張 瑞，孟 晨，王 成，王 強(qiáng)

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003）

0 引 言

線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation，LFM）（也稱Chirp）信號廣泛應(yīng)用于聲吶、雷達(dá)、通信和礦山探測等系統(tǒng)中，該信號的分析和處理一直是現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域中較為重要的研究方向。LFM 信號的頻帶較寬，根據(jù)奈奎斯特采樣理論，數(shù)據(jù)采樣必須至少是信號最大頻率的兩倍，面對高頻率的LFM 信號，現(xiàn)有高速ADC 的采樣速率已難以達(dá)到奈奎斯特采樣的要求，同時采樣得到的海量數(shù)據(jù)也給數(shù)據(jù)壓縮、傳輸、存儲帶來了巨大壓力。

壓縮感知（CS）是解決上述問題的一種新理論，其采樣頻率可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣速率。在壓縮感知方案下，數(shù)據(jù)壓縮在傳感器中與采樣同時進(jìn)行。CS 理論可以分為三個部分：稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)。首先，只有在一定變換域內(nèi)足夠稀疏的信號才能被認(rèn)為是可壓縮的，這是CS 應(yīng)用的前提；然后，對于有限等距性質(zhì)（RIP），需要下采樣測量矩陣，這避免了測量后的信息損失。一些隨機(jī)矩陣，如高斯和伯努利隨機(jī)矩陣，被證明適用于CS 測量；最后，用適當(dāng)?shù)闹亟ㄋ惴ㄖ亟ㄐ盘?。由于重建所需的樣本遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣速率，壓縮感知降低了信號采集中的采樣頻率和存儲量。

壓縮感知被廣泛應(yīng)用于LFM 信號的欠采樣處理，重構(gòu)作為壓縮感知最重要的部分，重構(gòu)算法的性能好壞將直接影響重構(gòu)結(jié)果的精度。針對LFM 信號的壓縮感知重構(gòu)，文獻(xiàn)[10]利用LFM 信號在FRFT 域的稀疏特性，構(gòu)造FRFT 正交基字典，最后建立了在FRFT 域的LFM 雷達(dá)回波信號壓縮采樣模型，采用OMP 重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)。文獻(xiàn)[11]采用OMP 算法完全實(shí)現(xiàn)非合作寬帶線性調(diào)頻雷達(dá)脈沖壓縮信號的稀疏分解與信號重構(gòu)，并且重構(gòu)誤差可控制在5%以內(nèi)，但是隨著信號環(huán)境的惡化、信噪比的下降，OMP 算法針對信號的重構(gòu)誤差緩慢增大，壓縮感知性能下降。文獻(xiàn)[12]基于Chirplet 字典構(gòu)建了一種基于凸優(yōu)化基追蹤的稀疏重構(gòu)算法，通過將原來的基追蹤問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題，再通過原對偶誤差對比內(nèi)點(diǎn)算法進(jìn)行求解。算法能夠精確重構(gòu)寬帶線性調(diào)頻信號，實(shí)現(xiàn)瞬時頻率和相位信息的精確重構(gòu)，但是算法運(yùn)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[13]利用OMP 算法進(jìn)行線性調(diào)頻信號的壓縮重構(gòu)仿真，重構(gòu)效果較好，但是存在低信噪比下重構(gòu)效果不佳的問題。針對LFM 信號的壓縮感知重構(gòu)，以上研究大多采用傳統(tǒng)的OMP、MP重構(gòu)算法，存在著低信噪比下重構(gòu)效果不佳、計算復(fù)雜度大等不足。

文獻(xiàn)[14]提出了快速迭代收縮閾值算法（FISTA），該方法相比ISTA 算法簡化了重建計算，提高了效率。文獻(xiàn)[15]采用FISTA 算法進(jìn)行腦功能網(wǎng)絡(luò)降噪重建，準(zhǔn)確率提高到98%以上，有效地抑制了噪聲?？紤]到低復(fù)雜度和高效率，F(xiàn)ISTA 算法被認(rèn)為是壓縮感知中一種高效的重構(gòu)算法，然而，將其應(yīng)用于線性調(diào)頻信號時出現(xiàn)了一些新的問題，其中之一就是重構(gòu)效果不佳。在利用傳統(tǒng)FISTA 算法時，一些有用的信息在迭代過程中丟失，這導(dǎo)致大的重構(gòu)誤差。

為了解決這個問題，本文提出了一種改進(jìn)的FISTA方法用于線性調(diào)頻信號的壓縮感知重構(gòu)。首先利用LFM 信號在FRFT 域的稀疏特性建立正交字典，形成LFM 信號良好的稀疏表示。在FISTA 算法的迭代過程中對在FRFT 基字典下的重構(gòu)系數(shù)進(jìn)行分析。然后，與特征相關(guān)的系數(shù)將被保護(hù)免受閾值收縮，以減少信息損失。通過仿真實(shí)驗(yàn)分析，相比利用傳統(tǒng)的FISTA 算法，本文提出的IFISTA 算法改善了線性調(diào)頻信號的重構(gòu)效果，能夠獲得更高的重構(gòu)精度，以及在更低的SNR 情況下獲得更高的重構(gòu)概率。

1 線性調(diào)頻信號壓縮感知理論基礎(chǔ)

1.1 壓縮感知理論

在壓縮感知理論下，要求信號是可壓縮的，這意味著信號在變換域是多余的。假設(shè)變換域?yàn)?，信號在時域內(nèi)長度有限，那么：

式中：是稀疏向量，s(=1,2,…,)是稀疏系數(shù)；在該模型中，變換域是正交字典，Ψ (=1,2,…,)是字典原子。如果稀疏向量只有幾個非零或大的系數(shù)，那么信號是可壓縮的，并且如果非零或大系數(shù)個數(shù)為，則為稀疏。

對于稀疏信號，CS 測量的過程表示為：

式中：是測量矩陣；是測量向量。為了保證原始信號的成功重建，需要滿足RIP，即：

式中：σ是受限等距約束（RIC），σ<1。已知當(dāng)樣本≥(×log())時，高斯或伯努利隨機(jī)矩陣滿足RIP。在這種情況下，是的長度，是的長度。利用RIP，測量矩陣能夠從原始信號捕獲足夠的信息，并且式（2）具有獨(dú)特的逆轉(zhuǎn)性。然而，從下采樣測量向量中找到唯一的反轉(zhuǎn)仍然是一個NP 難問題。

式中′是重構(gòu)信號。通常測量是帶噪聲的觀察，因此，重建描述為以下的近似問題：

式中：是取決于噪聲方差的參數(shù)；‖ ? ‖是范數(shù)，它是向量的非零元素數(shù)。如上所述，由于不一致，很難找到解決方案。為了解決這個問題，Donoho 將范數(shù)轉(zhuǎn)化為范數(shù)，即：

然后問題可以通過凸優(yōu)化方法解決。

1.2 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論

1980 年Namias 從傅里葉變換的特征值和特征函數(shù)的角度，根據(jù)特征值的任意次冪運(yùn)算首次提出了分?jǐn)?shù)傅里葉變換的概念。1993 年Ozaktas 和Mendlovic 又在Mc Bride 的基礎(chǔ)上將FRFT 應(yīng)用于光學(xué)實(shí)現(xiàn)以及光學(xué)信息處理。同年，Almeida 指出FRFT 可以解釋為時頻平面的旋轉(zhuǎn)，從時間軸和頻率軸的關(guān)系上看，F(xiàn)RFT 是一類線性時頻變換，這種變換同時展現(xiàn)出信號在時域和頻域上的全部特征。通俗地講，信號的傅里葉變換可以視為信號從時間軸上逆時針旋轉(zhuǎn)π 2 到頻率軸的表示，而其FRFT 則可看成信號從時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度到軸的表示。

Ozaktas 等人在文獻(xiàn)中給出了具有與FFT 相當(dāng)復(fù)雜度的離散算法，使FRFT在信號處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

信號()的FRFT 可以表示為：

Chirp基的調(diào)頻率隨著旋轉(zhuǎn)角度而變化，當(dāng)LFM 信號與某一個Chirp 基的調(diào)頻率一致時，會產(chǎn)生函數(shù)，此時LFM 信號在FRFT 域上表現(xiàn)出良好的時頻聚集特性。

只要找到LFM 源信號符合能量聚集特性的變換階次，就可以找到對應(yīng)的FRFT 基，從而構(gòu)造出相應(yīng)的正交集字典，實(shí)現(xiàn)信號的良好稀疏表示。

采用直接采樣連續(xù)分?jǐn)?shù)階變換核得到離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（DFRFT）核矩陣，其中Ozaktas 和Pei 采樣型算法使用最普遍，本文選取Pei 采樣型算法構(gòu)造FRFT正交基字典，其基本思路為直接對輸入輸出變量實(shí)現(xiàn)采樣，然后通過限定輸入輸出采樣間隔來保持變換的可逆性。這種算法具有計算復(fù)雜度低、運(yùn)算效率高的特點(diǎn)。

2 LFM 信號重構(gòu)的改進(jìn)FISTA 方法

2.1 FISTA 理論

要解決式（6），引入FISTA 是為了簡化和提高效率。在文獻(xiàn)[14]中，F(xiàn)ISTA 給出了高全局收斂速度的重構(gòu)。作為迭代收縮閾值算法（ISTA）的擴(kuò)展，F(xiàn)ISTA 被用來解決線性逆問題，可以描述為：

為了得到稀疏解，在式（7）中添加一個正則項(xiàng)，那么目標(biāo)函數(shù)可以描述為：

式中：>0 是正則參數(shù)；‖‖被命名為的范數(shù)的分量的絕對值之和。與式（6）相比，可以看出式（8）的解是通過求解凸優(yōu)化問題對原始信號的近似。通過收縮/軟閾值步驟獲得解決方案，即：

式中：是步長；是迭代次數(shù)；T(?)是收縮算子，描述如下：

式中：是閾值，是常數(shù)參數(shù)。

對于ISTA，下一次迭代的輸入是上一次迭代的輸出。但是，它的全局收斂速度很慢。為了解決這個問題，文獻(xiàn)[14]提出了通過優(yōu)化初始值的FISTA：

式中p是極小值。證明了FISTA 的復(fù)雜度為( 1)，而ISTA 的復(fù)雜度為( 1)。由于計算簡單、收斂速度快，F(xiàn)ISTA 算法被認(rèn)為是一種有效的、通用的壓縮感知重構(gòu)算法。

2.2 FISTA 應(yīng)用于LFM 信號重構(gòu)時存在的問題

FISTA 算法計算簡單、收斂速度快，在重構(gòu)過程中耗時少。但是，應(yīng)用在線性調(diào)頻信號中，重構(gòu)效果還有待進(jìn)一步提高。對于線性調(diào)頻信號，它的重構(gòu)系數(shù)中包含一些小值系數(shù)。在迭代過程中，這些有用的小值系數(shù)可能會被丟棄，從而導(dǎo)致重建中的信息丟失。

從式（9）和式（10）可以看出，每個收縮/軟閾值步驟可以分成兩個子步驟，一個是梯度步驟，可以描述為：

然后使用收縮算子，另一個步驟是收縮。

式（16）中的梯度步長用于最小化重構(gòu)誤差，而式（17）中的收縮算子T(?)旨在近似滿足正則項(xiàng)。對于收縮運(yùn)算T(?)，從式（12）中得知，是對中所有元素的一個推演，之后如果元素還是正數(shù)，則保留，如果元素是負(fù)數(shù)，將為0。

這是一個很好的控制正則項(xiàng)的方法，但是它并不穩(wěn)定。如上所述，獲得的線性調(diào)頻信號與強(qiáng)噪聲混合，那么梯度步長可能會導(dǎo)致偏差，從而誤導(dǎo)迭代過程，那必然會降低收斂速度。另一方面，使用收縮運(yùn)算符T(?)，的所有元素都需要扣除。那么對于變換域中固有的、小的有用系數(shù)，這種推導(dǎo)實(shí)際上是有用信息的損失。由于信息損失是由收縮算子產(chǎn)生的，因此由強(qiáng)噪聲引起的迭代次數(shù)的增加會進(jìn)一步加劇信息損失。例如，線性調(diào)頻信號在分?jǐn)?shù)階頻譜上具有良好的稀疏特性，但是其中包含一些小的系數(shù)。使用收縮算子T(?)，這些小系數(shù)將為0，這將增加重構(gòu)信號的誤差。同時，迭代次數(shù)越多，零值系數(shù)越多，重構(gòu)誤差也越大。

2.3 LFM 信號的改進(jìn)FISTA

為了改善線性調(diào)頻信號的重構(gòu)效果，提出了IFISTA。在提出的方案下，被視為特征的系數(shù)不需要參與收縮的下一次迭代。然后這些系數(shù)將有助于在重建中保留有用的信息。該方案的關(guān)鍵是如何選擇特征系數(shù)。

LFM 信號的雷達(dá)回波可表示為：

式中：為信號的幅度；為信號的初始頻率；為調(diào)頻率。模擬的線性調(diào)頻信號時域波形如圖1 所示。

圖1 LFM 信號時域波形

采樣頻率為=512 MHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，頻率分辨率Δ==0.5 MHz。圖2 顯示了線性調(diào)頻信號在分?jǐn)?shù)階頻譜中具有良好的稀疏性。當(dāng)模擬線性調(diào)頻信號的初始頻率不滿足頻率分辨率的整數(shù)倍時，分?jǐn)?shù)階頻譜會產(chǎn)生泄露，如圖2b）、圖2c）所示。

圖2 不同初始頻率LFM 信號的分?jǐn)?shù)階頻譜

在分?jǐn)?shù)階頻譜中既包含大值系數(shù)又包含了一定的小值系數(shù)，這些小值系數(shù)在迭代過程中，有用的小值系數(shù)可能會被丟棄，從而導(dǎo)致重建中的信息丟失。為了解決這個問題，提出了在分?jǐn)?shù)階頻譜中索引特征系數(shù)向量，以獲得所有的特征系數(shù)。

如表1 所示，當(dāng)初始頻率為頻率分辨率的整數(shù)倍時分?jǐn)?shù)階頻譜無泄漏，泄漏寬度為0，分?jǐn)?shù)階頻譜中只包含大值系數(shù)；當(dāng)初始頻率為頻率分辨率的1 2 時，分?jǐn)?shù)階頻譜中產(chǎn)生的泄漏寬度最大，小值系數(shù)最多。

表1 不同初始頻率對應(yīng)的泄漏寬度值

以頻率分辨率的1 2 倍為臨界條件，來確定分?jǐn)?shù)階頻譜中索引特征系數(shù)向量的范圍。保留的系數(shù)為最大值系數(shù)的0.01 倍時，能夠較好地避免重建信息的丟失，由此來確定索引范圍。

確定原子所在分?jǐn)?shù)階頻譜位置，求得擴(kuò)展范圍Δ，進(jìn)而得到索引特征系數(shù)向量。

以上分析基于原始信號。然而，在通過壓縮傳感器進(jìn)行下采樣測量之后，很難獲得這些特征系數(shù)。為了解決這個問題，對迭代過程中的不穩(wěn)定重構(gòu)信號進(jìn)行了簡單的分析。隨著迭代的進(jìn)行，信號被逐漸重構(gòu)為近似原始信號，因此在迭代過程中提取信息是可行的。在提出的IFISTA 方案下，在分?jǐn)?shù)階頻譜迭代過程中對重構(gòu)信號進(jìn)行分析。如上所述，獲取的線性調(diào)頻信號通常有兩種特征系數(shù)，一個是大值系數(shù)，一個是通過索引向量確定的小值系數(shù)。那么屬于以上兩種情況的系數(shù)都被認(rèn)為是特征系數(shù)，這些特征系數(shù)不參與收縮算子T(?)的收縮步驟，從而增強(qiáng)了重構(gòu)信號的特征，提高了重構(gòu)效果。IFISTA 的流程圖如圖3 所示。

圖3 IFISTA 算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性，對線性調(diào)頻信號進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。仿真信號模型可表示為：

式中：為載頻；為脈沖時間帶寬；為調(diào)頻率；為散射點(diǎn)個數(shù)，在FRFT 基字典下即表示回波信號的稀疏度；A，τ分別表示第個散射點(diǎn)的散射強(qiáng)度和延時。

仿真信號參數(shù)分別設(shè)置為：=0，=200 MHz，=2 μs，采樣率=512 MHz，= 1，信號的長度為1 024，設(shè)置了5 個分量的LFM 信號，距離起始位置分別為20，200，400，500，700，信號的歸一化幅度分別為0.9，0.4，0.7，0.5，0.6。

采用Pei 采樣型算法構(gòu)建了信號的DFRFT 正交基字典，使用高斯隨機(jī)矩陣作為測量矩陣。模擬信號的時域波形如圖4a）所示，其分?jǐn)?shù)階頻譜如圖4b）所示。

圖4 LFM 信號時域波形與分?jǐn)?shù)階頻譜

利用測量矩陣，信號以低于源信號維數(shù)被采樣。將壓縮率設(shè)置為0.5，此時測量向量的長度為512。迭代的初始值由的轉(zhuǎn)置矩陣計算，即：

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置為0.02，利用提出的IFISTA，目標(biāo)函數(shù)被逐漸最小化。將提出的IFISTA 與文獻(xiàn)[13]提出的FISTA 進(jìn)行比較，如圖5 所示。

圖5 目標(biāo)函數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系

如圖5b）所示，利用提出的IFISTA，分析后，保護(hù)系數(shù)，防止了一些特征系數(shù)收縮，增加了‖‖（正則項(xiàng)）。

根據(jù)壓縮感知理論，信號的稀疏度是影響信號重構(gòu)效果的一個重要因素，采樣率也是影響重構(gòu)結(jié)果的一個重要因素。為進(jìn)一步衡量所提出算法的性能，比較了信號在不同稀疏度情況下所提出的IFISTA與FISTA重構(gòu)效果。

仿真信號分別設(shè)置為1 個分量的LFM 信號、3 個分量的LFM 信號以及5 個分量的LFM 信號，定義單分量LFM 信號的稀疏度為，選取的3 種信號的稀疏度分別為，3，5。

在不同采樣率條件下，進(jìn)行了IFISTA 與FISTA 重構(gòu)性能的比較，如圖6 所示。

圖6 不同稀疏度下重構(gòu)成功率與采樣點(diǎn)數(shù)關(guān)系

從圖6 可以看出，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，信號重構(gòu)成功概率不斷增大。相比于FISTA，提出的IFISTA 可以在更少的采樣點(diǎn)數(shù)情況下重構(gòu)成功。隨著信號稀疏度的增加，信號的稀疏性變差，重構(gòu)成功所需的采樣點(diǎn)數(shù)更多，采樣頻率要求更高。但是相比FISTA，IFISTA 仍然可以以更少的采樣點(diǎn)數(shù)成功重構(gòu)信號。這意味著在穩(wěn)定重建的前提下，IFISTA 可以具有比FISTA 更低的采樣率，這對于實(shí)際應(yīng)用來說非常有意義，因?yàn)閷τ谒岢龅腎FISTA，理想的重建需要較少的測量。

在不同信噪比條件下，本文算法與FISTA 算法的性能對比如圖7 所示，信噪比分別為10 dB，20 dB，30 dB，隨著信噪比的增加，算法的重構(gòu)性能都會提升，本文算法在重構(gòu)過程中保護(hù)了有用系數(shù)，防止了一些特征系數(shù)收縮，使得重構(gòu)誤差降低，能夠以更少的采樣點(diǎn)重構(gòu)成功，本文提出的IFISTA 算法比FISTA 算法得到了更好的重構(gòu)性能。

圖7 不同信噪比下重構(gòu)成功率與采樣點(diǎn)數(shù)關(guān)系

圖8 顯示了不同重構(gòu)算法的性能比較，從圖中可以看出，采樣點(diǎn)數(shù)越多，各種算法的重構(gòu)誤差就越小，重構(gòu)效果就越好。相同條件下，本文算法得到的重構(gòu)誤差低于FISTA 算法、MP 算法與OMP 算法，本文算法在重構(gòu)精度方面表現(xiàn)更好。

圖8 不同算法重構(gòu)誤差比較

4 結(jié) 論

本文針對傳統(tǒng)FISTA 算法在線性調(diào)頻信號壓縮感知重構(gòu)過程中重構(gòu)誤差大，低信噪比條件下表現(xiàn)不佳的情況，提出了IFISTA 的方案來重構(gòu)下采樣測量后的線性調(diào)頻信號。對于傳統(tǒng)的FISTA 算法，所有的系數(shù)都用收縮算子來約簡，這樣會損失一些有用的信息。為了解決這個問題，本文提出了IFISTA 來獲得更好的重建效果，首先對迭代過程中的線性調(diào)頻信號進(jìn)行分析；然后構(gòu)造索引向量，選出在迭代過程中被保護(hù)不會收縮的特征系數(shù)。通過仿真信號實(shí)驗(yàn)分析表明：IFISTA 算法在線性調(diào)頻信號重構(gòu)過程中保留了有用的系數(shù)，減少了有用信息的損失，提高了信號的壓縮率和重構(gòu)精度；在低信噪比條件下重構(gòu)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的FISTA 算法以及OMP 算法等。