葉 軍 陳建能 喻陳楠 沈姍姍 薛明瑞 葉志超

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術學院機電工程學院， 紹興 312000; 2.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018)

0 引言

仿生手指機構是拾取機器人和人體假手的重要組成部分，并廣泛地運用于生產和生活實踐中。為了適應不同的需求，學者們設計了多種構型和驅動方式的仿生手指機構[1-3]。由于手指關節(jié)數(shù)量、緊湊性等限制，仿生手指各關節(jié)無法進行單獨驅動，為此欠驅動機構和單驅動機構常常被用于設計仿生手指機構。李小彭等[4]基于變胞原理提出了一種欠驅動仿生手，3個關節(jié)可以實現(xiàn)2種不同的工作模式。劉今越等[5]提出了一種關節(jié)可鎖緊的單腱欠驅動機構，并完成手指傳動機構和腱繩張緊機構的設計。SUN等[6]通過齒輪、桿組和彈簧組成一個欠驅動手指機構，能夠較好地完成耦合和自適應抓取物體。欠驅動手指機構多采用腱繩驅動方式[7]，使得手指機構的承載能力、穩(wěn)定性和精度等都有所降低。

傳統(tǒng)單驅動機構具有承載能力高、精度好、控制簡單等特點，近幾年越來越多學者將其運用于手指機構設計中。BATALLER等[8]采用八桿機構設計了手指外骨骼機構，并將其用于手指康復訓練中。JANG等[9]采用可堆疊的雙四桿機構設計了單驅動的仿生食指機構并進行了運動學分析。LIU等[10]采用五桿周轉機構設計了具有高承載能力的仿生手指機構并進行了相關試驗。GUI[11]提出了基于肢體運動識別的單驅動八桿機構設計方法，并將其用于手指機構設計中。韓建友等[12-13]提出了基于解域綜合的單驅動平面六桿和八桿手指機構設計方法，并依據(jù)力傳遞性能選取了最佳參數(shù)。然而現(xiàn)有傳統(tǒng)單驅動多桿手指機構的結構緊湊性不夠，同時大多數(shù)機構無法實現(xiàn)人類手指關節(jié)運動中的位置和姿態(tài)(以下稱位姿)要求。

針對上述分析的問題，本文提出一種基于三關節(jié)位姿約束的單驅動非圓齒輪五桿手指機構設計方法，以期使得仿手指機構更好地實現(xiàn)人類手指在運動中的位姿要求。

1 單驅動非圓齒輪五桿手指機構組成和求解思路

圖1為單驅動非圓齒輪五桿手指機構，由一對非圓齒輪副和五桿機構組成。其中，非圓齒輪1為固定中心輪，非圓齒輪2中心安裝于鉸鏈點A處，并與桿AB保持固定聯(lián)結，五桿機構OABCD通過鉸鏈點O安裝于機架上。該機構原理為：驅動桿OD在普通電機驅動下相對于機架轉動，從而驅動非圓齒輪2繞著非圓齒輪1做行星運動，并進一步帶動連桿AB做平面運動，最終實現(xiàn)整體機構進行平面仿手指運動。相比較于圖2所示的六桿手指機構，該機構采用齒輪機構具有更好的緊湊性和傳力性，同時非圓齒輪副傳動的多樣性賦予了該機構更高的設計靈活性。最佳仿生手指機構能夠完全實現(xiàn)人類的手指運動位置和姿態(tài)要求，為此本文中以三關節(jié)位姿為約束，建立非圓齒輪五桿機構運動綜合方法，最大限度地實現(xiàn)人類手指運動中的位置和姿態(tài)要求。

圖1 單驅動非圓齒輪五桿手指機構組成Fig.1 Composition of 1-DOF non-circular gear five bar finger mechanism1、2.非圓齒輪副 3.驅動桿OD 4.連桿AB 5.末端桿BP 6.連桿DC

圖2 六桿手指機構組成Fig.2 Composition of six bar finger mechanism1.連架桿O1E 2.驅動桿OD 3.連桿AC 4.連桿AB 5.末端桿BP 6.連桿DC

本文單驅動非圓齒輪五桿手指機構求解思路為：首先選取三關節(jié)的若干個位姿作為初始約束條件，如圖3a所示。以給定的三關節(jié)位姿為約束，求解滿足約束條件要求的鉸鏈點A和B參數(shù)，得到一個五桿機構，如圖3b所示。最后，根據(jù)驅動桿OD和連桿AB的轉角關系，求解滿足給定三關節(jié)位姿要求的非圓齒輪副，得到單驅動非圓齒輪五桿手指機構，如圖3c所示。

圖3 單驅動非圓齒輪五桿手指機構求解思路Fig.3 Solution idea of 1-DOF non-circular gear five bar finger mechanism1、2.非圓齒輪 3.驅動桿OD 4.連桿AB 5.未端桿BP 6.連桿DC

2 三關節(jié)位姿約束的非圓齒輪五桿機構設計方法

2.1 三關節(jié)位姿約束的運動映射建立

圖4 五桿機構示意圖Fig.4 Schematic of five bar mechanism

圖4為五桿機構示意圖，在鉸鏈點O建立動坐標系X2UY2并隨著驅動桿OD運動而運動，在五桿機構的位姿點P上建立動坐標系X3EY3并隨著連桿CP運動。當給定三關節(jié)的若干位姿為約束條件時，即已知五桿機構桿OD、DC、CP長度以及若干個運動位姿，只需求解出鉸鏈點A和B坐標位置就可得到滿足三關節(jié)位姿約束的五桿機構。

通過三關節(jié)約束位姿條件可知鉸鏈點O的安裝位置O(a,b)、第一桿OD的轉角φ1(逆時針為正)、末端位置點P(g,h)以及方位角φ2，為此第一坐標系X1OY1下位姿點P(g,h)在第二坐標系X2UY2中點P(e,f)表示為

(1)

其中

υ=φ1-φ2

j1=(g-a)cosφ1-(b-h)sinφ1
j2=(h-b)cosφ1+(a-g)sinφ1

由圖4可知，鉸鏈點D和A在動坐標系X2UY2為定點，因此在動坐標系X2UY2下，該五桿機構就等效為圖5所示的四桿機構。因此，在已知若干三關節(jié)(即桿OD、DC和CP三關節(jié))位姿時，求解五桿機構未知鉸鏈點A和B的問題，可通過式(1)轉換成為已知桿DC和桿CP若干位姿的2R桿組運動綜合求解問題。

圖5 在動坐標系X2UY2中的四桿機構Fig.5 Four bar mechanism in dynamic coordinate system X2UY2

根據(jù)剛體運動學映射相關理論[14-15]，第二坐標系X2UY2下的末端位姿點P(e，f，v)可采用齊次坐標(Z1，Z2，Z3，Z4)進行表達，具體為

(2)

由于動坐標系X3EY3建立在位姿點P上并隨桿CP運動，那么五桿機構中的坐標點B在動坐標系X3EY3下為定點B(x,y)，在第二坐標系X2UY2下點B坐標(XB，YB)可以表示為

(3)

即

(4)

2.2 五桿機構運動綜合求解

由圖5可知，在第二坐標系X2UY2下點B(XB，YB)被約束在以點A為圓心、桿AB為半徑的圓周上，為此點B的平面運動軌跡可以表示為

(5)

其中a0、a1、a2、a3為圓的參數(shù)，a0≠0。

將式(5)用動坐標系X3EY3下的定點B(x,y)進行表示，即將式(4)代入式(5)可得

(6)

式(6)中，令p1=2a0，p2=-2a0x，p3=-2a0y，p4=2a1，p5=2a2，p6=2(a2x-a1y)，p7=-(a1x+a2y)，p8=0.5(a3+a0x2+a0y2)，通過公式整理可得

(7)

通過幾何關系可以求解動坐標系X3EY3下的定點B(x,y)為

(8)

并可通過式(3)得到第二坐標系X2UY2下坐標點B(XB，YB)。

通過式(5)中圓心點的求解，得到第二坐標系X2UY2下坐標點A(XA，YA)為

(9)

2R桿組夾角為

(10)

式中φ1——第二坐標系下第二桿AB和水平線之間的夾角

φ2——第二坐標系下第三桿BC和水平線之間的夾角

由式(8)、(9)可知，只要求解出pi(i=1,2，…，8)可最終得到滿足三關節(jié)約束的五桿機構參數(shù)。當給定n組三關節(jié)位姿約束條件，最終通過式(6)得到一個過約束的線性方程組

(11)

其中

對于一個過約束線性方程組，主要采用方法有QR分解法、高斯消元法以及奇異值分解法(SVD)等數(shù)學方法。為了求解最小二乘法意義上的一般解空間，本文采用奇異值分解法求解線性方程組，滿足式(7)所示的附加約束條件的特定值。由于pMTMp=0，該線性方程組求解問題變?yōu)榍蠼釳TM的特征向量V的問題。根據(jù)奇異值分解過程，將求解出MTM的單位特征向量按特征值由小到大排列為v1,v2,…,v8。設α,β,γ,…,δ為若干系數(shù)，則一般解空間為

p=αv1+βv2+γv3+…+δv8

(12)

為了求解第二坐標系X2UY2下的桿AB，至少要選取3個單位特征向量，式(7)的兩個約束條件(方程組)才有解。對于過約束的方程組(即存在4組約束條件以上)，必然存在著誤差，而特征值反映了誤差，為此本文選取4個最小的單位特征向量，組成解空間為

q=αv1+βv2+γv3+κv4

(13)

將式(12)代入到式(7)中進行求解時，需要對其中的一個參數(shù)進行賦值處理，即

κ=cotω(ω∈(0,π))

(14)

通過上述的計算過程，可以得到第二坐標系X2UY2下桿AB的鉸鏈點A和B曲線，再通過式(1)求解在第一坐標系X1OY1下的鉸鏈點A和B曲線，如圖6所示。在曲線上選取對應點得到鉸鏈點A和B的坐標值，并以第一個位置點機構參數(shù)為五桿機構的最終參數(shù)。

圖6 五桿機構鉸鏈點A和B曲線示意圖Fig.6 Schematic of hinge points A and B curves of five bar mechanism

當三關節(jié)位姿約束條件大于4組時，所求的五桿機構無法精確實現(xiàn)所有位姿點，存在著一定誤差。在第二坐標系X2UY2下，誤差出現(xiàn)在桿AB和BP求解過程中，而位姿點P在三關節(jié)位姿約束時的位置為

(15)

式中l(wèi)AB——桿AB的長度lBP——桿BP的長度

該五桿機構誤差是實際位姿點位置與目標位置點之間的誤差，為此各點誤差和平均誤差為

(16)

式中L1i——各點誤差em——平均誤差

2.3 位姿約束要求的非圓齒輪模型建立

由圖1和圖3可知，單驅動非圓齒輪五桿機構是由非圓齒輪配合完成具體的平面運動，因此需要設計滿足三關節(jié)位姿約束的非圓齒輪副。由于非圓齒輪單方向轉動，需要先判定與齒輪旋轉相關兩桿是否符合齒輪傳動要求。由于三關節(jié)位姿約束條件是給定的，桿OA的轉動方向已知，需判定桿AB相對于桿OA的順序缺陷，即判定坐標系X2UY2中式(10)中所得轉角φ1是否滿足轉動順序和方向。順序缺陷的判定方法即為判別轉角φ1是否按從小到大進行排列。

由具體結構可知，非圓齒輪副的作用是實現(xiàn)連桿OA和連桿AB之間的轉角關系，為此需構造兩桿之間的傳動關系。根據(jù)2.2節(jié)的五桿機構運動綜合求解，可以得到坐標系X1O1Y1中若干個桿OA轉角θ1i(i=0,1,…,n)和桿AB轉角θ2i，所構造的兩桿傳動關系必須經(jīng)過這些對應點，本文通過三次樣條曲線進行插值擬合構造兩桿轉角關系為

θ2=G(θ1)

(17)

具體的過程詳見文獻[16]。

根據(jù)上述所得轉角關系曲線，可以計算得到非圓齒輪副傳動比為

(18)

為此，在已知桿OA長度為2a和非圓齒輪傳動比函數(shù)時，根據(jù)非圓齒輪傳動原理，主動齒輪、從動齒輪的節(jié)曲線方程為[17-19]

(19)

3 單驅動非圓齒輪五桿手指機構的IO方程

建立單驅動非圓齒輪五桿手指機構的IO方程，便于研究該機構末端連桿的軌跡和姿態(tài)，分析手指機構的運動學特性。

圖7為單驅動非圓齒輪五桿手指機構運動簡圖。設桿OA與水平夾角為ψ1，桿AD與桿AB夾角為ψ2，桿AD與桿DC夾角為ψ3。

圖7 單驅動非圓齒輪五桿機構的運動簡圖Fig.7 Kinematic diagram of 1-DOF non-circular gear five bar finger mechanism

由上述的單驅動非圓齒輪五桿機構綜合，可以得到該機構的具體結構參數(shù)以及初始條件。設co、ca、cb、cc、cd、cp分別是鉸鏈點O、A、B、C、D以及末端點P的坐標。當該機構的輸入轉角為ψ1時，可以得到鉸鏈點A和D的坐標為

(20)

式中l(wèi)OA——桿OA長度lOD——桿OD長度

η1——固定夾角∠DOA

而根據(jù)非圓齒輪傳動原理和式(17)可知

ψ2-ψ20=G(ψ1-ψ10)

(21)

式中ψ10、ψ20——初始安裝角度

在圖7中四桿機構ABCD的任意一個位姿，都可通過Freudenstein方程將四桿機構ABCD中的輸入與輸出之間寫成無量綱形式[20]

k1-k2cosψ2-k3cosψ3+
cosψ3sinψ2-cosψ2sinψ3=0

(22)

其中

(23)

式中k1、k2、k3——參數(shù)

計算得到ψ3，由此可以計算得到鉸鏈點C和B坐標為

(24)

其中

為此，最終位姿點P的坐標為

cp=cc+R(η2)2lCP

(25)

其中

式中η2——固定夾角∠PCB

根據(jù)上述過程，可以建立輸入桿OA轉角與位姿點P之間的IO方程。

4 設計實例與試驗

根據(jù)相關文獻中的人體手指長度，選擇約50百分位手指尺寸作為樣本，具體如表1所示。以掌指關節(jié)為原點并通過試驗數(shù)據(jù)得到手指在平面內運動軌跡，從中取整并提取了5個三關節(jié)處轉角值(表2)，末端位姿點可由此轉角和手指尺寸計算得到。該手指機構是以第一桿轉角、末端位姿點、安裝原點為初始條件，構建滿足三關節(jié)位姿約束的五桿機構，然后求解滿足約束要求的非圓齒輪副。

表1 人體手指長度選取Tab.1 Selection of human finger length

表2 三關節(jié)的5個轉動角Tab.2 Five rotation angle of three finger joints (°)

首先將5個末端位姿點通過式(1)轉換為動坐標X2UY2下的坐標點，構建求解鉸鏈點A和B的系數(shù)矩陣，并由矩陣奇異值分解方法得到如表3所示特征值，并根據(jù)2.2節(jié)最終求解出鉸鏈點A和B曲線，如圖8所示。

表3 給定的5個位姿點的特征值Tab.3 Eigenvalues of five position and pose points

為了得到合適的手指桿機構結構參數(shù)，將鉸鏈點A的選取限定在一定的范圍之內(xA∈[12 mm,25 mm]，yA∈[-10 mm，8 mm])，并限定40 mm≤lAB≤50 mm，10 mm≤lBC≤20 m。在限定范圍內，通過順序缺陷、桿長判定等其他約束條件得到最終可行解域，如圖9所示。

圖9 鉸鏈點A和鉸鏈點B的可行解域Fig.9 Feasible solution domain of hinge points A and B

選取鉸鏈點A為(15.13，-1.21)mm，鉸鏈點B為(60.47,13.69)mm，計算得到連桿OA和連桿AB的轉角，再由三次樣條曲線構建非圓齒輪副的傳動比曲線，如圖10所示。通過連桿OA長度以及傳動比曲線，計算得到非圓齒輪節(jié)曲線并構造齒輪輪廓，如圖11所示。根據(jù)上文中單驅動非圓齒輪五桿手指機構的IO方程，運用Matlab軟件進行編程計算得到圖12 所示的手指機構位姿點P運動軌跡，其中該機構位姿點位置誤差為0.236 mm，無姿態(tài)誤差。

圖10 非圓齒輪副的傳動比Fig.10 Transmission ratio of non-circular gear pair

圖11 非圓齒輪副齒廓Fig.11 Tooth profile of non-circular gear pair

圖12 手指機構的末端運動軌跡Fig.12 End motion trajectory of finger mechanism

根據(jù)上述機構尺寸參數(shù)，采用Creo軟件建立三維模型，得到如圖13所示的手指機構三維模型。

圖13 新型手指機構的三維模型Fig.13 3D model of new finger mechanism

為了進一步驗證本文設計方法的正確性和可行性，通過光敏樹脂光固化成型工藝得到了手指機構樣機并建立了試驗平臺，然后在運動過程中采集手指機構末端點運動過程的8個位置點的坐標和角度(包括給定5位姿點處)。圖14為手指機構在給定的5個位姿點處的狀態(tài)，表4為5位姿點處的平均誤差。

圖14 手指機構的5位置及其軌跡Fig.14 Five position points and their trajectories of new finger mechanism

通過5次手指運動試驗采集數(shù)據(jù)求取平均值得到具體數(shù)據(jù)，并以此數(shù)據(jù)采用Matlab進行多項式擬合最終得到手指機構的實際軌跡，如圖15所示。

試驗結果表明，所設計的手指機構可以很好地

表4 手指機構的誤差Tab.4 Error of new finger mechanism

圖15 手指機構的實際和理論軌跡對比Fig.15 Comparison of actual and theoretical trajectories of new finger mechanism

滿足三關節(jié)位姿約束要求，理論和實際末端運動曲線大致相同。其手指末端的最大位置誤差為1.1 mm，最大姿態(tài)誤差為1.2°，其主要由手指關節(jié)的制造、裝配誤差所引起。

5 結論

(1)通過運動學映射理論以及SVD分解方法求解了三關節(jié)約束的五桿機構鉸鏈點A和B曲線，并結合非圓齒輪傳動理論進行了手指機構運動綜合。根據(jù)手指樣機驗證了該理論的正確性和可行性。

(2)建立了單驅動非圓齒輪五桿手指機構的IO方程，并通過Matlab程序求解出理論軌跡。樣機手指機構的末端的最大位置誤差為1.1 mm，最大姿態(tài)誤差為1.2°，其理論和實際的末端運動曲線大致相同，驗證了本文所提出的設計方法。

(3)所求解的鉸鏈點曲線能滿足所提出的三關節(jié)位姿約束要求，可根據(jù)實際仿生手指的設計目標和用途，選取合適機構參數(shù)，滿足不同設計要求并為進一步的手指機構結構優(yōu)化提供基礎。