謝小林

（重慶市巴南中學(xué)校，重慶 401320）

隨著負(fù)數(shù)概念的引入，七年級學(xué)生以前在自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)等數(shù)字學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)問題逐步得到解答，而負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅完善了數(shù)字的概念，也為下一步數(shù)軸的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。然而負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)也給七年級學(xué)生帶了許多困擾，使他們在領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)時出現(xiàn)比較多的數(shù)學(xué)錯誤，有的造成學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不良影響，以至嚴(yán)重影響到后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。對此，有必要分析其原因，提出數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)習(xí)指導(dǎo)對策。

一、學(xué)生領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)的困難

中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》最早提出負(fù)數(shù)運算法則，負(fù)數(shù)是指比正數(shù)與零都小的數(shù)，在生活中，負(fù)數(shù)代表與正數(shù)相反的數(shù)，如支出、減少、消費等內(nèi)容，因此學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)對學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中的生活內(nèi)容有重要的數(shù)學(xué)運用作用。然而，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)時，表現(xiàn)出不同程度的障礙，如在“小王現(xiàn)在每個月的收入比以前增加了-522元”的實際問題中，學(xué)生對“增加了-522元”的出現(xiàn)感到不解，往往困惑于為什么增加了，增量卻是負(fù)數(shù)，認(rèn)為每個月增加最少也應(yīng)該是0元（即沒有增加）。實踐表明，學(xué)生領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)的困難主要有以下幾種：

3.對數(shù)形結(jié)合時與負(fù)數(shù)有關(guān)的結(jié)論理解困難。七年學(xué)生在理解負(fù)數(shù)的相關(guān)結(jié)論時常常感到困難，例如，在負(fù)數(shù)大小比較時，對“絕對值越大的數(shù)反而小”不適應(yīng)。尤其是在數(shù)形結(jié)合時，學(xué)生對“在數(shù)軸上原點左邊離原點越遠(yuǎn)的點所表示的數(shù)反而越小”感到困惑。

4.數(shù)系擴(kuò)充后對運算結(jié)果的考慮方式困難。由于負(fù)數(shù)的引入，在確定一個數(shù)時，我們要先定符號，再算絕對值。學(xué)生對這種新的考慮方式很不適應(yīng)。尤其是七年級學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之初，學(xué)生常常在確定結(jié)果時，直接將符號問題撇開不管，只考慮絕對值部分；另一方面學(xué)生對有理數(shù)的加法法則、乘法法則、除法法則中關(guān)于符號的規(guī)定也不易理解。

5.解方程時存在移項易犯符號錯誤的困難。在解方程時，移項要變號，但是很多學(xué)生在移項時常常忘記變號。

6.對帶負(fù)號的式子的正負(fù)性判斷困難。比如有的學(xué)生面對式子“-a”的時候，始終認(rèn)為這是一個負(fù)數(shù)。簡單的帶負(fù)號的式子理解起來是這樣，復(fù)雜的式子學(xué)生理解起來就更困難了。

7.負(fù)數(shù)認(rèn)知活動中發(fā)現(xiàn)和理解情境中具有相反意義的量的困難。如用0表示參照標(biāo)準(zhǔn)和用負(fù)數(shù)表示參照標(biāo)準(zhǔn)兩端具有相反意義的量的困難，學(xué)生直線上的座位抽象出數(shù)軸表示的困難等。

二、學(xué)生領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)困難的原因

1.前后認(rèn)知沖突與思維定勢?！毒耪滤阈g(shù)》最早提出的正負(fù)數(shù)加減法的法則是，正負(fù)數(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之；其異名相除，同名相益。負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)要求學(xué)生在概念、運算法則、運算律、與實際生活的聯(lián)系等方面進(jìn)行重新構(gòu)建，并與前兩個學(xué)段學(xué)過的數(shù)及其運算進(jìn)行良好的對接。負(fù)數(shù)的出現(xiàn)突破了學(xué)生的原有認(rèn)知：正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，對0也需要重新認(rèn)知：0不再僅僅表示沒有，它還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。學(xué)生的前后認(rèn)知發(fā)生沖突，在心理上不能自然地接受負(fù)數(shù)概念的出現(xiàn)。同時受思維定勢的影響，學(xué)生在考慮問題時，仍然按照以前的思維方式和范圍來進(jìn)行，常常只想到正數(shù)和0。比如當(dāng)x2-4 ，求x的值時，學(xué)生往往想到的是+2，對-2的存在直接予以忽略。

2.學(xué)生受自身思維發(fā)展水平限制。七年級學(xué)生正處于從以具體形象思維成分為主向以抽象邏輯思維成分為主的轉(zhuǎn)折期，這種思維發(fā)展水平影響了學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時做出正確的判斷，比如對前述式子“-a”的正負(fù)性的判斷，由于七年級學(xué)生的抽象邏輯思維能力相對較弱，他們往往習(xí)慣于所見即所得，認(rèn)為式子“-a”的a前有一個“-”，所以就認(rèn)為這是一個負(fù)數(shù)，對于“-a”的正負(fù)性依賴于a所代表的數(shù)的正負(fù)性，因這種認(rèn)知比較抽象，所以一些思維發(fā)展水平較差的七年級學(xué)生便感覺難以理解，在做出判斷時犯錯的概率自然就增大了許多。

3.學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好與學(xué)習(xí)方式不正確。一些學(xué)生養(yǎng)成了一些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對一些定義、定理、法則、公式的理解往往局限于背誦條文和模仿范例，而對其適用范圍、前提條件、具體要求往往選擇性忽略，缺少應(yīng)有的思考；有的學(xué)生是因為上課聽講時的不良習(xí)慣和不正確的學(xué)習(xí)方式造成的，比如注意力不集中、不連續(xù)聽講，不看老師的板書、不動筆、只聽不練等；有的學(xué)生在書寫方面存在問題，例如，字跡潦草、書寫不規(guī)范。這些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方式也嚴(yán)重影響了學(xué)生對負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)。

4.負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)本身的特點。歷史上人們對負(fù)數(shù)概念的接受經(jīng)歷了一個漫長的過程，負(fù)數(shù)概念給人們帶來了理解上的困難，如為什么“負(fù)負(fù)得正”，什么是“比沒有還要少”，甚至笛卡爾也認(rèn)為負(fù)數(shù)是一個不合理的數(shù)?！?”號身兼三職：性質(zhì)符號、運算符號、表示相反數(shù)，這雖然給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究帶來了方便，但其產(chǎn)生的負(fù)面效應(yīng)也不容小覷，尤其是負(fù)號與減號使用時的相互轉(zhuǎn)換，給學(xué)生的理解和運用帶來了很大的困難；當(dāng)負(fù)數(shù)和相反數(shù)、絕對值、整式、去括號、一元一次方程等結(jié)合起來時，有的題目本身構(gòu)成就顯得很復(fù)雜，需要較強(qiáng)的觀察、分析、計算、推理等多種能力，這些題目難度超出了學(xué)生能力范圍，使學(xué)生感到負(fù)數(shù)帶來的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)之重。

5.教師教法和教學(xué)進(jìn)度的安排。

（1）一些教師在處理涉及負(fù)數(shù)的問題時教法不當(dāng)，給學(xué)生正確學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)帶來阻礙。比如化簡式子3-2(3x-5)的過程中，對于2前面的“-”的處理，一些教師為訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，一開始就介紹對2及其前面的“-”的不同處理，其中第一種做法是先把2前面的“-”當(dāng)做減號，先用2與括號里面各項相乘，不急于去括號，然后再用去括號的法則去掉括號，第二種做法是將2前面的“-”當(dāng)作性質(zhì)符號，和2一起與括號里各項相乘從而去掉括號。這樣看似很科學(xué)的訓(xùn)練方式卻造成學(xué)生頭腦里兩種解法糾纏不清；特別是第二種做法，學(xué)生要同時面對符號和絕對值的確定以及去括號法則的運用，這對學(xué)生的要求比較高，不少學(xué)生此時形成了認(rèn)知混亂，出錯概率增大。

（2）教師在對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練時提出了過高的要求。教師教學(xué)中提出的要求與學(xué)生的年齡特征和思維發(fā)展水平不相匹配，例如，在有理數(shù)的運算上，很多教師在學(xué)生接觸負(fù)數(shù)后不久，就在數(shù)字的復(fù)雜性、運算技巧、運算速度方面提出了過高的要求，許多學(xué)生在抽象思維能力相對薄弱的情況下被迫進(jìn)入揠苗助長式的教學(xué)環(huán)境中，被弄得苦不堪言。

6.與數(shù)學(xué)相關(guān)的知識缺失。七年級學(xué)生因年齡相對較小，對外界事物接觸不多，對實際生活了解較少，這樣無形中造成他們對一些與數(shù)學(xué)相關(guān)的概念、專業(yè)術(shù)語不理解。比如對足球術(shù)語“凈勝球”，對股票術(shù)語“漲停、跌?！钡?，學(xué)生的認(rèn)知缺失或不足導(dǎo)致他們對實際問題情境中哪些量具有相反意義并不理解，故而在運用數(shù)學(xué)知識解決問題時不能正確地運用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示相關(guān)的量或不能正確運用負(fù)數(shù)的相關(guān)規(guī)則進(jìn)行運算、推理等。

7.學(xué)生數(shù)感、符號意識、觀察力薄弱以及畏難心理。七年級學(xué)生的數(shù)感、符號意識、觀察力沒有得到應(yīng)有的發(fā)展，對負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)形成了一定的思維障礙和心理障礙，這些障礙不斷帶給學(xué)生挫敗感，造成學(xué)生無法順利建立學(xué)習(xí)自信，逐漸產(chǎn)生畏難心理，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)過程難以順利向前推進(jìn)。

三、學(xué)生領(lǐng)會、理解、運用負(fù)數(shù)的有效方法

2.培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)和欣賞數(shù)學(xué)的心態(tài)。鼓勵學(xué)生戰(zhàn)勝負(fù)數(shù)帶來的困難。學(xué)習(xí)的過程，也是與困難進(jìn)行較量的過程，優(yōu)良的意志品質(zhì)對學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來的促進(jìn)十分重要。數(shù)學(xué)家杜賓斯基說過：“數(shù)學(xué)是困難的，不管用什么教學(xué)方法都無法改變這個事實。所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們必須保持一種欣賞的心態(tài)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只有這樣才能逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美?！币虼?，對學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的心理和意志品質(zhì)的培養(yǎng)也要給予足夠的重視，教師要運用自己的教學(xué)智慧，抓住七年級這個大好時機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的欣賞心態(tài)和戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)，比如教師可以在課堂上介紹關(guān)于負(fù)數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)故事，經(jīng)常表揚在負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)時敢于戰(zhàn)勝困難的鮮活例子等。

3.教師在組織教學(xué)時循序漸進(jìn)和遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。教師在組織教學(xué)時，要循序漸進(jìn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。比如前文提到的化簡式子3-2(3x-5)的教學(xué)中，教師傳授的這兩種解法其實都沒錯，關(guān)鍵是傳授的時機(jī)不當(dāng)。教師宜將第一種處理方式持續(xù)一段時間，待學(xué)生掌握得比較牢固后，再訓(xùn)練學(xué)生采用第二種做法 ，這樣循序漸進(jìn)、由簡到繁地推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，學(xué)生接受和掌握起來就容易多了。

4.充分利用數(shù)軸的形象直觀輔助學(xué)生對負(fù)數(shù)相關(guān)結(jié)論的理解。數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，借助數(shù)軸的形象直觀，可以有效地適應(yīng)七年級學(xué)生當(dāng)前的思維發(fā)展水平，加深對負(fù)數(shù)相關(guān)結(jié)論的理解，比如在理解-（-5）=+5時，可以讓學(xué)生利用數(shù)軸找出-5和+5在數(shù)軸上對應(yīng)的點，直觀地體驗到這兩個點關(guān)于原點對稱，從而確信-5與+5互為相反數(shù)，而-5前面添上“-”也表示-5的相反數(shù)，所以自然得到-（-5）=+5。再比如，有的學(xué)生總是對兩個負(fù)數(shù)的大小比較有些認(rèn)知模糊，教師不妨讓學(xué)生利用數(shù)軸來理解記憶，當(dāng)遇到諸如-4.3和-3.4這種數(shù)的大小比較時，讓學(xué)生先習(xí)慣將這兩個數(shù)對應(yīng)到數(shù)軸上，如圖：

然后在頭腦中形成-4.3對應(yīng)的點在左，-3.4對應(yīng)的點在右的具體形象，再根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)定，數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)，這樣，學(xué)生對-4.3＜-3.4這個結(jié)論理解起來就容易許多。

5.放慢起始階段的教學(xué)進(jìn)度。雖然七年級學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)階段積累了一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，但負(fù)數(shù)與他們從具體事物的數(shù)量中獲取的觀念并沒有共同點，他們正經(jīng)歷從具體數(shù)學(xué)向形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折，要想完全解決轉(zhuǎn)折中遇到的問題還需要高度的抽象能力，所以我們不能奢望七年級學(xué)生對負(fù)數(shù)的理解一蹴而就，教師此時需要耐心等待，當(dāng)學(xué)生積累了大量的足夠多的經(jīng)驗后就會對負(fù)數(shù)逐步接受和理解。因此，教師在組織七年級學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時，一定要注意根據(jù)學(xué)生的掌握情況，放慢教學(xué)進(jìn)度，留給學(xué)生足夠的消化和吸收時間。

6.充分發(fā)揮學(xué)習(xí)糾錯功能與榜樣示范引領(lǐng)。數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的APOS理論中提到以下教學(xué)理念：“要注意收集學(xué)生的想法、錯誤和成功之處，努力去理解他們?！彼曰谶@種教學(xué)理念，教師應(yīng)在平時注意多收集學(xué)生在涉及負(fù)數(shù)的問題時常犯的錯誤，然后進(jìn)行分類整理、剖析錯因；教師要采用換位思考的方式，矮化自己的思維水平，努力站在學(xué)生的角度去發(fā)現(xiàn)和思考他們在負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)過程中遭遇的困境，然后思考切實有效的幫扶措施，進(jìn)行及時的、針對性的、有效的強(qiáng)化訓(xùn)練，將學(xué)生頭腦中的錯誤認(rèn)知及時清除和改正過來，這樣做很關(guān)鍵，因為七年級作為初中學(xué)生的起始年級，他們對負(fù)數(shù)的掌握水平嚴(yán)重關(guān)切到后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)自信。教師在處理學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)暴露出來的負(fù)面情況的同時，也可收集自己任教班級中優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的成功經(jīng)驗，在學(xué)生中加以推廣，以榜樣示范引領(lǐng)，進(jìn)行正向激勵，效果往往更好。

7.預(yù)判困難和提前防范。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程也是一個不斷試錯的過程，作為教師，基于自身的教學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)對七年級學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時即將遭遇的困難做出預(yù)判，提前思考對策，防患于未然，比如教師可以在備課的過程中，結(jié)合自己學(xué)生的實際情況，充分思考學(xué)生在負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)過程中即將犯錯的環(huán)節(jié)，教師提前在各個易錯環(huán)節(jié)上精心設(shè)計教案，在練習(xí)題的精選上下足功夫，提前預(yù)防，減少學(xué)生犯錯的概率，甚至讓學(xué)生不犯錯。

8.融合生活問題情境與引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會生產(chǎn)生活。注意將生活中有關(guān)負(fù)數(shù)的問題情境融入平時的教學(xué)中，讓學(xué)生對負(fù)數(shù)知識日積月累，習(xí)以為常。同時，鼓勵學(xué)生多關(guān)注社會生產(chǎn)生活實際，增加閱歷，增強(qiáng)對現(xiàn)實生活的了解。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是大有裨益的。