孫 文

(中國西南電子技術研究所，四川 成都 610036)

0 引言

近年來，對量化測量的關注越來越多[1-5]，正如文獻[3]中所指出的，量化是由于通信信道的帶寬有限造成的。由于量化測量提供了目標的區(qū)間描述而不是點描述，傳統(tǒng)的跟蹤方法(如常用的粒子濾波)不能直接用于量化測量。在文獻[6]中，提出了一種特殊的粒子濾波方法，稱作箱粒子濾波算法(Box Particle Filter，BPF)來解決上述問題。其將測量值作為區(qū)間，而不是傳統(tǒng)的點觀測值。BPF 通過引入區(qū)間分析方法，為量化測量提供了一種明確的解決方法。近年來，其已經成功地應用于數(shù)量可變多目標跟蹤[7-8]和擴展目標跟蹤[9-10]。

隨機評估需要解決三個重要的問題：濾波、平滑和預測[11]，然而過去幾年，濾波和預測經常被深入探討，平滑卻經常被忽略。聯(lián)合延遲觀測和平滑對預測性能的改善會超過濾波[12]。對于線性高斯模型，平滑方法是基于卡爾曼濾波框架提出的[11]。對于非線性非高斯模型，平滑方法是通過對粒子濾波進行擴展得到的[13]，或者前向-后向平滑方案[14-16]，或者基于塊的粒子方法[17]，或者雙濾波平滑器[18-20]。最近在文獻[21]中提出了一種具有線性復雜度但不像文獻[13]那樣受粒子損耗影響的SMC平滑器。

本文提出了一種基于量化測量的前向-后向箱粒子平滑(Forward-Backward Box Particle Smoothing，F(xiàn)B-BPS)算法來解決上述問題，在前向過程中，濾波密度通過標準粒子濾波正向傳播給時刻，在反向過程中，根據BPF的相關特征推導出平滑公式[13]。為了進一步提高狀態(tài)估計精度，提出了一種新的箱形粒子移動步驟。量化測量的仿真結果表明，即使是1 階(1-Lag)滯后平滑也能顯著提高測量精度。

1 背景

1.1 區(qū)間分析的基本概念

箱：屬于Rn的箱[x]定義為由n(實數(shù))個區(qū)間組成：[x]=[x1]×[x2]×…×[xn]，這里實數(shù)區(qū)間定義為實數(shù)集R 上的閉合和連通子集，和分別表示區(qū)間[xi]的下界和上界。

區(qū)間擴展函數(shù)：經過非線性變換后[x]不會總是箱的形式，區(qū)間擴展函數(shù)f 定義為箱函數(shù)[x]的鏡像，新的箱函數(shù)[f]([x])包含f([x])。

約束：定義H 表示約束滿足問題(Constraint Satisfaction Problem，CSP)，H 定義為：H:(f(x)=0，x∈[x])。CSP 的目的是找到屬于給定先驗域[x]的向量x 集合，滿足一組m 約束f=(f1，f2，…，fm)的最佳箱，其中fi是實數(shù)函數(shù)。該方法確保所有的[x]滿足f(x)=0，或者寫成S={x∈[x]|f(x)=0}。意味著在H 收斂的情況下，滿足約束S?[x]T?[x]時可以用一個更小的箱[x]T代替[x]，其中[·]T代表向量的轉置。一個典型3 維CSP 的例子如表1[22]所示。

表1 典型3 維CSP 示例

1.2 量化測量模型

假設目標的動態(tài)函數(shù)為：

其中F 是目標的狀態(tài)轉移矩陣，xk是目標在第k 時刻的狀態(tài)向量，wk是過程噪聲。目標的測量可以表示為：

其中，g(·)是測量函數(shù)，vk是測量噪聲，Δ是量化步進，(·)Floor代表向下取整。

1.3 粒子濾波和箱粒子濾波在量化測量下的比較

根據貝葉斯理論，在[zk+1]狀態(tài)下xk+1的概率密度p(xk+1|[zk+1])(也稱為后驗密度)可以通過下式計算得到：

由于量化測量是非線性模型，上述公式沒有解析解。廣義粒子濾波器[5]可以用來近似估計后驗密度，但其計算量是無法接受的。相反在少量粒子的情況下，BPF 的精度優(yōu)于BF，BPF 和PF 的詳細對比如表2 所示。

表2 粒子濾波和箱粒子濾波在量化測量下的比較

其中φ(·)為高斯分布的累計分布函數(shù)。

2 箱粒子平滑

前向-后向平滑由前向濾波和后向平滑組成。在前向過程中，濾波密度通過貝葉斯遞歸向前傳遞到時刻t。在后向過程中，平滑密度向后傳遞，從時刻l 到時刻k＜l，通過后向平滑傳遞。平滑公式如式(5)所示(詳細證明見文獻[23])：

對于BPF，廣義似然函數(shù)已經定義了，但是沒有考慮f(xk+1|xk)的廣義狀態(tài)轉移函數(shù)(Generalized State Transition Density，GSTD)?；叵胍幌律鲜霰砀裰械念A測公式），在預測步驟，k 時刻的箱粒子被噪聲箱]放大。在約束步驟，重采樣、甚至箱粒子中心，受預測過程噪聲的影響，箱粒子的邊界在預測后會產生移動，導致時刻k+1 的粒子與經目標動態(tài)模型預測產生的狀態(tài)不同。為了正確計算狀態(tài)轉移的概率，將廣義狀態(tài)轉移密度函數(shù)定義為：

時刻k 箱粒子后驗密度與其他濾波器相同，平滑后驗也可近似為：

因此，將式(7)帶入式(5)可以得到：

表3 所提出箱粒子平滑過程偽代碼

在跟蹤算法中，估計精度和計算量始終是一對矛盾，BPS 也不例外。隨著平滑時間的增加，BPS 的計算量增長趨勢非常快，但是精度提升的相對較慢，這一點將在下一節(jié)中證實。此外，在文獻[23]中，作者從理論上分析了當k=l 時平滑策略注定會失敗。這是因為后驗p(xk|z1:k)具有特殊的角色，它的特征比其他的分布都好。

在文獻[24]中指出，標準FB 平滑具有計算復雜度O(TN2)。這導致PF 無法實現(xiàn)，因為通常使用上千個粒子。但在BPS 中，只有很小的箱粒子(通常不超過30 個)。因此，BPS 跟蹤仍然是可行的。

3 實驗與結果分析

3.1 仿真場景和算法參數(shù)設置

假設勻速直線運動目標初始狀態(tài)向量為x1=[x，，y，]T=[100 m，10 m/s，300 m，8 m/s]T，其 中(x，)，(y，)分別表示x、y 軸的位置和速度。目標在勻速直線運動上，其狀態(tài)轉換矩陣為：

其中T 是傳感器的采樣周期。為了簡化仿真，這里設置T=1 s，總仿真時間為60 s。在轉移函數(shù)上加入功率密度σw=3 的高斯噪聲。

由于本文考慮的是標準單目標跟蹤場景，因此觀測噪聲均為高斯白噪聲，則假設傳感器直接觀測到目標被高斯噪聲污染的位置為x，y，其功率密度為，其中σR=2。點的測量量化步進Δ=5 m。圖1 中顯示了帶有區(qū)間和點測量的真實目標軌跡。

圖1 具有間隔與量測的真實勻速直線運動目標軌跡

為了全面檢驗所提算法的性能，考慮30 個箱粒子的BPF、1-Lag BPS 和5-Lag BPS 的跟蹤精度，并與廣義的PF[5]、1-Lag前向-后向粒子平滑(Forward-Backward Particle Smoothing，F(xiàn)BPS)和帶2500個粒子的5-LagFBPS進行比較。FBPS由文獻[24]給出，其對早期粒子的順序更新由核估計代替，并通過快速高斯變換進行。

箱粒子濾波和平滑器的參數(shù)設置如下：

由于F 是線性的，因此[F]=F，這里設置σ=2 m，υ=0.05 m/s。

同樣地，設置機動目標的初始狀態(tài)向量為x2==[300 m，10 m/s，300 m，10 m/s]T，其中，當機動目標做勻速轉彎運動時，其狀態(tài)轉移矩陣為：

其中，F(xiàn)ct為勻速轉彎運動時的轉移矩陣，θ 為轉彎速率，由于本文不涉及機動性能較高的目標，因此，在機動目標的運動模型只考慮兩種運動方式，分別為勻速直線運動與勻速轉彎運動，并且轉彎速率取為4°/s 的較小速率，目標狀態(tài)方程的誤差調為σw=5，則帶有區(qū)間和點量測的真實目標軌跡如圖2 所示。

圖2 具有間隔與量測的真實機動目標軌跡

3.2 仿真實驗對比分析

3.2.1 精度對比分析

在目標作勻速直線運動時，假設軌跡初始算法并不完美，所有的箱粒子和粒子都是從[105 m，9 m/s，295 m，9 m/s]′中采樣，這三種算法的遞歸最小均方估計(RMMSE)如圖3 所示，結果在1 000 個蒙特卡羅模擬下。由于5-Lag BPS 需要固定的5 s 延遲，因此結果只顯示了1 至65 s的估計。

圖3 不同算法下的勻速直線運動目標跟蹤RMMSE 對比圖

作為結果，可以看到,與BPF 相比，1-Lag BPS 可以實現(xiàn)更好的精度，5-Lag BPS 的精度優(yōu)于1-Lag BPS，但是在下一小節(jié)會看到計算量的增加遠大于精度的提升，這可能是在真實應用中不推薦5-Lag BPS 的原因。

當目標為機動目標時，根據圖2 仿真的目標軌跡，假設軌跡初始算法并不完美，所有的箱粒子和粒子都是從[305 m，9 m/s，295 m，11 m/s]′中采樣，這三種算法的遞歸最小均方估計(RMMSE)如圖4 所示，結果在1 000個蒙特卡羅模擬下?？梢钥闯?，算法的性能均有所降低，是由于該算法是在勻速直線運動的目標模型推導出來的，最佳適用勻速直線目標，對于機動能力弱的目標會導致算法性能下降，但未導致曲線發(fā)散與算法失效，因此本文提出的算法對機動目標仍為有效。

圖4 不同算法下的機動目標跟蹤RMMSE 對比圖

3.2.2 速度對比分析

針對BPF、1-Lag BPS、5-Lag BPS、PF、1-Lag PS、5-Lag PS 等算法的計算速度問題，本文選用CPU 為i7-6700，主頻為3.40 GHz，內存為8 GB 的計算機平臺作為試驗驗證平臺，利用MATLAB R2010a 軟件驗證了各算法的計算速度，具體各算法的運行時間如表4 所示?？梢钥吹?，1-Lag 平滑器在跟蹤精度方面表現(xiàn)出色，也不會帶來巨大計算量的問題。

從表4 中可以看出，5-Lag BPS 計算時間最長，1-Lag BPS 的計算時間比PF 的短，考慮到它們的跟蹤精度，可以得出結論：1-Lag BPS 綜合性能最好。

表4 不同算法計算時間對比表

4 結論

本文提出了一種基于區(qū)間分析和帶量化測量的箱形粒子遞歸的前向-后向平滑算法。它通過加入延遲觀測來提高跟蹤精度。傳統(tǒng)的粒子平滑器只關注粒子權重的更新，相比之下，本文所提出的箱粒子平滑器中的箱粒子會依據最新的觀測數(shù)據進行移動以接近目標狀態(tài)的高似然區(qū)域，從而進一步提高其性能。結果表明，在不增加太多計算量的情況下，計算精度得到了顯著提高。在未來的研究中，將更多的工作集中于在檢測前跟蹤(Track-before-detect,TBD)框架下研究BPS 的檢測特性，以進一步研究其探測特性。