韓修靜 黃啟旭 丁牧川 畢勤勝

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

引言

諧波齒輪減速器是為了適應(yīng)航天器的發(fā)展而發(fā)明的一種新型傳動(dòng)裝置.由于它具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、噪聲低、傳動(dòng)效率高、精度高等諸多優(yōu)點(diǎn),因而被廣泛應(yīng)用于航空航天、工業(yè)仿生以及軍事等領(lǐng)域[1-3].由于諧波齒輪其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),系統(tǒng)受到了諸多非線性因素的作用,例如扭轉(zhuǎn)剛度、摩擦、運(yùn)動(dòng)誤差、傳動(dòng)遲滯等[4-6],其作用載荷具有多源和多路徑的特征[7-8].這使得系統(tǒng)產(chǎn)生了復(fù)雜的振蕩響應(yīng),嚴(yán)重地影響了系統(tǒng)的正常工作[9-10].圍繞諧波齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題,如動(dòng)力學(xué)建模[11-13]、非線性因素的刻畫與表達(dá)[14-16]、動(dòng)力學(xué)特性分析[17-19]、振動(dòng)與控制[20-22]等,學(xué)者們開展了深入研究,取得了豐富的研究成果.

然而,關(guān)于諧波齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題,相關(guān)研究主要集中在同一時(shí)間尺度下的情形;對(duì)于不同尺度耦合作用下的快慢動(dòng)力學(xué),相關(guān)研究鮮有報(bào)道.注意到,在諧波齒輪減速器系統(tǒng)中,輸入端(含波發(fā)生器)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常要比負(fù)載端(含柔輪或剛輪) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量低2～3 個(gè)量級(jí)[23-24].因此,諧波齒輪系統(tǒng)是一個(gè)典型的快慢系統(tǒng),它涉及快慢兩種振蕩尺度之間的耦合作用,而這會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致快慢振蕩的產(chǎn)生[25].事實(shí)上,在諧波齒輪減速器系統(tǒng)中,可以經(jīng)常觀測(cè)到快慢振蕩現(xiàn)象.例如,Taghirad 和Bélanger[26-27]研究發(fā)現(xiàn),低轉(zhuǎn)速下的諧波齒輪系統(tǒng)能夠產(chǎn)生明顯的快慢振蕩.隨后,發(fā)現(xiàn)了類似的快慢振蕩,指出這種振蕩可能與扭矩波動(dòng)有關(guān).特別地,在由諧波齒輪驅(qū)動(dòng)的諸如機(jī)械手、機(jī)械臂等裝置中,可以觀測(cè)到類似的快慢振蕩[28-30].然而,由于諧波齒輪系統(tǒng)的復(fù)雜性,關(guān)于快慢振蕩的研究,主要集中在現(xiàn)象報(bào)道上,而很少涉及動(dòng)力學(xué)機(jī)理方面的研究.

本文考慮涉及扭轉(zhuǎn)剛度非線性因素的諧波齒輪系統(tǒng),旨在揭示系統(tǒng)中的快慢振蕩及其動(dòng)力學(xué)機(jī)制.當(dāng)擾動(dòng)力矩的頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),即當(dāng)擾動(dòng)力矩的頻率和系統(tǒng)的固有頻率之間存在量級(jí)差異時(shí),可以觀測(cè)到快慢振蕩如圖1 所示.特別地,這種快慢振蕩其形式與之前的有關(guān)報(bào)道[31]非常相似.然而,研究表明,這里的快慢振蕩與平衡點(diǎn)曲線在局部小范圍內(nèi)發(fā)生的急劇量變有關(guān),其特征是平衡點(diǎn)在局部小范圍內(nèi)可以在正坐標(biāo)值與負(fù)坐標(biāo)值之間快速轉(zhuǎn)遷.這是一種不同于以往所報(bào)道的新型動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

圖1 諧波齒輪系統(tǒng)從(a)～(c)常規(guī)振蕩模式向(d)～(f)快慢振蕩模式轉(zhuǎn)遷Fig.1 A transition of the harmonic gear system from (a)～(c) normal oscillation modes to (d)～(f) fast-slow oscillation modes

1 模型和快慢振蕩

考慮剛輪固定,柔輪作為輸出輪時(shí)的諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng).根據(jù)諧波傳動(dòng)原理,可得系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型[11],如圖2 所示.在圖2 中,Ji和Jo分別是輸入端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,θi和 θo分別是電機(jī)輸入端角位移和負(fù)載端輸出角位移,Tim是輸入軸的靜態(tài)平均力矩,Tom是諧波齒輪柔輪輸出力矩,N是減速比,K(θ) 是非線性扭轉(zhuǎn)剛度,Ceq是系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù).

圖2 諧波齒輪系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型[11]Fig.2 Simplified model of the harmonic gear system[11]

根據(jù)諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)關(guān)系,可得如下的運(yùn)動(dòng)微分方程

諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的摩擦行為十分復(fù)雜,為了便于分析,這里采用文獻(xiàn)[20]給出的等效阻尼系數(shù)Ceq來(lái)近似刻畫系統(tǒng)中的摩擦因素,即

非線性剛度K(θ) 是系統(tǒng)重要的非線性因素,其貢獻(xiàn)不僅有齒輪嚙合部分,還包括柔性軸承部分.本文采用文獻(xiàn)[6]給出的非線性剛度形式,其兼具了上述兩個(gè)部分對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的影響,即

其中,k1和k2是扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù),θ=θo-θi/N是相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(θi,θo和N的含義同前).

在系統(tǒng)(1)中,f(θ) 是諧波齒輪單向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的間隙空程[20],即

其中,θ 的含義同前,φ 是尺側(cè)間隙空程.

本文假定諧波齒輪柔輪輸出力矩Tom受到周期慢擾動(dòng)的影響,可以表示為Tom=Tfs+Tamsin(ωt) 的形式[25],其中Tfs=Tim,0 ＜ω ?1 .不妨記于是,原四維非線性系統(tǒng)(1)可以簡(jiǎn)化成二維非線性系統(tǒng)(5)

將方程(5)進(jìn)行無(wú)量綱化,可得

取定系統(tǒng)參數(shù)Tm=10 N·m,Tam=15 N·m[25],其他參數(shù)由表1[11]給出.此時(shí),系統(tǒng)(6)的無(wú)量綱參數(shù)分別是 α=16,γ=30,ε=0.71,μ=0.07,δ=15 .數(shù)值模擬表明,當(dāng)擾動(dòng)力矩緩慢地(例如,ω=0.01)周期變化時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生了普通的周期響應(yīng),見圖1(a).然而,如圖1 所示,隨著參數(shù) γ 的不斷減小,系統(tǒng)逐漸演化為快慢振蕩,其特征是在時(shí)間序列中周期地出現(xiàn)了“脈沖”形的大振幅振蕩(例如,見圖1(f)).從形式上來(lái)看,這種快慢振蕩與文獻(xiàn)[31]所報(bào)道的振蕩模式非常相似.將在本文的第4 部分揭示其產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

表1 系統(tǒng)參數(shù)[11]Table 1 System parameters[11]

2 快慢分析法

為了揭示圖1 中的快慢振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)理,本部分對(duì)快慢系統(tǒng)的定性分析方法,即快慢分析法[32],作簡(jiǎn)要論述.

一般地,快慢振蕩可由以下形式的快慢系統(tǒng)加以描述

其中,ε ?1 是快慢時(shí)間尺度的比率,x∈Rm是快變量,y∈Rn是慢變量.快慢振蕩是一種特殊的振蕩模式,需采用特殊的分析方法加以研究.Rinzel[32]提出的快慢分析法是揭示快慢振蕩動(dòng)力學(xué)機(jī)理的經(jīng)典方法,其基本思想是將快子系統(tǒng)(7)與慢子系統(tǒng)(8)分開討論.快子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為由慢變量加以調(diào)控:快子系統(tǒng)可以處于不同的運(yùn)動(dòng)態(tài),這由慢變量的值決定.將快慢系統(tǒng)的相圖與快子系統(tǒng)的分岔圖(其中,慢變量視為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù))進(jìn)行疊加,進(jìn)而可以解釋快慢振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)理.

3 快子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

注意到本文關(guān)注的情形是擾動(dòng)激勵(lì)緩慢地變化,且其頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率.因此,根據(jù)文獻(xiàn)[33],可將系統(tǒng)(6)視為一個(gè)快慢系統(tǒng):慢變量是sin(ωt),快子系統(tǒng)是

其中a=sin(ωt) 是控制參數(shù).為了便于分析,本文將α,μ,ε,δ 的取值固定(與圖1 中的取值相同),僅將γ和a視為系統(tǒng)參數(shù).

顯然,快子系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)可以寫成E=(x,0),其中x由方程

的實(shí)根決定.方程(10)的根的判別式為

其中q=-(γε+μ+δa) .顯然,系統(tǒng)其他參數(shù)固定,當(dāng),即當(dāng)時(shí),判別式 Δ ＞0 恒成立,系統(tǒng)(9)僅存在一個(gè)平衡點(diǎn)E.進(jìn)一步的分析表明:平衡點(diǎn)E是穩(wěn)定的焦點(diǎn).

基于上述分析,下面探討平衡點(diǎn)E的動(dòng)力學(xué)特性.圖3(a)給出了不同參數(shù)值 γ 下的平衡點(diǎn)曲線.可以發(fā)現(xiàn),隨著 γ 的數(shù)值不斷減小,原先較為平緩的平衡點(diǎn)曲線發(fā)生了連續(xù)的彎折變形.特別地,在參數(shù)a=0附近,平衡點(diǎn)曲線變得陡峭,其特征是平衡點(diǎn)坐標(biāo)可在正值與負(fù)值之間迅速轉(zhuǎn)遷;其陡峭程度隨著γ的數(shù)值遞減而逐漸加劇.圖3(b)給出了不同參數(shù)值γ下的平衡點(diǎn)曲線的變化率,這進(jìn)一步證實(shí)了系統(tǒng)在參數(shù)a=0 附近發(fā)生的急劇變化.

圖3 平衡點(diǎn)E 的動(dòng)力學(xué)特性Fig.3 Dynamical characteristic of the equilibrium E

4 快慢振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)理

前一部分揭示了快子系統(tǒng)在參數(shù)a=0 附近的動(dòng)力學(xué)特性.在此基礎(chǔ)上,本部分探討快慢振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

如前所述,當(dāng) γ 不斷減小時(shí)(可通過改變扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)),平衡點(diǎn)曲線將在a=0 附近發(fā)生急劇量變.如圖4 所示,這種急劇量變的動(dòng)力學(xué)特性,形成了一個(gè)狹小的“激發(fā)態(tài)區(qū)域”(spiking area).當(dāng)參數(shù)取在“激發(fā)態(tài)區(qū)域”時(shí),系統(tǒng)將發(fā)生急劇轉(zhuǎn)遷.在“激發(fā)態(tài)區(qū)域”的左右兩側(cè),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性較為溫和,由此形成了兩個(gè)“沉寂態(tài)區(qū)域(quiescent area)”.

圖4 (示意圖)系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)區(qū)域(黃色)和沉寂態(tài)區(qū)域(灰色)Fig.4 (Illustrative diagram) Spiking area (yellow) and quiescent area (gray)

當(dāng)慢變量 s in(ωt) 被接入系統(tǒng)時(shí),s in(ωt) 周期地緩慢穿越“激發(fā)態(tài)區(qū)域”和“沉寂態(tài)區(qū)域”.這導(dǎo)致系統(tǒng)在“快速轉(zhuǎn)遷”和“慢速演化”中不斷交替,例如見圖5(a1),圖5(a2),進(jìn)而形成了所謂的快慢振蕩.特別地,如圖3 所示,當(dāng) γ 不斷減小時(shí),“激發(fā)態(tài)區(qū)域”中的量變行為越來(lái)越劇烈.這導(dǎo)致系統(tǒng)的快慢振蕩特征愈發(fā)顯著,例如見圖1(d)～圖1(f).

另一方面,當(dāng) γ 較大時(shí)(例如 γ=30),平衡點(diǎn)曲線沒有形成“激發(fā)態(tài)區(qū)域”.此時(shí),系統(tǒng)隨著平衡點(diǎn)曲線一直“緩慢”地演化,而沒有“快速轉(zhuǎn)遷”現(xiàn)象的發(fā)生,例如可見圖5 (b1).因此此時(shí)無(wú)法產(chǎn)生快慢振蕩,只形成了較為常規(guī)的振蕩模式,例如見圖5 (b2).

注意到在本文的研究中,所涉及的兩個(gè)沉寂態(tài)區(qū)域中的吸引子均是平衡點(diǎn),因此以圖5(a1)和圖5(a2)為代表的快慢振蕩,其本質(zhì)上屬于“點(diǎn)-點(diǎn)”型.需要指出的是,“點(diǎn)-點(diǎn)”型快慢振蕩是一種較為常見的振蕩模式.在以往的研究中,“點(diǎn)-點(diǎn)”型快慢振蕩通常與折(fold)分岔[34]和亞臨界Hopf 分岔[35]有關(guān).此外,延遲分岔(delayed bifurcations)[36]等因素也可以誘發(fā)“點(diǎn)-點(diǎn)”型快慢振蕩.然而,本文中的“點(diǎn)-點(diǎn)”型快慢振蕩不是由具體的某種分岔所引起的,而是由平衡點(diǎn)曲線的急劇量變所誘發(fā).

圖5 典型振蕩行為的動(dòng)力學(xué)分析Fig.5 Dynamical analysis of the typical oscillation modes

最后指出,脈沖式爆炸[37]和吸引子的極速逃逸[38]等因素是已知的可以誘發(fā)快慢振蕩的其他急劇量變行為.然而,脈沖式爆炸的特征是,在平衡點(diǎn)曲線上形成了“脈沖”型的尖峰;而吸引子的極速逃逸的特征是,平衡點(diǎn)在某點(diǎn)附近迅速趨于無(wú)窮大.這些均與本文報(bào)道的急劇量變行為不同.綜上所述,本文揭示的快慢振蕩的誘發(fā)機(jī)制,是未曾報(bào)道過的新型動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

5 結(jié)論

快慢振蕩普遍存在于諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng);探討快慢振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)理問題具有重要意義.本文研究涉及扭轉(zhuǎn)剛度非線性因素的諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的快慢動(dòng)力學(xué),揭示誘發(fā)快慢振蕩的新機(jī)制.研究表明,當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)不斷減小時(shí),平衡點(diǎn)曲線可以產(chǎn)生不同于以往的急劇量變,即在某局部小范圍內(nèi),平衡點(diǎn)可在正、負(fù)坐標(biāo)值之間快速轉(zhuǎn)遷.這直接形成具有不同動(dòng)力學(xué)特性的激發(fā)態(tài)區(qū)域和沉寂態(tài)區(qū)域.在慢變量的調(diào)控下,系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷,進(jìn)而產(chǎn)生快慢振蕩.本文的研究豐富快慢振蕩的誘發(fā)機(jī)制,為實(shí)際諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的快慢動(dòng)力學(xué)機(jī)理與控制研究提供參考.