尹宗軍 蘇 蓉 胡玲鳳

（安徽信息工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241100）

“理論力學(xué)”是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生一門理論性較強(qiáng)的學(xué)科基礎(chǔ)課，通過該課程的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生掌握剛體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和研究方法，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用這些規(guī)律分析工程實(shí)踐中的力學(xué)問題。在新工科和新課改大環(huán)境下，各校針對(duì)理論力學(xué)教育教學(xué)都給予了重點(diǎn)關(guān)注。特別地，自成果導(dǎo)向的教育（Outcome Based Education，OBE）理念提出以來，理論力學(xué)課程體系的構(gòu)建、教學(xué)策略的研究、學(xué)生多元化評(píng)價(jià)指標(biāo)以及如何反向進(jìn)行課程教學(xué)和開展教學(xué)活動(dòng)等成為了基礎(chǔ)教育的關(guān)鍵點(diǎn)。盧玉林等引入土力學(xué)相關(guān)算例，重點(diǎn)討論了滑坡的運(yùn)動(dòng)力學(xué)模型與理論力學(xué)中點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的相關(guān)聯(lián)系[1]。徐啟圣等提出現(xiàn)象驅(qū)動(dòng)的集成反饋教學(xué)模式，建立理論力學(xué)課程多維度考核[2]。陸仁強(qiáng)和湯汨倡導(dǎo)全過程考核機(jī)制下的“理論力學(xué)”研討式教學(xué)“教—評(píng)”模式，給出了其指標(biāo)體系[3]。何子干等認(rèn)為引用實(shí)際應(yīng)用工程實(shí)例等方式可以改進(jìn)少學(xué)時(shí)理論力學(xué)的課堂教學(xué)[4]。羅禮仁等推導(dǎo)了平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)任意點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，得到動(dòng)量矩定理的統(tǒng)一格式[5]。夏吾吉推導(dǎo)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理[6]。馮云光等從六個(gè)方面詳細(xì)研究了理論力學(xué)教學(xué)改進(jìn)方法，他們認(rèn)為傳統(tǒng)板書教學(xué)在信息化教學(xué)過程中同樣重要[7]。黃鸝等討論了質(zhì)心坐標(biāo)計(jì)算公式[8]。董萍和陶蕊探討了高等數(shù)學(xué)對(duì)理論力學(xué)的基礎(chǔ)影響[9]。李楚琳等針對(duì)新時(shí)期理論力學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)，給出了幾點(diǎn)改革思考[10]。

進(jìn)入20世紀(jì)80年代以后應(yīng)用技術(shù)型人才培養(yǎng)逐漸形成了一股新的風(fēng)向。國內(nèi)的諸多高校近年也紛紛在教育教學(xué)改革的探索中注重實(shí)踐環(huán)境的強(qiáng)化。隨著技能教育以及“雙創(chuàng)”理念（即，大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新）的發(fā)展和推進(jìn)，各校通常通過縮短理論教學(xué)時(shí)長以增加實(shí)踐項(xiàng)目化教學(xué)內(nèi)容，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主化學(xué)習(xí)和優(yōu)化人才結(jié)構(gòu)[11-13]。這也給理論教學(xué)活動(dòng)增加了難度，弱化了基礎(chǔ)知識(shí)的傳授導(dǎo)致部分學(xué)生應(yīng)試能力的下降。針對(duì)理論教學(xué)中極易混淆的理論知識(shí)點(diǎn)，清華大學(xué)航天航空學(xué)院的高云峰利用矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix and Laboratory，Matlab）軟件剛體系統(tǒng)及桁架受力問題、典型機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析以及物體受力分析進(jìn)行了諸多探討[14-16]。他們通過在理論力學(xué)教學(xué)中引入矩陣實(shí)驗(yàn)室的動(dòng)畫演示，極大促進(jìn)學(xué)生對(duì)理論力學(xué)問題的理解以及掌握代數(shù)方程和微分方程的數(shù)值求解和符號(hào)推導(dǎo)。清華大學(xué)工程力學(xué)系薛克宗認(rèn)為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在在航天器、空間機(jī)械和機(jī)器人、高速車輛、生物力學(xué)等領(lǐng)域具有重要作用，應(yīng)著重看待關(guān)于動(dòng)量、動(dòng)量矩定理與拉氏方程的應(yīng)用關(guān)系問題[17]。華中農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院張居敏和王鵬進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了達(dá)朗貝爾原理在剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程的演示推導(dǎo)[18]。吳家毅研究了薄圓柱落地的運(yùn)動(dòng)問題并利用數(shù)值模擬展現(xiàn)了圓柱運(yùn)動(dòng)圖景[19]。盧小雨針對(duì)學(xué)生對(duì)二力桿受力問題，強(qiáng)調(diào)了桿件自重對(duì)約束力大小及其合力方向的影響，主張從約束性質(zhì)、平衡等方面引領(lǐng)學(xué)生正確判別二力桿[20]。劉延彬針對(duì)學(xué)生在計(jì)算作用平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力之功時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，以例題分析形式分析了作用在剛體上外力之功與作用在質(zhì)點(diǎn)上外力之功的異同[21]。

在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生對(duì)于力學(xué)的邏輯思維欠缺認(rèn)識(shí)，不能很好地總結(jié)知識(shí)體系[22-23]。在多次的教學(xué)測試中，多數(shù)學(xué)生對(duì)多剛體系統(tǒng)動(dòng)量的求解存在一定的認(rèn)知誤區(qū)。動(dòng)量定理以質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律F=ma為基礎(chǔ)，用與運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的動(dòng)量與力相關(guān)的沖量的關(guān)系對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了深入的研究，即動(dòng)量的改變與外力系主矢的相互關(guān)系。基于此，本文針對(duì)剛體系動(dòng)量的求解展開幾個(gè)案例討論，以幫助在教學(xué)活動(dòng)中師生對(duì)動(dòng)量求解的理解，以期提高學(xué)生針對(duì)動(dòng)量求解的學(xué)習(xí)效果。

一、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與動(dòng)量

理論力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律的學(xué)科，其通常分為三個(gè)部分：靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)。動(dòng)力學(xué)中研究了關(guān)于運(yùn)動(dòng)的量度：動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能，與此對(duì)應(yīng)相關(guān)的力的作用的量度：沖量、沖量矩和功之間的關(guān)系。表明這兩種量度間的關(guān)系的定理依次為動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理以及動(dòng)能定理，這三個(gè)定理被稱為動(dòng)力學(xué)普遍定理。在本文中，我們就動(dòng)力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與動(dòng)量做簡要的回顧，著重介紹動(dòng)量的作用點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)的各自物理含義，然后再過渡到針對(duì)剛體系動(dòng)量求解的三個(gè)案例上。

（一）質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變與各質(zhì)點(diǎn)及其相互作用位置息息相關(guān)。理論力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心被稱為質(zhì)心，這個(gè)物理概念是表示質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要特征。

考慮如圖1所示的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，在空間任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，則單質(zhì)點(diǎn)i的矢徑為，因此該質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為[24]：這里雖然我們使用單剛體來表示質(zhì)點(diǎn)系，但（2）式同樣適用多剛體類型。

圖1 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布和質(zhì)心

（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

二、案例分析

前面我們介紹質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的定義式和推論式，現(xiàn)在我們介紹三個(gè)常見案例以幫助理解。

（一）案例1

兩均質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量為m，長為l，鉸接于A[24]。

如圖2（a）所示，OA桿的角速度為ω，AB桿相對(duì)OA桿的角速度亦為，求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。

圖2 兩均質(zhì)桿系統(tǒng)

由此可得該時(shí)刻質(zhì)心速度為：

（二）案例2

如圖3所示：

圖3 曲柄滑槽系統(tǒng)

均質(zhì)曲柄OA質(zhì)量為m1，長為r，以勻角速度繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)質(zhì)量為m3的滑槽做鉛錘運(yùn)動(dòng)，E為滑槽質(zhì)心，DE為b，滑塊A的質(zhì)量為m2[25]。調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)使得(m1r/2+m2r+m3(r+b))/(m1+m2+m3))=r。當(dāng)t=0時(shí)，β=ωt=0。不計(jì)摩擦，試求當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量。

[錯(cuò)誤解法]建立如圖3所示坐標(biāo)系，系統(tǒng)經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心(xc,yc)為：

比較正確解法和錯(cuò)誤解法，可見將多剛體系統(tǒng)某瞬時(shí)時(shí)刻與質(zhì)心相重合的點(diǎn)的速度作為質(zhì)心速度，引起了多體系動(dòng)量計(jì)算錯(cuò)誤。

（三）案例3

如圖4所示：

圖4 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

在曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)[25]。若OA=OB=l，OA及OA桿皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2。求此系統(tǒng)的動(dòng)量。

[正確解法]設(shè)時(shí)間t=0時(shí)，桿OA水平，則有φ=t。經(jīng)時(shí)間t時(shí)，C的坐標(biāo)為

動(dòng)量的方向沿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向（同樣，系統(tǒng)動(dòng)量的作用點(diǎn)并一定在質(zhì)心位置）。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡可通過消去質(zhì)心位置坐標(biāo)（10）中的時(shí)間t可得

可見，質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，如圖4所示中虛線所示。應(yīng)該指出，系統(tǒng)的質(zhì)心一般不在其中某一剛體上，而是空間中的某一特定點(diǎn)。即使與某一剛體上的一點(diǎn)重合，也不要認(rèn)為剛體上的該點(diǎn)就是質(zhì)心，否則如果把該點(diǎn)的速度認(rèn)定為質(zhì)心速度，則會(huì)造成動(dòng)量計(jì)算錯(cuò)誤。

三、實(shí)施效果分析

（一）試卷設(shè)計(jì)

理論力學(xué)是工科類學(xué)生專業(yè)知識(shí)素養(yǎng)提升的重要奠基石。安徽信息工程學(xué)院理論力學(xué)開設(shè)學(xué)期為大一春季學(xué)期，本次調(diào)查了本校機(jī)械工程學(xué)院內(nèi)的四個(gè)專業(yè)，包括機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、車輛工程，材料成型及控制工程以及機(jī)械電子工程，連續(xù)跟蹤了2019級(jí)、2020級(jí)以及2021級(jí)共涉及48個(gè)教學(xué)班（每屆16個(gè)教學(xué)班，每班約40人）的學(xué)習(xí)情況。本次調(diào)研以歷年期末測試為樣本，動(dòng)量計(jì)算部分為10分，占總成績（滿分100分）的10%，我們統(tǒng)計(jì)了五個(gè)層次的分值占比，即0～2分、2～4分、4～6分、6～8分以及8～10分。2019級(jí)測試案例1，2020級(jí)測試案例2，2021級(jí)測試案例3。理論力學(xué)期末測試采用教考分離原則，考試試題由力學(xué)教研室出題，試卷評(píng)測為集體閱卷，教師不參與本班試卷評(píng)測。這三個(gè)案例之間所用知識(shí)內(nèi)容幾乎一致，在實(shí)際講課過程中也均詳細(xì)講解，因此所得分?jǐn)?shù)可以用來相互對(duì)比教學(xué)效果。

（二）成績分布分析

近三屆學(xué)生關(guān)于動(dòng)量求解問題的得分趨勢圖如圖5所示。

圖5 三屆學(xué)生關(guān)于動(dòng)量求解問題的得分趨勢

通過圖5可以看出，2019級(jí)和2020級(jí)學(xué)生低分層次較多，75%的學(xué)生處于5分以下，僅8%以內(nèi)的學(xué)生能得到滿分，教學(xué)效果不容樂觀。反觀2021級(jí)，引入兩個(gè)案例對(duì)學(xué)生加強(qiáng)理論鞏固后，重點(diǎn)講授動(dòng)量求解過程及各種可能的解題方法、求解順序，深刻領(lǐng)會(huì)理論的精髓，更好地增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)力學(xué)的信心。教學(xué)效果表明85%學(xué)生比較滿意，14%的學(xué)生表示基本滿意，其余表示上課實(shí)在聽不懂。2021級(jí)學(xué)生有75%的學(xué)生在5分以上，40%的學(xué)生能拿到滿分，0～2分層次僅有5%?？梢姡?021級(jí)優(yōu)秀率和及格率都比較高，充分肯定了教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。因此，在教學(xué)過程中多關(guān)注章節(jié)短板的內(nèi)容，用耐心加鼓勵(lì)的方法對(duì)癥下藥，多抓基礎(chǔ)，有利于提高教學(xué)成果。此外，我們也發(fā)現(xiàn)如下問題：第一，有的學(xué)生邏輯思維能力不夠，分析判斷能力差，公式亂用；第二，有學(xué)生不會(huì)審題，不理解題意；第三，有些學(xué)生書寫得不夠規(guī)范，不夠整潔；第四，有些題型平時(shí)訓(xùn)練不到位，學(xué)生失誤多；第五，在耦合動(dòng)量定理的求解過程中，學(xué)生不能夠觸類旁通。上述提出的5點(diǎn)問題是值得教學(xué)反思的，也為后續(xù)的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了改進(jìn)方向。首要解決的問題是訓(xùn)練對(duì)理論力學(xué)基本力學(xué)公式知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，優(yōu)選各種可能的解題方法、求解順序，把學(xué)生對(duì)理論力學(xué)基本力學(xué)公式應(yīng)用融于試卷之中。

（三）統(tǒng)計(jì)分析

由于采用教考分離原則，例題和考題完全相同，旨在測試學(xué)生對(duì)力學(xué)知識(shí)的掌握，不出難題、怪題。為進(jìn)一步說明教學(xué)效果，我們對(duì)三屆學(xué)生關(guān)于動(dòng)量求解問題的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，如表1所示。

表1 三屆學(xué)生關(guān)于動(dòng)量求解問題的得分統(tǒng)計(jì)

從表1可知，2019級(jí)、2020級(jí)以及2021級(jí)關(guān)于動(dòng)量求解問題的平均分分別為3.90、4.36以及7.30，標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.34、2.51以及2.37?？梢娙邩?biāo)準(zhǔn)差基本維持在2.40左右，學(xué)生成績分布離散程度基本類似。但是平均分相差較多，2021級(jí)學(xué)生的得分幾乎是2019級(jí)的2倍。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，通過對(duì)三個(gè)案例的詳細(xì)解述，明顯提高了學(xué)生對(duì)剛體系動(dòng)量求解的學(xué)習(xí)效果。未來，我們將進(jìn)一步提高學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)能力，變換考題形式并多加練習(xí)，使得學(xué)生能對(duì)剛體系動(dòng)量求解取得舉一反三的判別能力。

四、結(jié)語與展望

在課程改革的新形勢和科技革命的新工科背景下，理論力學(xué)作為一門力學(xué)基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生將來的科學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成極其重要。因此，學(xué)好理論力學(xué)是理工科學(xué)生將來觸類旁通進(jìn)行更深層次上的研究科學(xué)問題的基石。然而在多次考試測評(píng)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)動(dòng)量概念比較模糊，接近80%的學(xué)生認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量集中于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)上，這是因?yàn)閷W(xué)生不能理解動(dòng)量計(jì)算的推論式的數(shù)學(xué)物理意義。這個(gè)錯(cuò)誤的理解造成學(xué)生求解案例1時(shí)，不能有效區(qū)分多剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度。對(duì)于多剛體系統(tǒng)，即使在某一時(shí)刻質(zhì)心與某一剛體上的一點(diǎn)重合，也不要認(rèn)為剛體上的該點(diǎn)就是質(zhì)心，更不要把該點(diǎn)的速度認(rèn)定為質(zhì)心速度。對(duì)近三屆學(xué)生的調(diào)研表明，經(jīng)過對(duì)動(dòng)量定理的進(jìn)一步解釋后，多數(shù)學(xué)生能靈活求解剛體系動(dòng)量，學(xué)習(xí)效果得到極大提高。