孫軍偉，王延峰

摘? 要： 在線性系統(tǒng)理論課程教學(xué)中，結(jié)合控制類研究生專業(yè)基礎(chǔ)性課程建設(shè)的要求，將倒立擺案例教學(xué)引入到整個(gè)線性系統(tǒng)理論教學(xué)體系中。給出線性系統(tǒng)理論的建設(shè)原則，總結(jié)倒立擺課程案例的建設(shè)優(yōu)勢，制定多級倒立擺課程案例的建設(shè)內(nèi)容。倒立擺教學(xué)案例的引入，有望引導(dǎo)學(xué)生積極參與分析、設(shè)計(jì)和討論，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)線性系統(tǒng)理論知識解決控制工程應(yīng)用問題的能力。

關(guān)鍵詞： 線性系統(tǒng)理論; 倒立擺; 課程案例; 控制工程

中圖分類號：G643.2? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1006-8228（2022）06-108-04

Case exploration of linear system theory course of inverted pendulum

Sun Junwei， Wang Yanfeng

（College of Electrical Information Engineering， Zhengzhou University of Light Industry， Zhengzhou， Henan 450002， China）

Abstract： In the teaching of linear system theory， combined with the requirements of basic course construction for graduate students in control， the case teaching of inverted pendulum is introduced into the entire linear system theory teaching system. It gives the design principle of linear system theory， summarizes the advantages of inverted pendulum course case construction， and designs the content frame of multi-level inverted pendulum course case construction. The introduction of inverted pendulum teaching cases is expected to guide students to actively participate in analysis， design and discussion， and improve students' ability to solve control engineering applications by using the theoretical knowledge of linear systems.

Key words： linear system theory; inverted pendulum; course cases; control engineering

0 引言

《教育部關(guān)于做好全日制碩士專業(yè)學(xué)位研究生培養(yǎng)工作的若干意見》（教研[2009]1號）中，著重突出了招收碩士研究生必須具備“較強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力”。《教育部關(guān)于加強(qiáng)專業(yè)學(xué)位研究生案例教學(xué)和聯(lián)合培養(yǎng)基地建設(shè)的意見》（教研[2015]1號）中，也著重說明了在碩士研究生培養(yǎng)階段，教學(xué)案例分析有舉足輕重的地位?！督逃筷P(guān)于專業(yè)學(xué)位研究生教育發(fā)展方案（2020-2025）》（學(xué)位[2020]20號）中，強(qiáng)調(diào)建設(shè)創(chuàng)新型國家的一條重要途徑就是發(fā)展專業(yè)學(xué)位研究生教育[1]。

怎樣才能不斷地提高專業(yè)學(xué)位研究生的創(chuàng)新能力，是對培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)的最大考驗(yàn)。探索與其他學(xué)術(shù)型專業(yè)碩士學(xué)位研究生不同的人才培養(yǎng)教學(xué)模式，更有效的適應(yīng)和解決教育工程工作難題，是一個(gè)非常值得深入研究的重點(diǎn)課題。

在現(xiàn)代的控制理論中，線性系統(tǒng)理論是基礎(chǔ)，其具有聯(lián)系基礎(chǔ)理論和應(yīng)用理論之間的紐帶作用[2]。該課程教學(xué)內(nèi)容豐富、涉及領(lǐng)域的知識范圍寬、對理論性和信息工程學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力要求高，在培養(yǎng)我國大學(xué)生專業(yè)體系的知識觀念、創(chuàng)新意識思維和綜合科研實(shí)踐能力三個(gè)方面都起到了重要指導(dǎo)作用。所以許多國家在一些重點(diǎn)高等院校和重要科研機(jī)構(gòu)把線性系統(tǒng)理論課程設(shè)置為研究生專業(yè)基礎(chǔ)和本科生的專業(yè)必修課。

該課程中包含有相當(dāng)數(shù)量的系統(tǒng)數(shù)學(xué)理論推理、抽象概念，且各類數(shù)學(xué)計(jì)算較為復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍反映此課程的學(xué)習(xí)難度大。雖然學(xué)校配備了一些模擬仿真教學(xué)實(shí)驗(yàn)，但由于部分學(xué)生只是機(jī)械地模仿復(fù)制學(xué)校實(shí)驗(yàn)室的做法，對該校各門學(xué)科課程基礎(chǔ)知識的整體理解和實(shí)際應(yīng)用方式缺乏整體感官上的認(rèn)識，所以會產(chǎn)生課堂教學(xué)與課外實(shí)踐相互脫節(jié)的情況。

針對這些實(shí)際問題，引入了以倒立擺的案例分析教學(xué)法對程案例進(jìn)行教學(xué)改革[3]，教師根據(jù)線性系統(tǒng)理論課程的具體教學(xué)大綱、目標(biāo)及教學(xué)要求，采用一些實(shí)際的相關(guān)工程技術(shù)案例，引導(dǎo)廣大學(xué)生積極參與案例分析、設(shè)計(jì)和專題討論，使廣大學(xué)生將所學(xué)理論知識在實(shí)際工程案例中也能得到有效應(yīng)用，從而不斷培養(yǎng)廣大學(xué)生參與分析和設(shè)計(jì)解決實(shí)際相關(guān)工程技術(shù)問題的綜合能力。

1 線性系統(tǒng)理論案例的建設(shè)原則

《教育部關(guān)于加強(qiáng)專業(yè)學(xué)位研究生案例教學(xué)和聯(lián)合培養(yǎng)基地建設(shè)的意見》（教研[20151]號）中，對案例教學(xué)作出了明確說明：案例教學(xué)是把學(xué)生放在教學(xué)的中心，將案例當(dāng)作核心，給出具體的案例場景，在實(shí)際場景中學(xué)習(xí)，完美的結(jié)合實(shí)際與理論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決案例中的問題，進(jìn)一步發(fā)展到能對理論知其然，知其所以然地步的一種教學(xué)方式[4]。

“線性系統(tǒng)理論”課程中所涉及到的概念、方法、理論和總結(jié)在控制理論其余的課程中都具備一定的指導(dǎo)作用。變通的使用課程中所授知識是學(xué)生完成后續(xù)科研工作的基礎(chǔ)。以倒立擺系統(tǒng)為對象進(jìn)行案例設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和LQR最優(yōu)控制，能更加深入地去掌握并了解本課程在各種典型系統(tǒng)狀態(tài)空間的建模、對系統(tǒng)進(jìn)行諸如可配置極點(diǎn)等分析的應(yīng)用，進(jìn)一步提升研究生的實(shí)際問題分析能力和解決問題能力。線性系統(tǒng)理論案例構(gòu)建過程遵循如下原則。

1.1 線性系統(tǒng)理論案例的真實(shí)性

培養(yǎng)實(shí)踐技能是對控制類專業(yè)學(xué)位碩士研究生的基礎(chǔ)要求，其培養(yǎng)的重要目標(biāo)是重視理論基礎(chǔ)、理論實(shí)踐。線性系統(tǒng)工程理論實(shí)踐案例只有充分反映線性控制系統(tǒng)工程的理論真實(shí)性，才能真正使學(xué)生在畢業(yè)后的實(shí)際案例操作過程中把握相關(guān)工程的控制設(shè)計(jì)規(guī)律，更好地接近控制工程的實(shí)際，從而才能獲得事半功倍的培養(yǎng)效果。

1.2 線性系統(tǒng)理論案例的代表性

線性系統(tǒng)案例的內(nèi)容是判斷案例體系建設(shè)成敗與否的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，案例體系建設(shè)之初必須精選出相應(yīng)的案例主題，注重其對于案例體系建設(shè)的內(nèi)容。結(jié)合我國經(jīng)典的控制體系和軟件控制流程，選取了一些具有國際代表性和示范意義的案例，使得這些案例能夠在大學(xué)生們進(jìn)行控制的過程中起到啟發(fā)、誘導(dǎo)和促進(jìn)的作用，還能將成功的案例和解決方法自覺地運(yùn)用于實(shí)際生產(chǎn)生活。

1.3 線性系統(tǒng)理論案例的完整性

對于專業(yè)學(xué)位研究生課程的教學(xué)既要十分注重對學(xué)生的理論和實(shí)踐相互結(jié)合的綜合素質(zhì)培養(yǎng)，還要充分培養(yǎng)他們夯實(shí)自己的理論功底，鼓勵(lì)他們在理論、算法上進(jìn)行了大膽的嘗試、創(chuàng)新。沒有堅(jiān)實(shí)的專業(yè)知識背景及其理論所做的支撐，沒有堅(jiān)實(shí)的課堂教學(xué)專業(yè)知識基本背景和其教學(xué)理論的支持。學(xué)生在學(xué)習(xí)、工作、成長等方面，很容易感到落后而喪失信心。因此，對于工程學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，在強(qiáng)調(diào)其理論和實(shí)踐能力的同時(shí)，還需要重點(diǎn)研究其基本理論知識。案例也需要考慮理論分析的完整性、邏輯性、準(zhǔn)確性和開拓性。

1.4 線性系統(tǒng)理論案例的詳細(xì)性

為了起到工程案例所具有的示范作用，案例中所需要采用的各種工程問題解決辦法都應(yīng)盡量準(zhǔn)確，且其解決辦法明確、具體，無歧義。對于具體的控制性問題，在構(gòu)建案例時(shí)不但要詳細(xì)地分析各個(gè)控制量、被控制對象，建立一套被控制量影響的數(shù)學(xué)模型，而且要詳細(xì)地給出所需要的控制儀表選型、參數(shù)設(shè)置、控制量和輸出等各個(gè)環(huán)節(jié)的講解，使得廣大大學(xué)生按照自己構(gòu)建的案例不僅能快速地搭建一套具體的控制管理系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)具體的控制性問題解決方案，而且還能隨時(shí)修改控制算法、控制參數(shù)，觀察其增加和減少控制量的作用和效果。

2 倒立擺課程案例的建設(shè)優(yōu)勢

根據(jù)線性系統(tǒng)理論課程案例建設(shè)遵循的真實(shí)性、代表性、完整性及詳細(xì)性原則，倒立擺系統(tǒng)作為日常生活生產(chǎn)常用且典型的多變量系統(tǒng)，倒立擺入選線性系統(tǒng)理論案例庫具有一定的優(yōu)勢。倒立擺系統(tǒng)主要包括系統(tǒng)建模、分析與控制等內(nèi)容，嵌合線性系統(tǒng)理論課程多個(gè)基礎(chǔ)章節(jié)知識，滿足教學(xué)案例選擇的完整性及詳細(xì)性原則。具體如下。

2.1 案例選擇的實(shí)用性

有關(guān)倒立擺系統(tǒng)的研究也有很大的實(shí)際價(jià)值，常見的各種有關(guān)重心和支點(diǎn)問題的分析和控制，甚至航天器和各種云伺服電機(jī)的分析和控制，都和倒立擺控制問題不謀而合[5]。因此，對其穩(wěn)定控制系統(tǒng)的研究價(jià)值是在實(shí)踐中存在的，這里有更具應(yīng)用性的場景，例如，海上鉆井平臺穩(wěn)定控制，導(dǎo)彈陣地控制，機(jī)器人雙腿行走結(jié)構(gòu)等，由此可知，將倒立擺系統(tǒng)作為教學(xué)案例非同尋常的實(shí)際價(jià)值和理論價(jià)值。

2.2 控制對象的代表性

倒立擺系統(tǒng)具有明確的原理和較易于實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)，倒立擺系統(tǒng)作為多變量系統(tǒng)的代表，可以將多變量控制系統(tǒng)理論中存在的復(fù)雜問題，通過在現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)室條件下搭建來進(jìn)行試驗(yàn)來解決和研究。針對課堂教學(xué)線性系統(tǒng)理論的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，從?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母拍钊タ紤]，倒立擺系統(tǒng)自然會滿足需求，還被視為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮跀?shù)控技術(shù)中的應(yīng)用和推廣。

2.3 建設(shè)內(nèi)容的完整性

倒立擺系統(tǒng)可以分為兩類，單級倒立擺和多級倒立擺，根據(jù)Lagrange方程可以分別建立這兩類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;討論有限時(shí)間和無限時(shí)間情形的線性二次型最優(yōu)控制問題，給出線性二次型最優(yōu)問題的算法、類型、最優(yōu)解的形式及屬性，分析矩陣形代數(shù)方程的解法;單級和多級倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制器由線性二次型最優(yōu)控制理論所給出，進(jìn)而在控制器的作用下完成倒立擺系統(tǒng)仿真;硬件實(shí)現(xiàn)單級和多級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過系統(tǒng)建模、控制實(shí)現(xiàn)、結(jié)果仿真、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生從中感受案例教學(xué)的實(shí)踐性成果。

3 倒立擺課程案例的建設(shè)內(nèi)容

線性系統(tǒng)理論作為線性系統(tǒng)的時(shí)域理論，主要是以狀態(tài)空間方法為主對線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。主要內(nèi)容包括：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，系統(tǒng)的分析理論，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論。倒立擺的模型建立、分析和控制的流程如圖1所示。根據(jù)線性系統(tǒng)理論的課程內(nèi)容安排，倒立擺系統(tǒng)課程案例的建設(shè)內(nèi)容如下。

3.1 倒立擺實(shí)驗(yàn)器材

單級和多級倒立擺主要包括其機(jī)械結(jié)構(gòu)、PCI-8333數(shù)據(jù)采集卡、驅(qū)動電路板、供電電源板組成。倒立擺機(jī)械結(jié)構(gòu)有四部分組成。PCI-8333上的中斷源實(shí)現(xiàn)位置和角度的定時(shí)采樣;用12位的A/D實(shí)現(xiàn)位置和擺桿角度的采樣;使用12位的D/A實(shí)現(xiàn)控制器控制信號的輸出。驅(qū)動板能夠?qū)崿F(xiàn)的是數(shù)據(jù)采集、濾波、PWM脈寬調(diào)制的輸出及功率放大等。分別采用電源芯片LM1812、LM7912、LM7805、MAX876、LM338，設(shè)計(jì)相應(yīng)的電源電路。倒立擺控制系統(tǒng)的控制程序是在VC條件下編譯的，模塊化程序的引入使得后續(xù)開發(fā)更加容易。

3.2 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立

具有代表性的單級倒立擺系統(tǒng)，整個(gè)后支架、轉(zhuǎn)子和其他裝置安裝在固定導(dǎo)軌、發(fā)動機(jī)底座的鋼骨架結(jié)構(gòu)上。在建立模型時(shí)，必須忽略機(jī)械元件的次要元件。根據(jù)拉格朗日方程可以去建立實(shí)際所需系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;根據(jù)不同基準(zhǔn)的要求，進(jìn)一步簡化所得到的數(shù)學(xué)模型，并且也可以使用狀態(tài)空間表示法來表示系統(tǒng)模型。

3.3 能控性和能觀性檢驗(yàn)

不同的控制手段和方法去控制不同種類的倒立擺，已經(jīng)成為最具有歷史和挑戰(zhàn)性的研究課題之一。對線性時(shí)不變系統(tǒng)來說，構(gòu)造能控性判別陣，可由其秩驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，如若該矩陣具有滿秩的特性，則說明系統(tǒng)能控。類似的方法是構(gòu)造能觀性判別陣，并由其秩來驗(yàn)證系統(tǒng)的能觀性，如若該矩陣具有滿秩的特性，則說明系統(tǒng)能觀。

3.4 線性二次型最優(yōu)控制

線性二次最優(yōu)控制理論是指技術(shù)上最有意義、理論上最綜合的線性系統(tǒng)理論，以及系統(tǒng)綜合合理性的優(yōu)化問題，其特點(diǎn)是系統(tǒng)控制的必要性，在這種情況下，首先討論有限時(shí)間條件下的線性二次最優(yōu)控制，其中給出了線性二次最優(yōu)問題的形式和屬性，然后給出了無限時(shí)線性二次最優(yōu)公式和類型，最優(yōu)解的形式和屬性。將線性二次最優(yōu)控制問題歸結(jié)為求解矩陣代數(shù)方程，最后討論了矩陣代數(shù)方程的求解方法。

3.5 極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)

為了更好地使單級和多級倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)達(dá)到符合所需要的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，需要把單級和多級倒立擺系統(tǒng)的閉環(huán)和穩(wěn)態(tài)極點(diǎn)都配置到所期望的位置上，而這種閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置可由極點(diǎn)配置控制器自行設(shè)計(jì)的狀態(tài)回饋控制器來實(shí)現(xiàn)。首先，在倒立擺系統(tǒng)的建模中已經(jīng)檢測到驗(yàn)證了系統(tǒng)是一個(gè)完全能控而又能觀的系統(tǒng);隨后，根據(jù)系統(tǒng)的要求，使用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)選擇在留有一定余量的位置，再經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)分析即得到預(yù)期的閉環(huán)極點(diǎn);最后，將計(jì)算所得的預(yù)期期望閉環(huán)極點(diǎn)代入特征方程組，從而得到反饋增益矩陣。

3.6 LQR控制器的設(shè)計(jì)

LQR控制器的設(shè)計(jì)思想是通過優(yōu)化線性系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)從而設(shè)計(jì)出目標(biāo)極小的控制器[6]。根據(jù)系統(tǒng)線性條件下的狀態(tài)空間方程，使得性能指標(biāo)函數(shù)能夠取得最小，進(jìn)一步得到系統(tǒng)的控制量，利用求解Riccati代數(shù)方程計(jì)算出對稱矩陣和狀態(tài)反饋陣。在考慮實(shí)際系統(tǒng)中存在干擾、模型不確定性以及實(shí)際系統(tǒng)存在的限制的情況下，對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真結(jié)果的分析與研究，結(jié)果證明所設(shè)計(jì)的單級、二級、三級倒立擺控制器具有良好的魯棒性能與高度的抗干擾能力。

4 結(jié)束語

通過典型的倒立擺線性系統(tǒng)仿真案例的分析和設(shè)計(jì)，學(xué)生不僅能直觀地認(rèn)識、理解倒立擺線性系統(tǒng)基本的構(gòu)造和實(shí)際操作原理，而且能全面且深入地認(rèn)識理解狀態(tài)空間的建模、能控能觀性判斷、李亞普諾夫穩(wěn)定性理論、極點(diǎn)配置方法和LQR控制器的設(shè)計(jì)等線性系統(tǒng)的理論實(shí)踐內(nèi)容，熟練地選擇并使用仿真軟件。該實(shí)踐案例豐富了其教學(xué)內(nèi)容，大大提高了教學(xué)質(zhì)量，提升了本專業(yè)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的理論知識來分析和解決實(shí)際工程問題的能力。

參考文獻(xiàn)（References）：

[1] 張大克，邢化明，張立東，等.基于數(shù)學(xué)技術(shù)培養(yǎng)的研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革[J].中國輕工教育，2020（2）： 76-79

[2] 吳小娟，黃洋.《線性系統(tǒng)理論》課程多元化教學(xué)探索[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2020，19（4）：204-205

[3] 張啟敏，馬婧英，王戰(zhàn)平.案例教學(xué)法在現(xiàn)代控制理論課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊，2020（6）：113-114

[4] 楊迎花，王華靜，謝運(yùn)甫，等.有機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中課程思政的探索與實(shí)踐[J].中國輕工教育，2021（1）：73-76

[5] 王杰，尹慧琳，伍淑莉.基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的倒立擺控制問題研究[J].信息通信，2019（5）：31-33

[6] 周勇.環(huán)形倒立擺系統(tǒng)改進(jìn)遺傳算法的LQR控制研究[J].機(jī)械工程與自動化，2020（3）：31-32