姜廣勝，史憲銘，陳 靜，趙 美，劉昊邦

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050000；2. 陸軍步兵學(xué)院石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050083)

武器目標(biāo)分配(Weapon Target Assignment，WTA)是作戰(zhàn)指揮決策的基礎(chǔ)，獲得合理、科學(xué)的分配策略是打贏現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)的關(guān)鍵。為了獲得最優(yōu)的分配策略，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究，其中包括蟻群算法、拍賣(mài)算法、粒子群算法等，但大部分把敵方看作無(wú)對(duì)抗能力的防御對(duì)象，僅考慮我方的分配對(duì)策，沒(méi)有考慮敵方的分配對(duì)策對(duì)我方分配對(duì)策產(chǎn)生的影響，忽略了實(shí)際作戰(zhàn)的動(dòng)態(tài)博弈性。敵我雙方的戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)一直處于變化之中，作戰(zhàn)過(guò)程實(shí)際上就是一場(chǎng)博弈。博弈論是一門(mén)完整的科學(xué)理論，在古代田忌賽馬中就已經(jīng)靈活運(yùn)用，在現(xiàn)代也廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、政治、軍事等具有競(jìng)爭(zhēng)性、沖突性和對(duì)抗性的領(lǐng)域，其在軍事領(lǐng)域,不僅被應(yīng)用于武器目標(biāo)分配，還可以應(yīng)用于無(wú)人機(jī)編隊(duì)、艦艇對(duì)抗等。

因此，本文充分考慮敵我雙方的戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)變化、毀傷效能評(píng)估等因素，以博弈論為基礎(chǔ)，建立一種不完全信息的動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配模型，并利用遺傳算法模擬動(dòng)態(tài)作戰(zhàn)過(guò)程，縮小決策點(diǎn)范圍，有效提高我方武器作戰(zhàn)中對(duì)未知信息的推理能力。

1 問(wèn)題描述

合成分隊(duì)中的武器包括步兵戰(zhàn)車(chē)、自動(dòng)炮、坦克等，這些作戰(zhàn)力量的價(jià)值和打擊能力各不相同，由于戰(zhàn)場(chǎng)情況瞬息萬(wàn)變，常常包含不確定、動(dòng)態(tài)的復(fù)雜因素，敵我雙方武器裝備的價(jià)值和打擊能力也隨機(jī)變化，即各武器裝備的價(jià)值和打擊能力具有隨機(jī)性和不確定性。因此，作戰(zhàn)一方很難獲取另外一方武器裝備的價(jià)值和打擊能力等信息，也就是說(shuō)，敵我雙方在作戰(zhàn)過(guò)程中掌握的信息是不對(duì)稱(chēng)的。如何在敵我雙方掌握信息不對(duì)稱(chēng)的情況下，科學(xué)合理地確定我方用哪些武器打擊敵方哪些目標(biāo)的打擊方案，以期用最小的打擊成本獲得最大的毀傷效果是動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。因此，利用不完全信息動(dòng)態(tài)博弈模型可以更加合理地對(duì)多武器多目標(biāo)分配問(wèn)題進(jìn)行建模，將合成分隊(duì)的動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈中求解打擊策略納什均衡解的過(guò)程。納什均衡為一個(gè)策略組合，是博弈雙方的一種均衡狀態(tài)，通過(guò)求解納什均衡解有助于科學(xué)選擇打擊方案，提高作戰(zhàn)效能。

2 模型構(gòu)建

2.1 矩陣博弈的定義

合成分隊(duì)的武器目標(biāo)分配中，將敵我雙方分別看作博弈的兩個(gè)局中人，利用階段動(dòng)態(tài)博弈展開(kāi)作戰(zhàn)，如圖1所示。

圖1 敵我雙方k階段作戰(zhàn)動(dòng)態(tài)博弈樹(shù)

一般情況下，動(dòng)態(tài)博弈包括以下要素：一是局中人，指的是參與博弈的主體，即我方武器和敵方目標(biāo)；二是策略集，指的是博弈雙方有順序選擇的策略集合；三是贏得函數(shù)，指的是博弈雙方根據(jù)選擇的策略獲得的收益值；四是均衡解，指的是博弈雙方最優(yōu)策略的組合。多武器多目標(biāo)分配問(wèn)題可以建模為一個(gè)雙矩陣博弈模型=(,,)，具體為:

1)={1,2}為博弈中的兩個(gè)局中人，=1代表我方，=2代表敵方；

3)=((,),(,))為博弈中兩個(gè)局中人選擇某種行動(dòng)的支付函數(shù)。

2.2 不完全信息

不完全信息指的是博弈的兩個(gè)局中人沒(méi)有完全掌握對(duì)方的事前信息，另一局中人的策略和選擇是不確定的。動(dòng)態(tài)博弈中，我方的目的是在保護(hù)自身不被敵方攻擊的同時(shí)對(duì)敵方實(shí)施打擊，敵方的目的是在保護(hù)自身不被我方打擊的同時(shí)對(duì)我方實(shí)施攻擊，這存在于整個(gè)博弈的過(guò)程。由于動(dòng)態(tài)博弈存在多變性、隨機(jī)性等特點(diǎn)，使兩個(gè)局中人無(wú)法掌握博弈中的全部信息，其中，最突出的就是武器目標(biāo)的殺傷威力不同導(dǎo)致敵我雙方的毀傷評(píng)估結(jié)果具有不完全性，求解最優(yōu)策略時(shí)必須考慮這一因素。

2.3 支付矩陣

由于模型中只存在兩個(gè)局中人，一個(gè)局中人的支付等于另一個(gè)局中人的收益，博弈雙方的支付和收益的和永遠(yuǎn)為零，因此可以將模型看作基于不完全信息的兩人零和非合作博弈。

假設(shè)我方有個(gè)武器參與作戰(zhàn)，敵方有個(gè)目標(biāo)參與作戰(zhàn)，敵我雙方武器目標(biāo)的價(jià)值集合分別為和。

={,,…,,…,}

(1)

其中，表示第個(gè)武器的價(jià)值。

={,,…,,…,}

(2)

其中，表示第個(gè)武器的價(jià)值。

假設(shè)我方的第個(gè)武器命中敵方的第個(gè)目標(biāo)的概率為，我方的第個(gè)武器被敵方的第個(gè)目標(biāo)命中的概率為，我方的第個(gè)武器打擊敵方的第個(gè)目標(biāo)的支付值為

=(max)*

(3)

我方的第個(gè)武器打擊敵方的第個(gè)目標(biāo)、第個(gè)武器打擊敵方的第個(gè)目標(biāo)的融合支付值為

(4)

敵方的第個(gè)目標(biāo)打擊我方的第個(gè)武器的支付函數(shù)為

=(max)*

(5)

敵方的第個(gè)目標(biāo)打擊我方的第個(gè)武器、敵方的第個(gè)目標(biāo)打擊我方的第個(gè)武器的融合支付值為

(6)

多武器多目標(biāo)分配動(dòng)態(tài)博弈的支付函數(shù)為

(7)

其中，和都有0、1兩個(gè)取值。=1代表我方的第個(gè)武器打擊敵方的第個(gè)目標(biāo)，=0代表我方的第個(gè)武器沒(méi)有打擊敵方第個(gè)目標(biāo)；=1代表敵方的第個(gè)目標(biāo)打擊我方的第個(gè)武器，=0代表敵方的第個(gè)目標(biāo)沒(méi)有打擊我方的第個(gè)武器。

根據(jù)式(3)和式(5)，可得敵我雙方的支付矩陣為。

(8)

(9)

3 求解方法

3.1 納什均衡的基本概念及求解方法

在這個(gè)策略組合中，一方的策略都是針對(duì)另一方策略的最優(yōu)反應(yīng)。

求解納什均衡解的過(guò)程是一項(xiàng)復(fù)雜的工程問(wèn)題，為了提高求解速度，常常借助一些智能算法，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、粒子群算法和遺傳算法等。遺傳算法是由Holland提出的一種快速搜索算法，利用生物進(jìn)化中的編碼現(xiàn)象和遺傳機(jī)制能自動(dòng)獲取和調(diào)整搜索空間，具有較好的全局尋優(yōu)能力，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、打擊博弈等問(wèn)題中。因此，本文在構(gòu)建多武器多目標(biāo)分配的博弈模型基礎(chǔ)上，利用遺傳算法求解納什均衡。

3.2 遺傳算法求解納什均衡解的步驟

3.2.1 編碼

編碼主要模仿生物的染色體, 針對(duì)最優(yōu)策略問(wèn)題, 需要將其變量按照某種編碼方式構(gòu)建一種編碼規(guī)則，實(shí)現(xiàn)由工程問(wèn)題向遺傳問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。根據(jù)動(dòng)態(tài)博弈的相關(guān)特性，分別對(duì)敵我雙方的武器目標(biāo)分配策略進(jìn)行編碼。

我方武器分配策略的編碼采用十進(jìn)制整數(shù)編碼方式，編碼長(zhǎng)度為*，染色體編碼為()*,其中的約束條件為公式(10)。

≤

(10)

敵方目標(biāo)分配策略的編碼采用二進(jìn)制編碼方式，=1表示第個(gè)目標(biāo)是我方武器的打擊對(duì)象，=0表示第個(gè)目標(biāo)不是我方武器的打擊對(duì)象。

3.2.2 適應(yīng)度函數(shù)

針對(duì)每個(gè)染色體，分別計(jì)算到達(dá)所有基因位時(shí)的支付函數(shù)||,找到||最大值所在的基因位，根據(jù)基因位的參與者來(lái)選擇最優(yōu)策略，若=1，>0，表示選擇該染色體對(duì)我方有利；若=2，<0，表示選擇該染色體對(duì)敵方有利。因此，染色體適應(yīng)度函數(shù)可以用支付函數(shù)來(lái)表示。

3.2.2 交叉

交叉是遺傳算法中非常重要的一環(huán)，利用交叉可以獲得兩個(gè)群體的新一代個(gè)體，新一代個(gè)體的特性與父輩的特性息息相關(guān)。在武器目標(biāo)分配問(wèn)題中，常常采用的是單點(diǎn)交叉方法。

其中，為一個(gè)隨機(jī)常數(shù)，取值區(qū)間為0≤≤1。

3.2.3 變異

變異是產(chǎn)生新個(gè)體的輔助操作，通過(guò)設(shè)定變異概率可以改變某個(gè)或某些個(gè)體的基因值，決定算法的局部搜索能力。為了防止算法陷入局部最優(yōu)的困境，變異概率一般較低，采用單點(diǎn)隨機(jī)定位的運(yùn)算來(lái)確定。

其中，為一個(gè)隨機(jī)常數(shù)，取值區(qū)間為0≤≤1。

3.2.4 終止策略

如果每個(gè)種群迭代的代數(shù)均已達(dá)到規(guī)定的迭代次數(shù)，并且某染色體的適應(yīng)度值在若干代內(nèi)不再改變，則算法終止，此時(shí)適應(yīng)度值在若干代不再改變的染色體為最優(yōu)分配方案，即納什均衡解；否則，繼續(xù)迭代，直到出現(xiàn)最優(yōu)解。

3.2.5 求解算法步驟

求解算法步驟詳見(jiàn)圖2所示。

圖2 遺傳算法求解納什均衡解的流程圖

4 算例分析

為了證明本文提出的基于不完全信息博弈的動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配模型及求解算法的有效性，采用案例分析和軟件仿真相結(jié)合的方式進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 案例分析

1)={,}，為雙矩陣博弈的兩個(gè)局中人;

表1 W方和D方武器目標(biāo)分配的策略集合

表2 敵我雙方的策略集合

3)計(jì)算敵我雙方策略集的支付值，如表3所示。

表3 敵我雙方策略集的支付值

4.2 軟件仿真

為了驗(yàn)證本文提出的多武器多目標(biāo)博弈模型的合理性和求解算法的高效性，將遺傳算法求解不完全信息博弈納什均衡的時(shí)間與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(BP)和粒子群算法(PSO)求解同一模型納什均衡的時(shí)間進(jìn)行對(duì)比，利用軟件進(jìn)行仿真試驗(yàn)。假設(shè)敵我雙方武器目標(biāo)數(shù)量分別是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11個(gè)，武器目標(biāo)的價(jià)值={(,),∈(0,100),∈(0,100)} ，打擊概率∈(0，1)。借助軟件計(jì)算不同作戰(zhàn)規(guī)模下三種算法求解納什均衡解的時(shí)間，如表4所示。

表4 求解納什均衡的時(shí)間表

通過(guò)表4能夠清楚看到不同規(guī)模下，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、粒子群算法和遺傳算法求解納什均衡的時(shí)間。不同算法的求解時(shí)間結(jié)果對(duì)比圖，如圖3所示。

通過(guò)圖3可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法求解納什均衡解的時(shí)間明顯長(zhǎng)于遺傳算法的求解時(shí)間，而粒子群算法在作戰(zhàn)規(guī)模較小的時(shí)候運(yùn)算時(shí)間短于遺傳算法，而一旦網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大，它的運(yùn)算時(shí)間會(huì)長(zhǎng)于遺傳算法的求解時(shí)間，考慮實(shí)際作戰(zhàn)規(guī)模的影響，應(yīng)該優(yōu)先選擇遺傳算法求解納什均衡。因此，通過(guò)對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了所構(gòu)建模型的合理性和算法的可行性，為解決合成分隊(duì)動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配問(wèn)題提供一定支撐。

圖3 仿真結(jié)果圖

5 結(jié)束語(yǔ)

合成分隊(duì)敵我雙方的攻防過(guò)程實(shí)際上就是一場(chǎng)動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程，考慮實(shí)際作戰(zhàn)存在許多不完全信息，提出了一種基于不完全信息的多武器多目標(biāo)博弈模型，將動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解納什均衡的過(guò)程，借助遺傳算法給出了求解思路，利用仿真證明了本文構(gòu)建的模型和求解算法的有效性，可以提高指揮決策的科學(xué)性。在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步考慮武器資源是否正常供應(yīng)、戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)等因素，對(duì)合成分隊(duì)的多武器多目標(biāo)分配問(wèn)題進(jìn)行研究，提高均衡解的精確性和適用范圍。