雒向東，海 波，趙宇杰，梁 曄

(1.蘭州城市學院 電子工程學院，甘肅 蘭州 730070； 2.《甘肅高師學報》編輯部，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州城市學院 信息工程學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近幾十年來，自Hansen首次引進矢量波函數(shù)來解決某些電磁場問題[1-3]，Stratton驗證了這些函數(shù)的有效性[4]，這些函數(shù)的使用方法進一步被Stratton、Morse、Feshbach等人推廣[5]，戴振鐸、宋文淼、魯述等就電磁理論中的并矢格林函數(shù)(DGF)也做了大量的研究[6-13]，使得DGF方法被廣泛地應用于電磁理論及工程的各個領域。毫無疑問，DGF現(xiàn)已成為電磁理論中的一個重要概念和解決問題的方法。用DGF方法解決各種電磁場工程問題，其關鍵在于求出DGF表達關系，因此DGF的研究和求解自然成為人們關注的熱點問題。由于不同的正交曲線坐標系的本征波函數(shù)的展開各有特殊性，使得DGF研究具有復雜性，國內(nèi)外學者對此均作了大量研究，如對規(guī)則形狀波導、常用坐標系等問題已形成較一致的意見。但有些問題，如柱坐標系中的本征展開問題仍存在爭議，對該問題的報道也比較少[14-18]。本文就圓柱波導DGF的構建、正交歸一性質及其在圓柱波導中的應用做了詳細研究，其研究結論可為基于DGF方法解決電磁場工程等問題提供理論和技術支持。

1 構建具有離散本征值的圓柱矢量波函數(shù)

1.1 圓柱坐標系中的標量波函數(shù)

建立如圖1所示的圓柱波導示意圖。圓柱截面半徑為a，坐標變量用r、φ、z來表示。用pnm和qnm分別表示整階貝塞爾函數(shù)Jn(x)和該函數(shù)微商J′n(x)的根。

圖1 圓柱波導示意圖

首先研究齊次標量亥姆霍茲方程，從而得到柱坐標系的標量波函數(shù)。用分離變量法解標量波動方程：

(1)

(2)

設式(2)的解為：

Φ(r，φ，z)=R(r)Φ(φ)Z(z)。

(3)

對式(3)分離變量，得出的4個分量方程為：

Φ″+n2Φ=0，

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)和式(5)中的Φ和Z的解為諧函數(shù)，可能的取值分別為：

cosnφ，sinnφ，einφ，e-inφ(n=0，1，2，3，…)，

(8)

coshz，sinhz，eihz，e-ihz。

(9)

式(6)中，R是n階貝塞爾函數(shù)，方程解的形式為：

(10)

(11)

或者可寫成：

(12)

式(12)中，“+”表示沿z反方向傳播的波，“-”表示沿z正方向傳播的波，下標e、o分別表示函數(shù)為偶函數(shù)和奇函數(shù)。在圓波導內(nèi)，假設波沿z軸方向導行，沿φ、r方向均為駐波，其基本波函數(shù)可表示為[19]：

(13)

式(13)中，除n=0的情況外，每一組分離常數(shù)對應兩種不同極化場的模式，稱為模式的極化簡并。

1.2 圓柱坐標系中的矢量波函數(shù)

基于圓柱坐標系中的標量波函數(shù)，定義兩類圓柱矢量波函數(shù)，它們在r=a時都滿足矢量狄里克雷邊界條件。

兩類圓柱矢量波函數(shù)定義為[6]：

(14)

其中，

(15)

(16)

其中，

(17)

兩組矢量波函數(shù)的全表達式為：

(18)

(19)

描述圓柱波導中的磁場，可采用的矢量波函數(shù)為：

(20)

(21)

函數(shù)M(h)和N(h)滿足下列關系[6]：

(22)

(23)

1.3 圓柱坐標系中矢量波函數(shù)的正交歸一性

圓柱矢量波函數(shù)具有正交性，可舉例證明如下：

(24)

要證明式(24)正交關系成立，首先討論下面積分：

(25)

將式(18)及(19)代入式(25)可得：

e-i(h-h′)zdV。

(26)

第一種情形：

(27)

(28)

第二種情形：

(29)

(30)

這兩種情形推證中都應用了以下公式[6]338：

(31)

在以上兩種情況的推證中，由于Jn(λa)=0，故I1=I2=0，所以有：

(32)

矢量波函數(shù)正交歸一關系總結如下(不再證明)：

(33)

(34)

(35)

式(34)和(35)中，δ0表示對n的克羅內(nèi)克δ函數(shù)。式中體積分是對無限長波導的整個區(qū)域的積分，當n≠n′時，在φ域中所有圓柱矢量波函數(shù)都是正交的，這些正交關系這里不再證明。

2 圓柱波導的并矢格林函數(shù)

(36)

式(36)中，求和指數(shù)m、n與關系式pnm=λa和qnm=μa相聯(lián)系，上式可簡化記為：

(37)

Nenμ(-h′)·Menλ(h)Benλ(h)]dV，

(38)

(39)

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分別與式(36)作前標積，同樣可分別求得其系數(shù)為：

(40)

(41)

(42)

四個系數(shù)可簡寫為：

(43)

(44)

(45)

假設磁型并矢格林函數(shù)為：

(46)

將式(45)和(46)代入DGF滿足的麥克斯韋方程[20]：

(47)

求解系數(shù)得：

(48)

(49)

將系數(shù)表達式(48)和(49)代入式(46)得：

(50)

用圍線積分法計算[21]，對TE模當：

(51)

根據(jù)式(50)解得：

(52)

對TM模，當：

(53)

根據(jù)式(50)解得：

(54)

(55)

式(55)中上行符號對應z>z′，下行符號對應z

(56)

式(56)中，kμ、kλ表示兩組模式相應的導波函數(shù)。

(58)

δ(r-r′)=δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)，

(59)

(60)

(61)

(62)

式(62)中使用了兩個單位階躍函數(shù)為：

(63)

(64)

進一步推導得：

(65)

由廣義函數(shù)理論知：

?U(z-z′)=ezδ(z-z′)，

(66)

?U(z′-z)=-ezδ(z-z′)。

(67)

將式(66)、式(67)代入式(65)得：

(68)

利用式(60)，式(68)又可寫成：

(69)

式(69)對于所有ρ，φ，z值都適用，由于下式成立：

δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′)=δ(R-R′)。

(70)

把式(69)和式(70)代入式(61)得：

(71)

將式(55)代入式(71)得圓柱波導第一類電型DGF為：

(72)

3 結語

利用分離變量法獲得圓柱坐標系中的標量波函數(shù)，進而研究圓柱系中的矢量波函數(shù)，部分地證明這些函數(shù)的正交歸一化性質，利用這些性質并借助Ohm-Rayleigh方法詳細推證圓柱坐標系中圓柱波導的第一類電型并矢格林函數(shù)關系，利用此關系并借助第一、二類電型并矢格林函數(shù)對稱關系獲得第二類電型并矢格林函數(shù)，這些電型并矢格林函數(shù)對解決在圓柱波導壁上用開口孔徑場激勵的波導內(nèi)場等問題可提供理論依據(jù)和指導方法[22]。