劉吉柱，陳 壯，潘建國，潘明強，李凈凈

(1.蘇州大學 機電工程學院，江蘇 蘇州 215000；2.杰克中央研究院，浙江 杭州 310000)

許多工業(yè)設(shè)備和儀器，例如機器人關(guān)節(jié)和用于計算機視覺的攝像機驅(qū)動器，都需要在3-D工作空間中實現(xiàn)三自由度運動[1，2]。當前機器人多自由度運動系統(tǒng)由多個單自由度電機控制單元實現(xiàn)，其傳動系統(tǒng)復雜龐大，摩擦、齒側(cè)間隙等非線性因素不可避免地損害了動態(tài)性能和伺服跟蹤精度。因此，永磁球形同步電機(Permanent magnet spherical synchronous motor，PMSSM)受到了極大的關(guān)注，它可以在高精度和高扭矩的范圍內(nèi)進行多自由度運動(除了在其工作空間的邊界之外沒有奇點)，提高了精度和響應(yīng)速度[3，4]。

永磁球形同步電機是一種具有強軸間耦合的多變量非線性系統(tǒng)，靜態(tài)和動態(tài)性能較差，且由于非線性轉(zhuǎn)子動力學、復雜磁場和定向測量，設(shè)計球形電動機的控制系統(tǒng)特別困難[5]。傳統(tǒng)上，一些控制律已應(yīng)用于永磁球形同步電機的研究，如PID[6]，反步法[7]，開環(huán)解耦[8]等。與大多數(shù)運動系統(tǒng)一樣，永磁球形同步電機控制律的推導依賴于使用外部傳感系統(tǒng)獲得的方向反饋，而傳感系統(tǒng)中涉及的結(jié)構(gòu)和計算復雜性經(jīng)常限制永磁球形同步電機的控制性能[9]。球形電機采用開環(huán)控制，雖然實現(xiàn)了自轉(zhuǎn)與傾斜運動的解耦，但由于涉及系統(tǒng)識別和力/扭矩計算的許多不確定性而仍然存在困難，導致系統(tǒng)的穩(wěn)定性差[10，11]。

近年來，提出了許多先進的機電一體化和運動智能控制方法，包括模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂?Sliding mode control，SMC)和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[12-14]。利用模糊控制器提出了一種永磁球形同步電機動態(tài)解耦控制算法[15]，但存在諸如模型的估計誤差和外部擾動之類的不確定性，可能影響控制系統(tǒng)的精度。為了減少不確定性和干擾對跟蹤性能的影響，開發(fā)了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制器，但需要訓練神經(jīng)元以在應(yīng)用之前改善性能。魯棒控制通?？梢允褂霉潭ǚ桨缚刂破鱽砜朔淮_定性和非線性的影響，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性[16]，但它也缺乏瞬態(tài)性能。SMC是一種廣泛使用的控制方法，對系統(tǒng)不要求有精確的模型，具有算法簡單、抗干擾性能好等優(yōu)點，特別適用于不確定非線性控制對象[17]。提出的具有可變阻尼比的非線性滑?？刂品桨妇哂懈斓乃矐B(tài)響應(yīng)[18]，前饋補償減少了系統(tǒng)的抖動[19]，在速度環(huán)中引入連續(xù)滑?？刂萍夹g(shù)提高了系統(tǒng)的魯棒性[20]，但穩(wěn)態(tài)速度波動較大。

基于上述研究，本文對球形電機結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，針對球形電動機非線性多變量系統(tǒng)抗干擾能力差、抖振等問題，提出了一種指數(shù)趨近律＋終端(Terminal)滑?？刂品椒?。本控制策略在懸浮方向引入Terminal算法來改善動態(tài)響應(yīng)和抗干擾能力，并在旋轉(zhuǎn)方向結(jié)合指數(shù)趨近律函數(shù)來解決抖振問題，提高球形電機系統(tǒng)跟蹤能力。最后，基于TMS320F28335的球形電機樣機驅(qū)動系統(tǒng)，通過試驗證明所提出的滑模控制方法的有效性。

1 結(jié)構(gòu)

球形電機的結(jié)構(gòu)如圖1所示，根據(jù)球形電機關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，轉(zhuǎn)子的運行范圍僅受外殼的影響，可達到140°，電機轉(zhuǎn)子的直徑為100 mm，球轉(zhuǎn)子上的永磁體采用Halbach陣列磁體結(jié)構(gòu)，可獲得較理想的正弦磁場，減小齒槽轉(zhuǎn)矩，降低電機的電磁轉(zhuǎn)矩脈動。球轉(zhuǎn)子采用空心結(jié)構(gòu)。球形電機定子由4個定子模塊組成，每個定子模塊上均由4個電磁驅(qū)動模塊組成。

定子線圈的電流必須單獨控制，因為極間距在操作期間會連續(xù)變化。通電后各個電磁驅(qū)動模塊與永磁體兩兩作用產(chǎn)生互斥的力，電機轉(zhuǎn)子得以實現(xiàn)懸浮，同時各個電磁驅(qū)動部分和永磁體兩兩作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩?？赏ㄟ^改變通電策略，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的多自由度運動，在考慮負載和摩擦的情況下對這一永磁球形同步電機進行優(yōu)化，可實現(xiàn)最大輸出扭矩或最大加速度。

圖1 球形電機基本結(jié)構(gòu)

通過有限元仿真對球形電機相關(guān)參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，如表1所示。使用優(yōu)化的球形電動機進行仿真，單個定子模塊的轉(zhuǎn)矩為0.6 N·m，如圖2所示，則總轉(zhuǎn)矩為2.4 N·m。

表1 球形電機性能參數(shù)

圖2 球形電機單個電磁驅(qū)動模塊的轉(zhuǎn)矩仿真曲線

2 滑模控制方法

2.1 球形電機的動態(tài)模型

將球形電機電磁驅(qū)動模塊展開，并假設(shè)長度為無限長理想情況，根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，電機單個模塊在d-q軸上的電磁力方程為

式中:f x是單邊切向力，f y是單邊懸浮力，μ0是磁導率，并且假定μ0在電磁驅(qū)動模塊中各處都相等，M0是磁化強度，η0是繞組的繞組密度，而Nm是永磁體陣列極對數(shù)，e是自然常數(shù)，y0為氣隙高度，G為電機結(jié)構(gòu)常數(shù)且表達式為

式中:L是空間周期，Γ是定子繞組層的高度，Δ是永磁體的厚度，ω是電動機的角速度，根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化后參數(shù)可知每個執(zhí)行電機的參數(shù)K為10.4 N·A-1，γ1為196 m-1。

當球形電動機受到外力干擾時，為了控制球轉(zhuǎn)子到其原始平衡位置，可對應(yīng)控制每個定子驅(qū)動部分的電流以確保球形電機恢復平衡，靜態(tài)坐標系中的球形轉(zhuǎn)子關(guān)節(jié)可得

式中:Z是z軸方向上的位移分量，M是球轉(zhuǎn)子質(zhì)量與負載之和，f Lz是z軸方向上的外部干擾力，F(xiàn) z是靜態(tài)坐標系中z軸方向上的合力。整個定子驅(qū)動模塊等效于電磁驅(qū)動模塊，z軸方向上的懸浮微分方程為

式中:id是下部電磁驅(qū)動模塊的輸入電流之差，i0是穩(wěn)定懸浮在3mm的電流，定義，h=

則在平衡狀態(tài)下，數(shù)學模型分析如下

2.2 基于Terminal滑模控制算法

設(shè)R1=ξr-ξ，R2=?R1，ξr是給定輸入位置，ξ是實際反饋位置，那么球形電機驅(qū)動單元的位置誤差狀態(tài)方程可表示成

式中:η＞0，k＞tf L，同理根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

可得懸浮方向基于Terminal滑模滿足穩(wěn)定性條件。設(shè)定球轉(zhuǎn)子位于z軸上，通過Simulink/MATLAB位置環(huán)模型分析，球形電機懸浮響應(yīng)曲線如圖3所示。球形電機在0.15 s左右的時候達到平衡狀態(tài)，當在2 s左右給定電機0.05 N擾動時，經(jīng)過0.14 s再次達到平衡狀態(tài)，可快速實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

圖3 懸浮響應(yīng)曲線

2.3 基于指數(shù)趨近律滑?？刂扑惴?速度環(huán)

設(shè)ω*為給定機械角速度，上文ω為實際機械角速度，，則

則機器人關(guān)節(jié)球形電機定子電磁驅(qū)動模塊角速度誤差方程為

設(shè)計速度環(huán)滑模切換函數(shù)，選用線性切換面

基于指數(shù)趨近律

得出基于指數(shù)趨近律的控制律為

式中:ueq是控制系統(tǒng)里可確定部分，uvs是控制系統(tǒng)里不可確定部分。根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)

所以此電磁驅(qū)動模塊在指數(shù)趨近律滑模作用下是穩(wěn)定的。

球形電磁電動機定子驅(qū)動模塊的速度環(huán)仿真系統(tǒng)是在Simulink/MATLAB中構(gòu)建的。如圖4所示，將所提出的SMC方法的速度控制性能與常規(guī)SMC方法進行了比較。仿真結(jié)果表明，所提出的SMC算法具有較好的抗抖振性能，速度響應(yīng)快且無超調(diào)現(xiàn)象。

圖4 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下球形電機的速度曲線圖

所提出的滑?？刂品椒ê统Ｒ?guī)滑?？刂品椒ㄏ碌乃俣刃拚到y(tǒng)通過MATLAB R2016a進行了仿真，球形電機修正系統(tǒng)的動態(tài)電流響應(yīng)曲線如圖5所示?；谥笖?shù)趨近律的參數(shù)為C=2，k=75，σ=2，這兩個電流環(huán)采用PI經(jīng)典控制策略。

圖5 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下PMSSM的電流曲線

2.4 基于指數(shù)趨近律滑?？刂扑惴?位置環(huán)

式中:pr為位置環(huán)給定輸入，p為位置環(huán)反饋實際位置，則定義位置環(huán)滑模面

則控制律表達式為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性可知

式中:滿足ε＞0，k＞0，因此＜0成立。經(jīng)Simulink/MATLAB仿真分析，空載時，常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下位置響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法在無負載下的PMSSM位置曲線

當給定擾動負載0.05 N時，常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下位置響應(yīng)曲線如圖7所示。通過對比可知，所提出的SMC方法下的位置伺服系統(tǒng)跟蹤性能較好，且無超調(diào)，加載時相比常規(guī)SMC方法，位置跟蹤誤差小且調(diào)整能力好，不存在震蕩現(xiàn)象。

圖7 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法在有負載擾動下的PMSSM位置曲線

在空載和負載條件下常規(guī)SMC方法和所提出的SMC方法球形電機電流響應(yīng)的仿真曲線如圖8所示。

圖8 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下PMSSM電流曲線

控制參數(shù)為c2=4，ε=10，k=20。給定位置為30°，擾動負載為0.05 N。在動態(tài)過程中，與常規(guī)滑?？刂品椒ㄏ啾?，所提出的SMC方法響應(yīng)速度最快，且超調(diào)最小。因此，所提出的滑?？刂品椒ň哂懈玫膭討B(tài)跟蹤特性。

3 試驗

當球形電機旋轉(zhuǎn)一定角度時，以繞z軸為例，試驗中需要使用性能較好的激光位移傳感器實時跟蹤記錄轉(zhuǎn)過的角度。本文采用的激光位移傳感器型號是LDS-P-50，0.5μm的分辨率，2.5μm的重復定位精度，最大采樣頻率可以達到2 kHz，測量范圍為50 mm。

基于TMS320F28335主控芯片，試驗平臺如圖9所示，整個系統(tǒng)搭建主要包括所設(shè)計的球形電機(試驗中結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的球形電機參數(shù)如表2所示)、DSP28335控制板、功率驅(qū)動板、電源等。通過單個DSP控制板控制兩個功率驅(qū)動板輸出多路PWM信號從而控制定子的電磁驅(qū)動模塊進行同步控制。在球轉(zhuǎn)子輸出軸上清晰標記一點，激光位移傳感器實時跟蹤記錄標記的位置，通過計算變換將得到的位置信息轉(zhuǎn)換為實時繞z軸轉(zhuǎn)動的角度。當給定繞z軸旋轉(zhuǎn)角度為30°時，基于本文所提出的SMC方法的位置響應(yīng)如圖10所示。

圖9 試驗平臺

表2 電機參數(shù)

圖10 基于所提出的SMC方法下的角度位置曲線圖

從圖10可以看出，球轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動30°的階躍響應(yīng)起始時間為674 ms，經(jīng)過278 ms左右調(diào)整時間電機穩(wěn)定到給定旋轉(zhuǎn)角度30°處且超調(diào)量較小為0.4%，整個過程持續(xù)到952 ms，通過位置信息轉(zhuǎn)換得到最大跟蹤誤差為0.12°，如圖11所示。

圖11 基于所提出的SMC方法下的位置跟蹤誤差曲線圖

通過與常規(guī)滑模控制方法進行試驗對比，驗證了針對永磁球形同步電機所提出的控制算法，如圖12、13和14所示，球轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動30°的階躍響應(yīng)起始時間為873 ms，經(jīng)過約398 ms調(diào)整時間電機穩(wěn)定到給定旋轉(zhuǎn)角度30°處且超調(diào)量較大為1.17%左右，整個過程持續(xù)到1 271 ms，同時得到最大跟蹤誤差為0.35°且波動范圍較大。因此本文提出的滑模控制方法能讓永磁球形同步電機具有較好的動態(tài)特性。

圖12 基于常規(guī)SMC方法下的角度位置曲線圖

圖13 基于常規(guī)SMC方法下的位置跟蹤誤差曲線圖

圖14 常規(guī)SMC和所提出的SMC方法下PMSSM電流曲線

4 結(jié)束語

本文針對機器人一體化球形電機關(guān)節(jié)的多自由度高速高動態(tài)控制，提出了一種指數(shù)趨近律＋Terminal滑?？刂品椒?。通過分析可知，相比常規(guī)滑?？刂疲岢龅幕？刂品椒☉腋№憫?yīng)快，抗抖振性能好，速度響應(yīng)快且無超調(diào)，位置跟蹤性能較好且穩(wěn)態(tài)誤差較小。試驗結(jié)果驗證了此方法改善了機器人關(guān)節(jié)球形電機高動態(tài)特性，提高了抗干擾能力。本文所建立的動力學模型是在一定的理想條件情況下，動力學模型存在一定誤差，旋轉(zhuǎn)方向和懸浮方向的耦合現(xiàn)象不能完全根除，因此還需要進一步研究解耦模型的建立，使模型更加準確。