国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

基于混合網(wǎng)格有限元的直流電阻率法三維正演研究

2022-06-07 10:34王新宇毛玉蓉嚴(yán)良俊高文龍
煤田地質(zhì)與勘探 2022年5期
關(guān)鍵詞:四面體棱柱電阻率

王新宇,王 程,毛玉蓉,嚴(yán)良俊,周 磊,高文龍

(1.長江大學(xué) 油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430100;2.非常規(guī)油氣省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心,湖北 武漢 430100;3.中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司,陜西 西安 710077)

直流電阻率法從地表到孔中、低維到高維、粗放到精細(xì)快速發(fā)展,在有色金屬、煤田等礦產(chǎn)資源勘探和地質(zhì)調(diào)查中應(yīng)用廣泛、效果明顯[1-2]。直流電阻率法實(shí)測資料的合理解釋離不開有效的三維正反演技術(shù),并且直流電阻率法三維正反演一直是地球物理學(xué)界的研究熱點(diǎn)[3-8]。

國內(nèi)外學(xué)者對電阻率法正演做了大量研究。20 世紀(jì)70 年代末期,國外學(xué)者A.Dey 等[9]將吸收邊界條件的思想應(yīng)用于電阻率法三維數(shù)值模擬,有效減少網(wǎng)格數(shù)目和邊界效應(yīng)的影響,取得良好的模擬效果;R.C.Fox 等[10]研究了起伏地形對電阻率法和激發(fā)極化法觀測數(shù)據(jù)的影響;T.Lowry[11]、ZHAO Shengkai[12]等將電位分解成背景值和異常值的疊加,提出了異常電位法,克服場源的奇異性,有效地提高計(jì)算精度;C.Rücker 等[13]采用非結(jié)構(gòu)四面體網(wǎng)格有限元法實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜地形下電阻率法三維模擬;強(qiáng)建科等[14]將三棱柱單元引入起伏地形條件下電阻率法有限元三維正演中,并研究了起伏地形對電阻率法正演響應(yīng)的影響特征;湯井田等[15]采用三棱柱網(wǎng)格,推導(dǎo)了無限元三維單元映射函數(shù),取得較高的計(jì)算精度。在井-地電阻率法數(shù)值模擬方面,王志剛等[16]基于積分方程法離散泊松方程,實(shí)現(xiàn)了井-地電阻率法三維并行正演算法;部分學(xué)者[17-18]基于有限差分法實(shí)現(xiàn)了線源井-地電法三維正演,并取得了良好的數(shù)值模擬效果;李長偉等[19]基于三棱柱網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)了井-地電法有限元三維正演;王智等[20]對井-地電阻率法三維正演的結(jié)果采用歸一化總水平導(dǎo)數(shù)法,一定程度增強(qiáng)了異常體的響應(yīng)特征。

上述研究在進(jìn)行正演模擬時(shí),均未考慮鉆孔因素(井液電阻率和鉆孔孔徑)對視電阻率數(shù)據(jù)的影響。而考慮鉆孔的地電模型,網(wǎng)格剖分勢必變得困難。為解決上述問題,采用有限元法,結(jié)合混合網(wǎng)格的空間離散模式,解決小孔徑條件下“空間離散困難”的問題。對于鉆孔所在地層,采用三棱柱網(wǎng)格對鉆孔進(jìn)行快速離散;對于其他地層,采用非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格進(jìn)行離散,以減少有限元的計(jì)算量。針對不同的地電模型,采用合適的網(wǎng)格類型進(jìn)行離散,并開展高精度、快速的三維正演模擬。

1 混合網(wǎng)格有限元三維正演算法

1.1 有限元邊值問題及變分問題

直流電阻率法有限元三維正演中,異常電位us滿足的邊界問題[21]為:

式中:σ為地下介質(zhì)電導(dǎo)率,S/m;σ′為異常電導(dǎo)率,σ′=σ?σ0,S/m;σ0為均勻介質(zhì)電導(dǎo)率,S/m;us為異常電位,V,由地下的電性不均勻體產(chǎn)生;u0為正常電位,V,是點(diǎn)電流源在均勻半空間或全空間產(chǎn)生的電位,可由解析解求得;n為 模型邊界的外法向方向;r和r分別為邊界上的點(diǎn)到點(diǎn)電流源的距離和有向距離,m;Γ0和?!薹謩e為計(jì)算區(qū)域 Ω的地面邊界和無窮遠(yuǎn)邊界。

則異常電位滿足的變分問題[21]為:

式中:dΩ為體積分;dΓ為計(jì)算區(qū)域的無窮遠(yuǎn)邊界面積分。

1.2 混合網(wǎng)格單元分析

將計(jì)算區(qū)域 Ω離散為互不重疊的四面體和三棱柱單元,四面體和三棱柱節(jié)點(diǎn)編號規(guī)則如圖1 所示:

圖1 四面體和三棱柱的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號Fig.1 Nodes number of tetrahedral and triangular prism element

則第e個(gè)單元內(nèi)任意一點(diǎn)的異常電位為:

式中:對于四面體單元t=4,對于三棱柱單元t=6;(x,y,z)為第e個(gè)單元內(nèi)任意一點(diǎn)的異常電位;為第e個(gè)單元上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的異常電位。

四面體的線性插值基函數(shù)(x,y,z)可表示為:

式中:i為四面體節(jié)點(diǎn)索引;Ve為四面體單元體積;ai、bi、ci、di為四面體線性插值基函數(shù)系數(shù)(參照文獻(xiàn)[21]計(jì)算)。

正三棱柱的線性插值基函數(shù)[14]可表示為:

式中:i為三棱柱節(jié)點(diǎn)索引;Δ為三棱柱三角形面積;h為三棱柱單元高度(h=2s);z0為三棱柱中心z坐標(biāo);ai、bi、ci(i=k,m,n,k′,m′,n′)為三棱柱線性插值基函數(shù)系數(shù)。

采用有限元法對式(2)進(jìn)行離散后,對每個(gè)單元進(jìn)行積分得到單元系數(shù)矩陣,最終形成總體系數(shù)矩陣:

式中:Ne為混合網(wǎng)格單元總數(shù);Ke=σ(K1e+K2e),Ke為與 σ相關(guān)的單元系數(shù)矩陣;Pe=σ′(K1e+K2e),Pe為與σ′相關(guān)的單元系數(shù)矩陣;K1e為式(2)中與體積分相關(guān)的單元系數(shù)矩陣的擴(kuò)展矩陣;K2e為式(2)中與邊界積分相關(guān)的單元系數(shù)矩陣的擴(kuò)展矩陣;K為總電位的系數(shù)矩陣;P為異常電位的系數(shù)矩陣。

對于每個(gè)四面體單元,擴(kuò)展矩陣K1e和K2e表示為:

式中:Δ1為四面體或三棱柱的三角形面積。

對于每個(gè)正三棱柱單元,擴(kuò)展矩陣K1e表示為:

當(dāng)三棱柱側(cè)面為無窮遠(yuǎn)邊界時(shí),擴(kuò)展矩陣K2e為:

式中:Δ2為三棱柱外邊界四邊形的面積。當(dāng)三棱柱側(cè)面(四邊形)位于無窮遠(yuǎn)邊界時(shí),K2e積分采用式(13)計(jì)算;當(dāng)三棱柱底面和四面體表面(三角形)位于無窮遠(yuǎn)邊界時(shí),K2e積分采用式(8)計(jì)算。至此,四面體與三棱柱單元積分和邊界積分完成,由于采用標(biāo)量有限元,四面體與三棱柱共節(jié)點(diǎn)處的積分點(diǎn)重合;如圖1 所示,當(dāng)四面體單元2、3、4 節(jié)點(diǎn)與三棱柱單元k′、m′、n′重合時(shí),積分點(diǎn)重合的單元自動滿足標(biāo)量場的一致性。令式(6)的變分為零,得到Ax=b形式的線性方程組:

1.3 線性方程組求解

本文采用改進(jìn)的對稱逐步超松弛預(yù)處理共軛梯度迭代算法(SSOR-PCG)[22]求解式(14)。引入對稱逐步超松弛迭代(SSOR 預(yù)條件)的分裂矩陣作為預(yù)處理矩陣:

式中:H為預(yù)處理矩陣;D為A的對角陣;L為A的嚴(yán)格下三角矩陣;0<ω<2為松弛因子(算法細(xì)節(jié)參照文獻(xiàn)[22])。

1.4 視電阻率計(jì)算

在求解方程后得到各節(jié)點(diǎn)的異常電位值,從而得到各節(jié)點(diǎn)的總電位值:

式中:u為每個(gè)節(jié)點(diǎn)的總電位。

本文主要研究井-地、地-井工作方式的視電阻率響應(yīng)特征,圖2 為井-地、地-井工作方式的示意圖。二極裝置與三極裝置的視電阻率計(jì)算方式分別如下:

圖2 電阻率法井-地、地-井工作方式Fig.2 Surface-to-borehole and borehole-to-surface working mode of resistivity method

式中:ρs為視電阻率,Ω·m;I為電流大小,A;KAM和KAMN分別為二極裝置與三極裝置的裝置系數(shù);r和r′分別為點(diǎn)電源A和其關(guān)于地表鏡像點(diǎn)到測點(diǎn)M或N的距離。

2 混合網(wǎng)格有限元電阻率法數(shù)值模擬分析

2.1 混合網(wǎng)格算法精度驗(yàn)證

采用一維層狀地層模型(圖3) 驗(yàn)證混合網(wǎng)格算法的正確性。計(jì)算區(qū)域大小為1 000 m×1 000 m×1 000 m,第一層地層的厚度為6 m,電阻率為50 Ω·m;第二層地層的厚度為10 m,電阻率為100Ω·m;基底電阻率為50 Ω·m。圖4a 為混合網(wǎng)格剖分示意圖,頂部兩層地層均采用三棱柱網(wǎng)格剖分,基底地層采用四面體網(wǎng)格剖分,最終生成170 360 個(gè)三棱柱,294 820 個(gè)四面體以及57 948 個(gè)邊界三角形和3 200 個(gè)邊界四邊形。圖4b 為非結(jié)構(gòu)四面體網(wǎng)格剖分示意圖,最終生成473 222 個(gè)四面體,10 348 個(gè)邊界三角形。發(fā)射源置于地表(0 m,0 m,0 m)處,發(fā)射電流為1 A,在x方向1~100 m 的范圍內(nèi)布置100 個(gè)等間隔測點(diǎn)。采用SSORPCG 算法求解線性方程組,混合網(wǎng)格求解耗時(shí)11.02 s,四面體網(wǎng)格求解耗時(shí)10.75 s;由解析解和數(shù)值解的對比結(jié)果(圖5)可知:混合網(wǎng)格數(shù)值解的最大誤差為0.15 %,四面體網(wǎng)格數(shù)值解的最大誤差為1.56%(誤差計(jì)算方法如下式),2 種方法均滿足計(jì)算精度。但混合網(wǎng)格的計(jì)算精度要略高于四面體網(wǎng)格,這是由于在較薄的地層離散網(wǎng)格時(shí)會產(chǎn)生質(zhì)量較差的四面體網(wǎng)格,從而影響計(jì)算精度,這也證實(shí)本文混合網(wǎng)格算法的可行性、有效性。

圖3 一維層狀模型Fig.3 1D layered model

圖4 層狀模型的網(wǎng)格剖分Fig.4 Grid discretization of layered model

圖5 不同方法的結(jié)果對比Fig.5 Comparison of forward modeling results of different methods

式中:ρa(bǔ)為混合網(wǎng)格或四面體網(wǎng)格三維數(shù)值解,Ω·m;ρb為一維解析解,Ω·m;E為數(shù)值解誤差,%。

2.2 鉆孔模型井-地觀測方式數(shù)值模擬分析

為研究鉆孔因素對井-地電阻率法視電阻率響應(yīng)的影響特征,設(shè)計(jì)鉆孔模型(圖6 為鉆孔模型的網(wǎng)格剖分示意圖)。鉆孔孔徑為10 cm,鉆孔深度為50 m,計(jì)算區(qū)域大小為1 000 m×1 000 m×1 000 m,鉆孔內(nèi)存在電阻率為3 Ω·m的井液,圍巖電阻率為100 Ω·m。在鉆孔周圍采用三棱柱網(wǎng)格進(jìn)行離散,井底下方采用四面體網(wǎng)格進(jìn)行離散,混合網(wǎng)格最終生成265 145 個(gè)節(jié)點(diǎn),497 200 個(gè)三棱柱,76 587 個(gè)四面體以及55 496 個(gè)三角形和6 160 個(gè)四邊形。發(fā)射源分別位于井口(0 m,0 m,0 m),井中(0 m,0 m,5 m)、(0 m,0 m,10 m)、(0 m,0 m,15 m)處,發(fā)射電流均為1 A,采用井-地觀測方式計(jì)算地表測點(diǎn)的視電阻率響應(yīng)。數(shù)值模擬結(jié)果如圖7所示,將視電阻率的色標(biāo)限制在圍巖電阻率的上下5%范圍內(nèi),超出此范圍,即可認(rèn)為鉆孔因素對視電阻率數(shù)據(jù)的影響不可忽略。由圖7a 可以看出,當(dāng)發(fā)射源位于地表時(shí),鉆孔附近視電阻率受鉆孔因素影響最大,但隨著測點(diǎn)收發(fā)距的增加,視電阻率響應(yīng)逐漸趨于圍巖電阻率。如圖7b 所示,當(dāng)發(fā)射源位于地下5 m 時(shí),地表視電阻率受鉆孔因素的影響減小,但仍然不能忽略。當(dāng)發(fā)射源位于地下10 m(圖7c),15 m(圖7d)時(shí),地表視電阻率響應(yīng)和圍巖電阻率非常接近,可以忽略鉆孔因素對視電阻率數(shù)據(jù)的影響。因此,在實(shí)際井-地電阻率法資料處理解釋中,根據(jù)發(fā)射源位置,合理考慮鉆孔因素的影響是必要的。

圖6 鉆孔模型的局部網(wǎng)格剖分Fig.6 Local grid of borehole models

圖7 發(fā)射源位于不同深度的視電阻率響應(yīng)Fig.7 Apparent resistivity response of point current source at different depth

2.3 鉆孔模型地-井觀測方式數(shù)值模擬分析

為研究鉆孔因素(井液電阻率和鉆孔孔徑)對地-井觀測方式視電阻率響應(yīng)曲線的影響,設(shè)計(jì)鉆孔地電模型(圖8)。鉆孔深度為100 m,圍巖采用層狀地層模型,該模型的地層厚度及電阻率參數(shù)見表1,異常體的大小為30 m×20 m×20 m,電阻率為10 Ω·m。發(fā)射源位于地表井口(0 m,0 m,0 m)處,發(fā)射電流為1 A,接收電極位于井中2~100 m,電極間距2 m,以三極裝置方式進(jìn)行接收。分別設(shè)計(jì)如下2 個(gè)模型:①鉆孔孔徑為50 mm 時(shí),計(jì)算不同井液電阻率(3、10、50 Ω·m)情況下的視電阻率響應(yīng)曲線;② 井液電阻率為3Ω·m時(shí),計(jì)算不同鉆孔孔徑(0、50、100、150 mm)情況下的視電阻率響應(yīng)曲線。

圖8 鉆孔模型混合網(wǎng)格離散Fig.8 Mixed grid discretization of borehole model

表1 鉆孔模型的地層參數(shù)Table 1 Formation parameters of borehole model

圖9a 展示了地-井觀測方式在不同井液電阻率情況下的視電阻率響應(yīng)曲線。由圖9a 可知,淺部測點(diǎn)的視電阻率數(shù)據(jù)受井液電阻率影響較大,深部測點(diǎn)的視電阻率數(shù)據(jù)基本不受井液電阻率影響;而且隨著井液電阻率的增大,視電阻率曲線所受影響逐漸減小。實(shí)際鉆孔中的井液電阻率均為低阻,通過分析井液電阻率為3 Ω·m時(shí)的視電阻率響應(yīng)可知:當(dāng)測點(diǎn)收發(fā)距為10 m 左右時(shí),井液的影響才可以忽略不計(jì)。因此,在實(shí)際地-井電阻率法勘探中,鉆孔因素應(yīng)加以重視。圖9a 中的視電阻率曲線很難反映地層的電性特性和界面信息,這是由于地下介質(zhì)存在明顯的電阻率差異,高阻地層對電流具有排斥作用、低阻異常和低阻地層對電流具有吸引作用,地層與異常體之間的電流場相互耦合,使得視電阻率響應(yīng)變得尤為復(fù)雜,很難對地下介質(zhì)的電阻率信息進(jìn)行有效判別。因此,在復(fù)雜地層環(huán)境下,地-井觀測方式的視電阻率曲線變化較為復(fù)雜,給直流電阻率法資料的處理解釋工作帶來巨大困難。

圖9 不同鉆孔參數(shù)下視電阻率響應(yīng)曲線Fig.9 Apparent resistivity response curves of different borehole parameters

現(xiàn)將所有地層的電阻率設(shè)為100Ω·m,異常體的電阻率為10Ω·m,在忽略鉆孔的情況下,研究地下低阻異常體對視電阻率曲線的影響特征。圖9b 展示了地-井觀測方式的視電阻率響應(yīng)曲線,可以看出,由于低阻異常體對電流的吸引作用,低阻異常體與圍巖之間的電流場相互耦合,導(dǎo)致視電阻率響應(yīng)在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)大于圍巖電阻率的假異常。

圖9c 展示了地-井觀測方式在不同鉆孔孔徑情況下的視電阻率響應(yīng)曲線。相比于井液電阻率,視電阻率響應(yīng)更易受鉆孔孔徑大小影響。且隨著鉆孔孔徑的增大,視電阻率曲線在淺部畸變更為嚴(yán)重。而圖9a 和圖9c 在200 m 以下視電阻率曲線基本不受鉆孔因素影響,在實(shí)際電阻率資料解釋中收發(fā)距較小測點(diǎn)的視電阻率響應(yīng)需要加以重視,收發(fā)距較大的測點(diǎn)在資料信噪比較高的情況下可以直接進(jìn)行處理解釋。而對于電阻率法測井,發(fā)射源與測點(diǎn)均在井中,可以直接借助本文算法確定最佳收發(fā)距,以消除鉆孔參數(shù)的影響,從理論上確保測井?dāng)?shù)據(jù)的有效性。

3 結(jié) 論

a.提出基于四面體和三棱柱混合網(wǎng)格有限元的直流電阻率法三維正演算法。通過一維層狀模型的數(shù)值驗(yàn)證,混合網(wǎng)格算法可以在保證網(wǎng)格質(zhì)量的同時(shí),提高計(jì)算精度。

b.為有效處理鉆孔網(wǎng)格剖分,采用混合網(wǎng)格算法對井-地、地-井方式下的地電模型進(jìn)行正演模擬。數(shù)值結(jié)果表明,井液電阻率或鉆孔孔徑的變化會對收發(fā)距較小測點(diǎn)處的視電阻率響應(yīng)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響,在實(shí)際井-地、地-井電阻率法勘探過程中,鉆孔參數(shù)應(yīng)加以重視。

c.對于地-井觀測方式,由于測點(diǎn)位于地下,復(fù)雜的地層信息和鉆孔參數(shù)會導(dǎo)致地-井觀測方式的視電阻率響應(yīng)出現(xiàn)假異常。

d.在實(shí)際勘探中,可利用本文算法,結(jié)合鉆孔信息進(jìn)行正演模擬分析,選擇合適的收發(fā)距,以保證實(shí)際直流電阻率資料的合理解釋。為更好地解決以上因素帶來的問題,下一步將展開基于混合網(wǎng)格下的鉆孔參數(shù)約束的直流電法三維反演工作,為直流電阻率法精細(xì)化解釋提供理論基礎(chǔ)。

猜你喜歡
四面體棱柱電阻率
基于高密度電阻率法的農(nóng)田土壤表面干縮裂隙成像
摻雜半導(dǎo)體硅材料電阻率測量的光電效應(yīng)和熱效應(yīng)
煤層水平井中隨鉆電磁波儀器影響因素分析及電阻率模擬計(jì)算
例談立體幾何四面體中關(guān)于“棱”的問題
“雙管齊下” ,求四面體的體積
分層均勻結(jié)構(gòu)地電阻率影響系數(shù)一個(gè)重要特性普適性的證明
The Evolution of Stone Tools
理解棱柱概念,提高推理能力
快從四面看過來
空間垂直關(guān)系錯(cuò)解剖析