合；而仿真開始后2 s內(nèi)，傳統(tǒng)控制方法產(chǎn)生的縱向、側(cè)向和艏向跟蹤誤差分別與圖6～8的圖(a)十分接近。這再次證明了本文設(shè)計的非線性干擾觀測器的有效性，也表明本文構(gòu)造的響應(yīng)速度函數(shù)改善了控制系統(tǒng)對指令的響應(yīng)品質(zhì)，使船舶跟蹤誤差能在預(yù)先設(shè)定時間內(nèi)收斂。

5 結(jié)論

1)運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，詳細(xì)證明了所設(shè)計的非線性干擾觀測器的擾動估計誤差能在有限時間內(nèi)收斂，以及整個閉環(huán)控制系統(tǒng)的跟蹤誤差有界，且能滿足預(yù)設(shè)的收斂性能；

2)仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文設(shè)計的船舶編隊控制器具有良好的環(huán)境擾動估計和精確的方位跟蹤控制性能，且相比不帶擾動觀測器的傳統(tǒng)反步控制方法，本文提出的控制方法使閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)更快，魯棒性更好。