羅國(guó)忠

(忻州師范學(xué)院物理系,山西 忻州 034000)

0 引言

低維介觀體系的電子輸運(yùn)是當(dāng)前介觀物理理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。對(duì)于二終端介觀體系電子裝置的電子輸運(yùn)性質(zhì)問題,文獻(xiàn)[1-4]提出:在自旋簡(jiǎn)并的情況下,電導(dǎo)G=(2e2/h)T,其中T是透射率。計(jì)算T的方法有傳輸矩陣方法[5-8]、非平衡格林函數(shù)等方法[9-14]。

利用低維介觀體系基于實(shí)空間格點(diǎn)的量子點(diǎn)陣列的傳輸矩陣方法是獲得透射率的重要途徑之一。關(guān)于處理基于緊束縛模型實(shí)空間格點(diǎn)量子點(diǎn)陣列的波透射系數(shù)的傳輸矩陣方法,在文獻(xiàn)[14,15]中都曾應(yīng)用過,此方法適用于多終端系統(tǒng)低維介觀體系。文獻(xiàn)[8]研究了一維量子點(diǎn)超晶格的電子透射性質(zhì)。文獻(xiàn)[9]研究了一個(gè)量子點(diǎn)中電子透射的相變性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]研究了連接兩個(gè)一維電極的散射體的透射振幅相和Frieled相。文獻(xiàn)[11]研究了連接電子庫的有限長(zhǎng)Hubbard量子鏈的輸運(yùn)。文獻(xiàn)[12]研究了連接左右單通道電極的具有兩個(gè)電子的雙量子點(diǎn)電子透射的性質(zhì)。文獻(xiàn)[13]研究了InN量子點(diǎn)中AlGaN/GaN異質(zhì)結(jié)構(gòu)的負(fù)微分電容和能量色散關(guān)系。文獻(xiàn)[14,15]研究了二維H型和T型多終端量子點(diǎn)陣列的電子輸運(yùn)。本文基于文獻(xiàn)[14,15]中的方法,提出了四終端二維十字型量子點(diǎn)陣列體系,并研究其電子傳輸。

1 一維量子點(diǎn)陣列體系與其電子透射系數(shù)傳輸矩陣方法

一維二終端量子點(diǎn)陣列體系模型是在一維二終端量子點(diǎn)陣列的兩端放置理想金屬導(dǎo)線來代表電極。用格點(diǎn)來表示一維二終端體系上量子點(diǎn)所在位置,不同的一維介觀體系的電極也格點(diǎn)化。電極上格點(diǎn)標(biāo)記為 -∞,···,-(NL+2),-(NL+1)和 (NR+1),(NR+2),···,+∞,量子點(diǎn)陣列上格點(diǎn)標(biāo)記為-NL,···,-1,0,1,2,···,NR-1,NR。系統(tǒng)的哈密頓為

哈密頓的本征方程為

本征解為

哈密頓方程(2)式可寫為

所研究系統(tǒng)兩個(gè)不同理想導(dǎo)線區(qū)域的本征函數(shù)為

其中不同理想導(dǎo)線的波函數(shù)的系數(shù)關(guān)系為

式中

通過散射矩陣法可以得到二終端系統(tǒng)的透射率

式中υR和υL分別是一維量子點(diǎn)陣列左右兩端金屬導(dǎo)線中電子的速度。

2 十字型四終端量子點(diǎn)陣列的電子輸運(yùn)

由四根導(dǎo)線連接到一個(gè)十字型的非均勻區(qū)域來構(gòu)造十字型四終端系統(tǒng)。十字型四終端量子點(diǎn)陣列是通過量子點(diǎn)組成的,可以用一個(gè)格點(diǎn)來替代一個(gè)量子點(diǎn),標(biāo)記為(i,j),其中i,j為整數(shù)。如圖1所示,量子點(diǎn)陣列的交叉點(diǎn)標(biāo)記為(0,0),水平量子點(diǎn)陣列的坐標(biāo)為(-NL,0),(-NL+1,0),···,(NR-1,0),(NR,0);豎直量子點(diǎn)陣列的坐標(biāo)為 (0,-ND),(0,-ND+1),···,(0,-1)和 (0,1),···,(0,NU-1),(0,NU)。對(duì)半無限長(zhǎng)的導(dǎo)線分別連接在水平量子點(diǎn)陣列左側(cè)和右側(cè),坐標(biāo)為(n,0),其中n≥NR,n≤-NL。系統(tǒng)的左側(cè)量子點(diǎn)位置n=-NL和右側(cè)位置n=NR時(shí)躍遷積分分別為tn=νL和tn=νR,NL和NR分別代表水平量子點(diǎn)陣列左側(cè)和右側(cè)的量子點(diǎn)數(shù)目。另一對(duì)半無限長(zhǎng)的導(dǎo)線分別連接在豎直量子點(diǎn)陣列上側(cè)和下側(cè),坐標(biāo)為(0,n),且-ND≤n≤NU,其中系統(tǒng)的上側(cè)n=NU和下側(cè)n=-ND時(shí)躍遷積分分別為tn=νU和tn=νD,同理NU和ND分別為豎直量子點(diǎn)陣列上側(cè)和下側(cè)的量子點(diǎn)數(shù)目。

圖1 十字形四終端量子點(diǎn)陣列晶格模型Fig.1 Lattice model of a cross-shaped quantum dot array for the four-terminal,quantum-confined system

十字型量子點(diǎn)陣列的哈密頓為

式中

再次考慮從左邊注入電子的情況時(shí),其哈密頓的本征解為

不同終端區(qū)域的波函數(shù)為

當(dāng)AL=1,且

時(shí),首先推導(dǎo)傳輸公式T21,它被定義為電子從左向右傳輸?shù)母怕?。為了推?dǎo)出T21的公式,需要將四終端系統(tǒng)的薛定諤方程與方程(9)中的哈密頓量轉(zhuǎn)變?yōu)槎K端系統(tǒng)的薛定諤方程和二終端的哈密頓。

將方程(11)代入原四終端系統(tǒng)的薛定諤方程中,并且通過消去系數(shù)的方法來解方程,當(dāng)n≠0時(shí),可以得出結(jié)果為

其中

式中∑D(E)是下端自能,GD(E)為下端格林函數(shù),∑U(E)為上端自能,GU(E)為上端格林函數(shù)。

對(duì)于十字型量子點(diǎn)陣列,取量子點(diǎn)陣列任意一端為輸入端,則其余端為輸出端。如圖1所示,用j=1表示輸入端,則i=2,3,4表示該體系的輸出端,tij表示從j端入射電子而從i端輸出電子的透射率,其中i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,并且i≠j。在tij的記號(hào)中,i,j=1時(shí)代表左側(cè)導(dǎo)線;i,j=2時(shí)代表右側(cè)導(dǎo)線;i,j=3時(shí)代表上側(cè)導(dǎo)線;i,j=4時(shí)代表下側(cè)導(dǎo)線。

反射率為rii,其中i=2,3,4。這些參數(shù)可以通過上述方法獲得,用于計(jì)算透射率t21,t31,t41和反射率rii。此外,得到了四終端系統(tǒng)足夠數(shù)量的散射參數(shù),在沒有磁場(chǎng)并且電流守恒的情況下,利用空間反轉(zhuǎn)對(duì)稱性t=t,也可以去掉剩余的散射參數(shù)。

根據(jù)方程組(8)計(jì)算四終端系統(tǒng)的透射率t21,即

四終端系統(tǒng)中的透射率t31和透射率t41也可以用類似的方法計(jì)算,分別表示為

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與討論

這里的約束結(jié)構(gòu)是一個(gè)有限的十字型非均勻區(qū)域。

1)對(duì)于一個(gè)有限的二維十字型四終端量子點(diǎn)陣列體系,假設(shè)相對(duì)于原點(diǎn)的左右兩側(cè)量子點(diǎn)數(shù)相等,上下兩側(cè)量子點(diǎn)數(shù)也相等,量子點(diǎn)陣列與兩側(cè)電極之間的耦合常數(shù)υR、υL、υU和υD相同,量子點(diǎn)陣列左右兩側(cè)電極中電子的速度υR=υL,Nu=NR=Nl=Nd=6,kL=kR=5,t=100,導(dǎo)線的格點(diǎn)能εn=2t,參數(shù)a=90,εL=εR=εU=εD=2t,則理想電極1中的電子透射到電極2時(shí),透射率如圖2所示;參數(shù)a=50時(shí),從理想電極1中的電子入射再到電極2出射時(shí)的透射率如圖3所示;參數(shù)a=40時(shí),電子從理想電極1→2透射時(shí)透射率示意圖如圖4。

圖2 由24個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=90,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.2 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=90,Nu=NR=Nl=Nd=6

圖3 由24個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=50,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.3 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=50,Nu=NR=Nl=Nd=6

由圖2～4可見,十字型量子點(diǎn)陣列中的1、2電極兩端對(duì)稱時(shí),量子點(diǎn)數(shù)隨著參數(shù)a的減小,在參數(shù)t不變的情況下,中間透射率連續(xù)為1的平緩處向左移動(dòng)到能量坐標(biāo)較小的地方,而透射率t21變成0的能量保持不變。能量在4t時(shí)透射率突然迅速變?yōu)?。尖峰個(gè)數(shù)與水平量子點(diǎn)陣列中量子點(diǎn)個(gè)數(shù)相等。

圖4 由24個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=40,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.4 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=40,Nu=NR=Nl=Nd=6

2)在1)條件的基礎(chǔ)上,a=100不變,改變參數(shù)t。當(dāng)t=40時(shí)電子從理想電極1→2透射時(shí)的透射率如圖5所示,t=30時(shí)電子從理想電極1→2透射時(shí)透射率如圖6所示。

圖5 由24個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=40,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.5 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=40,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6

圖6 由24個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=30,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.6 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=30,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6

由圖5、6可見十字型量子點(diǎn)陣列中1、2電極端的量子點(diǎn)數(shù)對(duì)稱時(shí),在參數(shù)a不變的情況下,躍遷積分t改變,圖形形狀保持不變,尖峰個(gè)數(shù)也不變,但隨著t的減小,透射率變?yōu)?的能量發(fā)生改變,且尖峰變密。透射變?yōu)?時(shí),能量仍然是在4t值。

1)和2)的研究結(jié)果表明隨著能量的逐漸增大,大概在4t時(shí),透射率逐漸地變成了0。這表明在系統(tǒng)中,由于量子點(diǎn)單電子隧穿的特性,當(dāng)能量大于極限值時(shí)電子數(shù)量過多,達(dá)到某個(gè)數(shù)量就會(huì)造成庫侖阻塞,所以透射率慢慢地變成了0。

3)對(duì)于一個(gè)有限的二維十字型四終端且相對(duì)于原點(diǎn)上下和左右量子點(diǎn)數(shù)不相等的量子體系,假設(shè)耦合常數(shù)υR、υL、υU和υD仍然相同,理想金屬導(dǎo)線中的電子速度仍然相同,取Nu=6,ND=6,NR=2,Nl=3,kL=5,kR=5,a=0.1,t=50,導(dǎo)線的格點(diǎn)能εn=2t,εL=εR=εU=2t,電子從理想電極1透射到電極2時(shí),透射率情況如圖7;參數(shù)NR=3,Nl=4時(shí),其他參數(shù)不變時(shí),電子的透射率如圖8所示。

圖7 由17個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=50,a=0.1,Nu=6,Nd=6,NR=2,Nl=3Fig.7 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross shaped quantum dot array composed of 17 quantum dots,where the parameter is t=50,a=0.1,Nu=6,Nd=6,NR=2,Nl=3

圖8 由19個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=50,a=0.1,NR=3,Nl=4,Nu=6,Nd=6Fig.8 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 17 quantum dots,where the parameter is t=50,a=0.1,NR=3,Nl=4,Nu=6,Nd=6

由圖7、8可見,對(duì)于十字型量子限制系統(tǒng)中量子點(diǎn)陣列中的電極1和電極2量子點(diǎn)數(shù)目發(fā)生改變而其他參數(shù)不改變的情況下,在左側(cè)和右側(cè)量子點(diǎn)數(shù)目之和為5時(shí),尖峰個(gè)數(shù)為5;左側(cè)和右側(cè)量子點(diǎn)數(shù)目之和為7時(shí),尖峰個(gè)數(shù)為7,這與T型三終端圖形的情況[15]不同,說明圖形尖峰個(gè)數(shù)與量子點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。

4)NR=3,Nl=4,kL=20,kR=20,υR= υL=0.5,導(dǎo)線的格點(diǎn)能 εn=50,εL= εR= εU=2t,參數(shù)a=10,電子從理想電極1→2透射時(shí),透射率如圖9所示。由圖9可見,透射率突變?yōu)?時(shí),躍遷積分t越大,入射能量越大。

圖9 由19個(gè)量子點(diǎn)組成的十字形量子點(diǎn)陣列的電極1到電極2的電子透射率隨能量和躍遷積分變化圖,其中參數(shù)為a=10,Nu=6,Nd=6,NR=3,Nl=4Fig.9 Variation of electron transmission probability from electrode 1 to electrode 2 with energy and hop integral in a cross shaped quantum dot array composed of 19 quantum dots,where the parameter is a=10,Nu=6,Nd=6,NR=3,Nl=4

比較文獻(xiàn)[14]中二維H型四終端量子點(diǎn)陣列的量子輸運(yùn)和文獻(xiàn)[15]中二維T型三終端量子點(diǎn)陣列的量子輸運(yùn),由前述可知,電子由1透射到2時(shí),其透射率的大小同電子由1透射到其他端時(shí)是一樣的。對(duì)于四終端的H型和十字型,不論躍遷積分如何變化,透射率都幾乎不變。對(duì)于三終端的T型,不論量子點(diǎn)寬度如何變化,透射率都幾乎不變,說明具有空間反轉(zhuǎn)對(duì)稱的量子點(diǎn)陣列體系其電子透射率與躍遷積分無關(guān),而不具有空間反轉(zhuǎn)對(duì)稱的量子點(diǎn)陣列體系其電子透射率與量子點(diǎn)寬度無關(guān)。

十字型四終端量子點(diǎn)陣列系統(tǒng)中的各種傳輸概率,即透射率,是電子能量的函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)中所有的能量是2t,而系統(tǒng)中的能量是系統(tǒng)中所有晶格點(diǎn)上的可裂變能。與二終端系統(tǒng)一樣,四終端系統(tǒng)的透射率和反射率表現(xiàn)出了不相同的高峰和低谷?？偟膩碚f,四終端、三終端和二終端量子點(diǎn)陣列系統(tǒng)有不同的性質(zhì)。

4 結(jié)論

基于一維二終端介觀量子點(diǎn)陣列體系輸運(yùn)的方法,提出了十字型體系。利用傳輸矩陣方法計(jì)算了十字型四終端任意兩端中電子從輸入端到輸出端的透射率。通過透射率的計(jì)算比較了透射率與躍遷積分、透射率與左右兩側(cè)量子點(diǎn)數(shù)目之和的關(guān)系,結(jié)果表明圖像尖峰數(shù)與量子點(diǎn)陣列體系中的量子點(diǎn)點(diǎn)數(shù)相關(guān)。比較了H型四終端、T型三終端和十字型四終端量子點(diǎn)陣列模型的量子輸運(yùn)問題。對(duì)于二終端、三終端和四終端系統(tǒng)電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論研究結(jié)果,也可以運(yùn)用到其他復(fù)雜的多終端系統(tǒng)中和有限偏置下低維介觀體系的量子輸運(yùn)。研究表明,三終端系統(tǒng)和四終端系統(tǒng)也可以與二終端系統(tǒng)一樣計(jì)算出透射概率,表現(xiàn)出了規(guī)則的共振狀態(tài)。此外,通過有限區(qū)域晶格點(diǎn)上的部分狀態(tài)密度的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)多終端系統(tǒng)的透射光譜和反射光譜的復(fù)雜性是因?yàn)橄到y(tǒng)中的受限狀態(tài)被局限于不同的受限區(qū)域,從而影響著不同系統(tǒng)的透射概率和反射概率。