紀(jì) 剛，史麗楠，伊 鑫，竇志紅，王 飛

（北京航天自動控制研究所，北京，100854）

0 引 言

運載火箭在飛行過程中，根據(jù)時序指令完成多次分離、轉(zhuǎn)級和起控動作，起控動作是液體運載火箭貯箱晃動的激勵因素，液體晃動抑制不好，不僅對箭體造成結(jié)構(gòu)性破壞，而且與剛體運動、彈性振動相互耦合，造成姿控系統(tǒng)失靈。液體大幅度晃動同時對姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度也會產(chǎn)生不利影響，起控平穩(wěn)性在一定程度上決定了后續(xù)飛行的安全性。姿態(tài)快速收斂，可以使火箭速度方向盡快指向理論方向，減少燃料的消耗。在特定情況下，運載火箭起控面臨箭體角速度60 (°)/s，姿態(tài)角偏差最大180°的極端工況。由于發(fā)動機擺角嚴(yán)格限制，控制能力受到極大約束，常規(guī)的PD 控制律會導(dǎo)致起控過程中出現(xiàn)發(fā)動機擺角長時間飽和，姿態(tài)穩(wěn)定性和動態(tài)過程差的問題，液體火箭因此可能出現(xiàn)液體晃動不穩(wěn)，動力系統(tǒng)燃料耗盡誤判等情況。

為了解決這一問題，需要對起控過程協(xié)調(diào)設(shè)計，使得有限控制能力最優(yōu)化使用。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的一個重要組成部分，20 世紀(jì)80 年代，Junkins和Turner就已經(jīng)將最優(yōu)控制理論應(yīng)用到航天器姿態(tài)控制中。最優(yōu)控制即為對給定系統(tǒng)，選取特定的控制輸入，使得指定的性能指標(biāo)函數(shù)達到最大或最小的一種控制?，F(xiàn)代的最優(yōu)控制方法，主要來源于動態(tài)規(guī)劃和極小值原理兩種理論。航天器控制的執(zhí)行機構(gòu)一般采用姿控噴管或者力矩陀螺，最優(yōu)控制的方法有較多的應(yīng)用探索，而運載火箭由于飛行中存在強非線性和高動態(tài)的特征，同時對于快速性和穩(wěn)定性提出了較高的要求，新一代運載火箭更是對火箭適應(yīng)能力提出了更高的要求。

本文在典型運載火箭主動段動力學(xué)模型分析的基礎(chǔ)上，對控制能力受限條件下時間最優(yōu)的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題進行了研究。

1 運載火箭動力學(xué)模型

1.1 運載火箭主動段動力學(xué)模型

考慮運載火箭彈性運動和液體晃動，為便于起控設(shè)計分析，以俯仰通道為例，基于系數(shù)凍結(jié)法和小擾動線性化假設(shè)的小偏差方程，并且不考慮彈道傾角的長周期運動和大氣的影響，簡化后的動力學(xué)方程為

式中 Δy為第階晃動的廣義位移；Δ˙˙為第階晃動的加速度。

式中為第階彈性的廣義位移；為廣義法向方向的廣義干擾。

簡化后的動力學(xué)方程實踐中可以被用于進行火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)分析設(shè)計。

1.2 姿態(tài)控制方程

以角偏差作為控制的主要指標(biāo)，采用PD 調(diào)整參數(shù)，形成控制指令并對其進行分配，驅(qū)動伺服機構(gòu)進行運動，實現(xiàn)箭體姿態(tài)對理論程序角的跟蹤，控制系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 姿態(tài)控制系統(tǒng)原理Fig.1 Principle of Attitude Control System

運載火箭因其動態(tài)高，參數(shù)時變性強的特征，經(jīng)常采用簡單可靠的PD 控制，還可以借用速率陀螺等測量設(shè)備降低姿控系統(tǒng)穩(wěn)定性設(shè)計的難度。運載火箭PD姿態(tài)控制的根本是系統(tǒng)的角偏差，其基本原理是對角偏差進行比例、微分控制，通過對這兩個環(huán)節(jié)系數(shù)進行設(shè)計調(diào)節(jié)，結(jié)合箭體傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)滿足古爾維茨穩(wěn)定性定律，得到如下的控制方程：

傳遞函數(shù)表達式為

式中為發(fā)動機擺角與角偏差的比例系數(shù)；為發(fā)動機擺角與角速度的比例系數(shù)。

比例系數(shù)約定了角偏差與控制擺角的比例關(guān)系，在滿足穩(wěn)定性要求的條件下，可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但過大的比例系數(shù)會引發(fā)系統(tǒng)的振蕩，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。微分系數(shù)可以有效地對系統(tǒng)提供超前相位，但過大的微分系數(shù)會對角偏差中的特定頻率進行放大，出現(xiàn)不合理的指令振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度下降，控制品質(zhì)受到影響。

從式（5）可以看出，控制擺角Δ 在常規(guī)的應(yīng)用中，遵循了箭體角偏差和角速度/的指令分配關(guān)系，但在惡劣的起控階段，大的角偏差和大的角速度會“爭搶”有限總擺角Δ ，導(dǎo)致發(fā)動機擺角無序分配，且長時間飽和，角偏差和角速度也會劇烈振蕩，系統(tǒng)長時間處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

另外從式（1）至式（3）可以看出，晃動運動與姿態(tài)運動存在強的關(guān)聯(lián)性和耦合性。1969 年ATS-V 航天器和2000 年NEAR 航天器的失效以及2007 年SpaceX 運載火箭發(fā)射失敗均是由貯箱內(nèi)液體燃料晃動所導(dǎo)致的。抑制晃動干擾的控制方法有很多，除在貯箱內(nèi)增加防晃板等措施外，確保姿態(tài)運動的平穩(wěn)是一個必要的條件。

2 控制能力受限的起控問題

2.1 最優(yōu)起控問題描述

火箭起控過程，重點在于剛體運動部分角偏差和角速度綜合求解，對于晃動、彈性部分的描述可以暫不考慮，且由于控制能力遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)干擾，δΔ 較小的條件下，式（1）可表達為

時間最短問題的提法可以表示為

式（7）寫為狀態(tài)方程為

由此可以得到哈密爾頓函數(shù)為

由全局最小，應(yīng)有，當(dāng)() > 0，取() < 0，當(dāng)() < 0，取() > 0。

運載火箭控制量() 通過擺動發(fā)動機產(chǎn)生的擺角Δ 實現(xiàn)對火箭的控制，求解后有：

進而得到：

由式（12）可以看出，當(dāng)控制量是一個大小恒定的數(shù)值，時間最優(yōu)的控制實際上表現(xiàn)為是一族與時間相關(guān)的拋物線，如圖2 所示，其中給出了、和3 條曲線開口向左、控制量為負(fù)值的情況，每條曲線的頂點代表不同的起控初始條件。

圖2 狀態(tài)變化規(guī)律Fig.2 Law of State Change

2.2 運載火箭最優(yōu)控制推導(dǎo)

實際負(fù)反饋控制中，控制量與比例關(guān)系，不能簡單地考慮為一個恒定數(shù)值，則式（12）可表示為

求解后得到：

由式（13）可以看出，建立了控制量與比例關(guān)系后，變化趨勢是運動初始狀態(tài)、控制時間、靜態(tài)增益與控制力矩系數(shù)之間的關(guān)系?？紤]系統(tǒng)穩(wěn)定性，采用式（5）建立與的關(guān)系后，式（13）的表達形式則變?yōu)?/p>

圖3 姿態(tài)角偏差Fig.3 Attitude Angle Deviation

圖4 姿態(tài)角速度Fig.4 Attitude Angular Velocity

圖3至圖5 的起控過程，即便火箭姿態(tài)最終實現(xiàn)了穩(wěn)定，但動態(tài)過程會對火箭貯箱液體晃動運動造成不利影響，液位傳感器可能會被誤觸發(fā)導(dǎo)致災(zāi)難性后果。另外，在桿臂效應(yīng)下，對火箭箭上產(chǎn)品也會產(chǎn)生不利的影響。

圖5 發(fā)動機擺角Fig.5 Engine Swing Angle

2.3 滑模變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計

運載火箭的發(fā)動機擺角受伺服機構(gòu)產(chǎn)品設(shè)計和工藝的約束，不能實現(xiàn)任意擺角擺動，但在火箭轉(zhuǎn)級轉(zhuǎn)段過程中，火箭一般都會受到發(fā)動機后效干擾、分離沖擊干擾的影響，前續(xù)飛行段殘余控制偏差、非預(yù)期突發(fā)故障等都會對起控的平穩(wěn)性和快速性帶來巨大的影響。因此對多約束下時間最優(yōu)的姿態(tài)控制技術(shù)應(yīng)用顯得極其迫切，但該技術(shù)方法目前多用于航天器等慢變姿態(tài)控制系統(tǒng)的時間最優(yōu)機動問題中。偽譜法依然可以處理約束簡單的時間最優(yōu)機動問題，但是在火箭快速性、大動態(tài)和穩(wěn)定性等多約束情況下的能力是有限的?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快、對模型參數(shù)變化和外部擾動不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，因而得到廣泛的應(yīng)用。

針對本文提出的運載火箭轉(zhuǎn)級轉(zhuǎn)段后，起控過程中面臨大角速度和大姿態(tài)角偏差的極端工況，必須在發(fā)動機擺角小且嚴(yán)格受限的條件下，協(xié)調(diào)角速度和角偏差兩種模式的邏輯處理，實現(xiàn)快速和穩(wěn)定的起控。

從前文的分析可以看出，時間最優(yōu)控制在工程實現(xiàn)中，由于擺角限制、箭體安全性等因素，難以工程應(yīng)用實現(xiàn)。為了協(xié)調(diào)“爭搶”擺角的問題，在最優(yōu)化分析的基礎(chǔ)上，進行變結(jié)構(gòu)控制律的設(shè)計。變結(jié)構(gòu)控制框圖如圖6 所示。

圖6 變結(jié)構(gòu)控制框圖Fig.6 Variable Structure Control Block Diagram

令切換函數(shù)為

根據(jù)變結(jié)構(gòu)滑動模態(tài)存在條件˙ <0 可以得到

考慮程序角變化，有：

為簡化分析，式（17）可以表示為

進而得到：

根據(jù)式（19）可以得到基于變結(jié)構(gòu)的發(fā)動機擺角設(shè)計值，變結(jié)構(gòu)控制存在固有缺點，抖振的問題需要考慮。 ()Δ 數(shù)值分別來源于姿態(tài)角偏差即 1Δ 和姿態(tài)角速度 z1Δ ，式（19）雖然能夠解決時間最優(yōu)控制所帶來的指令耦合問題，但發(fā)動機擺角的限制帶來的問題依然沒有解決。結(jié)合火箭控制能力，設(shè)計協(xié)調(diào)控制項對擺角的限制進行處理。

設(shè)計協(xié)調(diào)控制項， sgn(Δ)，將其加入到控制指令之中，滿足如下條件時進行控制。

根據(jù)式（20），給出如圖7 所示的火箭起控協(xié)調(diào)變結(jié)構(gòu)控制邏輯框圖，其中閾值條件需要根據(jù)火箭常規(guī)控制能力進行界定，一般要求Δ 不能長時間不滿足發(fā)動機擺角的限幅要求。

圖7 變結(jié)構(gòu)控制邏輯Fig.7 Variable Structure Control Logic

式（19）和（20）中可以看出變結(jié)構(gòu)控制方法本身存在抖振問題，對于高動態(tài)飛行的運載火箭，不能隨意進行控制律的切換，而本方法要做到的目標(biāo)也是在實現(xiàn)一次控制律結(jié)構(gòu)調(diào)整后，依然確?；鸺€(wěn)定的跟蹤彈道程序角，因此可以避免多次切換帶來的抖振問題。

3 仿真結(jié)果及分析

采用前文所述的相同仿真用例，俯仰、偏航和滾動角速度均為20 (°)/s，角偏差分別為-178°，-70°，-178°時，系統(tǒng)長時間振蕩難以穩(wěn)定，姿態(tài)角偏差甚至達到了最大180°左右的情況。使用如圖7 所示的控制變結(jié)構(gòu)邏輯，角速度閾值采用8 (°)/s，仿真的結(jié)果如圖8~10 所示。從圖8、圖9 可以看出，箭體角速度4.62 s 得到抑制，變結(jié)構(gòu)策略介入后，姿態(tài)在20 s 附近即可進入角偏差較小的穩(wěn)定狀態(tài)。從圖10 中發(fā)動機擺角的情況可以看出，除初始時刻擺角較大外，其他時間擺角均很小，相比圖5 有很大改善，箭頭所指為變結(jié)構(gòu)控制切換點。

圖8 姿態(tài)角偏差Fig.8 Attitude Angle deviation

圖9 姿態(tài)角速度Fig.9 Attitude Angular Velocity

圖10 發(fā)動機擺角Fig.10 Engine Swing Angle

4 結(jié)束語

本文提出了擺角受限條件下，協(xié)調(diào)角速度和角偏差的運載火箭起控段變結(jié)構(gòu)控制方法。該方法針對運載火箭在轉(zhuǎn)級轉(zhuǎn)段過程中大姿態(tài)角偏差和大姿態(tài)角速度同時存在的特點，通過對時間最優(yōu)控制問題進行研究，采用變結(jié)構(gòu)控制策略實現(xiàn)姿態(tài)快速回穩(wěn)的目標(biāo)。通過仿真，結(jié)果表明，該方法可以有效地解決指令“爭搶”問題，達到姿態(tài)穩(wěn)定起控的目的。