蔡宇航， 梁 棟， 姜學平， 郭文杰

(河海大學 信息學部 物聯(lián)網(wǎng)工程學院，江蘇 南京 211100)

機械設備在使用過程中會受到載荷，這使其結構可能逐漸產生各種形式的損傷。如果不能在早期采取正確的應對措施，就可能導致設備損壞，甚至造成人員傷亡。結構健康監(jiān)測能夠及時發(fā)現(xiàn)結構因載荷沖擊引起的損傷，并產生報警。準確獲取載荷沖擊信號是整個結構健康監(jiān)測工作的開始，是確保結構健康監(jiān)測準確性的基礎。

傳統(tǒng)的結構健康監(jiān)測系統(tǒng)首先要在結構上或結構內布置壓電傳感器網(wǎng)絡，然后通過對采集到的Lamb波信號進行處理和分析，便可以得到結構的相關信息[1]。然而，在一些較小的、承重能力較弱的結構中嵌入傳感器非常不切實際。在一些大型結構中，需要的傳感器數(shù)量會非常多，對設備的要求很高。在現(xiàn)場應用中，當被監(jiān)測的結構形狀比較復雜時，多種模態(tài)的Lamb 波信號容易相互疊加，給后期信號分析帶來較大難度[2]。

聲輻射模態(tài)理論是從20世紀90年代出現(xiàn)并逐漸發(fā)展完善起來的。Cunefare等[3]首次提出了有關聲輻射模態(tài)的概念。聲輻射模態(tài)法在研究外部聲輻射問題中具有突出優(yōu)點，解決了結構模態(tài)中復雜的耦合項帶來的計算難題。之后Elliott等[4]根據(jù)聲輻射模態(tài)法，得出彈性結構的總輻射模態(tài)功率可以看作是有限個輻射模態(tài)的疊加的結論，即聲模態(tài)疊加法。近些年，西北工業(yè)大學的陳克安等[5]提出了利用近場聲壓估算結構聲輻射功率的方法，將分布式平面聲源用于對結構聲輻射有源控制。

近場聲全息(Near-Field Acoustic Holography，NAH)技術是一種先進的噪聲源識別技術。20世紀 80 年代初期，Williams等[6]提出基于空間傅里葉變換的近場聲全息技術。該方法通過在聲源近場獲取復聲壓信息，然后利用二維空間傅里葉變換將其轉換到波數(shù)域并通過求逆等運算得到對應的聲場分布，最后通過二維傅里葉逆變換重建出任意位置的聲壓、振速等信息。2009 年，Park等[7]利用時域近場聲全息技術實現(xiàn)了空間復包絡的可視化。2010 年，Thomas等[8]針對非穩(wěn)態(tài)聲場提出了實時近場聲全息技術，實現(xiàn)了直接在時域內對瞬態(tài)聲場進行重建，不再需要任何頻域變換。

本文將聲模態(tài)疊加法與近場聲全息技術相結合，用聲輻射的正問題和逆問題的內在聯(lián)系來探討沖擊載荷撞擊簡支薄板產生的輻射聲場。通過研究聲輻射在結構健康監(jiān)測中運用的可行性，為在結構健康監(jiān)測中獲取載荷沖擊信號提供了一種新思路。

1 聲場輻射與反演原理

1.1 簡支薄板振動的固有頻率

聲輻射模態(tài)指出，任何輻射體的表面法向速度都可以由若干輻射模態(tài)的線性組合來表示，且輻射模態(tài)與輻射體的本身材料性質無關，只與它的幾何形狀和振動頻率有關[9]。通過該理論可以計算簡支薄板表面的法向速度進而獲取簡支薄板外部輻射聲場。

本文采用鋁板結構作為研究對象，設簡支薄板為鋁板，其密度ρ為2720 kg/m3，彈性模量E為70 GPa，泊松比v為3.3，薄板長Lx為1 m、寬Ly為1 m、厚度h為0.002 m。此時，平板在厚度方向的應力為常數(shù)，所以可以使用平板中心面的位移作為整個板的位移。取一個彈性微元作為受力分析的對象，可以得到平板的自由振動微分方程為[10]

(1)

(2)

(3)

在滿足板的狀態(tài)為簡支的條件下，可得到薄板固有頻率為

(4)

與之相對應的固有振型函數(shù)為

(5)

1.2 基于聲模態(tài)疊加法的簡支薄板輻射聲場

設薄板受到外部沖擊載荷的激勵力產生輻射聲場，則簡支薄板振動的法向速度為

(6)

式中：Amn為模態(tài)速度;Φmn(x,y)為第(m,n)階模態(tài)的模態(tài)振型函數(shù)，代表結構在該振型下表面振速的分布情況。上述簡支薄板固有頻率的對應模態(tài)振型函數(shù)為

(7)

式中：i為虛數(shù)單位；ω為激勵力頻率。

如果一個點力作用于簡支薄板的(x0,y0)處，可得到由外部激勵力引起的模態(tài)速度為

(8)

式中：βmn為模態(tài)阻尼系數(shù)；m、n分別為沿x、y方向的結構模態(tài)數(shù)；(x0,y0)為激勵力作用位置；fp為激勵力的幅值。

聲場中任意一點的復聲壓值等于薄板振動產生的聲輻射對該點聲壓貢獻的積分，以薄板表面為坐標面，建立球坐標系。由Rayleigh積分公式[11]在球坐標系下的應用可得薄板外部輻射聲場的任意一點復聲壓為

(9)

將式(6)代入式(9)中，積分后可得：

(10)

式(10)為基于聲模態(tài)疊加法的簡支薄板外部輻射聲壓理論值。

根據(jù)上述原理，薄板受到的沖擊力與薄板產生的輻射聲場存在聯(lián)系。在一定條件下，可根據(jù)沖擊力推算薄板的外部輻射聲場，也可根據(jù)外部輻射聲場反演薄板受到的沖擊力的信息。

1.3 基于近場聲全息的反演聲場

近場聲全息技術通過測量靠近輻射源表面的輻射聲場，可以計算出輻射源表面的高分辨率的聲壓分布或振動強度分布以及其他物理信息[12]。針對本文討論的簡支薄板，平面近場聲全息技術具有良好的適用性。

平面近場聲全息技術是對聲源表面附近的一塊二維平面區(qū)域進行聲場測量，然后通過算法實現(xiàn)對其他面上聲場的重建[13]。以聲源表面為平面，建立與之平行的全息測量面H，重建面S，其原理示意圖如圖1所示。

圖1 平面近場聲全息技術原理示意圖

當z0≤zS≤zH時，為逆向重建聲場；當z0≤zH≤zS時，為正向重建聲場。

簡支薄板外部輻射聲場在空氣中傳播，假定它為理想流體，由在開闊空間內的有限結構表面振動及其外部輻射聲場的波動方程，可以得到不依賴于時間變量的穩(wěn)態(tài)聲場的Helmholtz方程：

(11)

此時，引入滿足Helmholtz方程且滿足要求的任意格林函數(shù)g，可得球坐標系下任意一點的復聲壓計算公式為

(12)

在Dirichlet邊界條件下，式(12)可簡化為

(13)

考慮到測量數(shù)據(jù)的有限性和卷積計算的復雜性，通常還需對式(13)進行離散化處理并進行二維傅里葉變換，最終得到公式：

(14)

式中:p(xs,ys,zs)為重建面的聲壓值分布;P(kx,ky,zH)為測量面上的聲壓值在波數(shù)域的分布;GD(kx,ky,zH-zs)為波數(shù)域空間上的格林函數(shù)。

綜上，在選取合適的測量區(qū)域后，只需獲取該平面區(qū)域內的部分聲場信息就能得到整個輻射空間的全局聲場信息，進而獲取聲源的信息。

2 載荷沖擊信號的反演

2.1 簡單正弦波信號的反演

為了探討近場聲全息技術在反演沖擊載荷信息上的可行性，可以選取一些簡單的激勵信號作為載荷對鋁板的沖擊力[14]。下面選取一個兩個周期幅值不同的正弦波信號作為討論對象。取該激勵信號第一周期幅值Fp1=2 N，第二周期幅值為Fp2=1 N，激勵頻率為f=100 Hz，即：

(15)

以鋁板表面平面為z0=0建立空間坐標系，選擇一個頂點為原點，兩條邊分別為x軸和y軸。設荷載沖擊點為(0.5 m,0.5 m)，全息面位于zH=0.1 m的平面上，尺寸為1 m×1 m;采樣點數(shù)Nx×Ny為40×40，采樣間隔d為0.025 m?？紤]聲場重建的正逆重建問題，取兩個重建距離相等的正逆重建面，為了保證精確度，選取較小的重建距離，分別選取zS=0.075 m和zS=0.125 m兩個重建面。用MATLAB分別對兩個重建面進行仿真后得到聲壓分布，如圖2所示。

圖2 不同重建距離下的聲場重建圖

由圖2可以看出，聲壓重建值與原信號幅值呈正相關，將所得重建幅值與原信號幅值進行對比分析，如表1所示。

表1 正弦波信號重建信號幅值對比 單位：N

可以看到，正向重建的聲壓值略低于原激勵信號，而逆向重建的反演信號與之相反，略高于原激勵信號。由于正向重建和逆向重建兩種不同重建方式的選取所帶來的兩種截然相反的誤差趨勢，考慮將兩種不同重建方式的反演信號結合起來進行修正，取兩種方式所得反演信號的平均值作為最終反演信號。修正前與修正后的反演信號與原信號的對比結果如圖3和圖4所示。

圖3 反演信號與原信號對比圖

圖4 修正反演信號與原信號對比圖

如圖4所示，修正后的反演信號波形已經非常接近原激勵信號，反演結果較為精確，但逆向重建過程中所產生的邊緣誤差問題仍然存在，導致反演信號幅值略高于原激勵信號幅值。

不同重建方式下過采樣中心點的Nx軸采樣點的反演信號幅值與原信號幅值的誤差對比如圖5所示。

由圖5可以看到，在逆向重建過程中，邊緣部分的誤差較大，而正向重建中的誤差則較為平穩(wěn)。采用正逆向重建結合的方法得出的平均幅值誤差整體較原先有所減小。由表1可以算出正向重建幅值誤差約為6.7%，逆向重建幅值誤差約為12.1%，正逆向結合的重建平均幅值誤差約為2.7%。可以驗證正逆向重建結合的方法反演出來的信號幅值更加精確的結論。

圖5 不同重建方法下的Nx軸采樣點的反演信號幅值誤差圖

2.2 以五周期正弦波信號為載荷沖擊的信號反演

在現(xiàn)實情況中，沖擊載荷的信號往往比較復雜，以下取五周期正弦波信號[15]作為載荷沖擊激勵信號驗證2.1節(jié)中的信號反演方法是否可行。五周期正弦波信號為

(16)

式中:f為激勵頻率;A為信號平均幅值。取f=100 Hz;A=2，則五周期正弦波信號波形圖如圖6所示。

圖6 五周期正弦波信號波形圖

由圖6可以看到，該信號可以近似于10個半波正弦信號的組合。嘗試將該信號分為10個單獨部分,分別對其進行聲場的模擬和重建工作并進行信號反演。在求得10個單獨部分的反演信號幅值后，就可以得到一個反演信號的平均幅值，最后根據(jù)所得到的反演信號平均幅值就可以得到一個反演信號的波形。根據(jù)2.1節(jié)內容，選取用正向重建和逆向重建相結合的方式，共同反演信號，并使用與2.1節(jié)相同的反演參數(shù)，得到載荷沖擊信號與重建信號幅值對比，如表2所示。

由于采樣點選取的影響，仿真中的原信號幅值與理論值存在微小誤差，在此誤差的前提下，由表2可算出不同重建方法下的平均重建幅值誤差。正向重建平均幅值誤差約為6.7%，逆向重建平均幅值誤差約為12.1%，使用正逆向重建結合的方法修正后的平均幅值誤差約為2.7%，與2.1節(jié)所求的誤差約值相等。通常，10%以內誤差可認為反演信號具有較高的識別精度[16]。

表2 載荷沖擊信號與重建信號與幅值對比表 單位：N

不同重建方法下五周期正弦波信號的反演幅值誤差對比如圖7所示。

圖7 不同重建方法下的五周期正弦波重建幅值誤差圖

利用修正后求得的信號幅值可以得到反演信號波形，如圖8所示。

圖8 五周期正弦波反演信號與原信號對比圖

由圖8可以看出，反演信號與原信號基本重合，精確度較高。但由格林函數(shù)輻射圓外所帶來的逆向重建邊緣誤差仍然存在，由此造成了反演信號幅值略高于原信號的問題。

3 結束語

以鋁板結構作為研究對象，從載荷沖擊簡支薄板產生的外部輻射聲場入手開展研究。通過輻射模態(tài)理論建立簡支薄板的外部輻射聲場，再結合近場聲全息技術反演聲場，實現(xiàn)了對簡支薄板上沖擊信號的反演。選取簡單正弦波信號與五周期正弦波信號進行仿真，得到精度較高的反演沖擊信號。

討論了用聲輻射問題在結構健康監(jiān)測中獲取結構響應的可行性。通過對載荷沖擊信號的聲場進行反演，實現(xiàn)對其沖擊特性的監(jiān)測，根據(jù)結構所受沖擊部位，并結合結構自身特性，為判定結構是否受損及確定受損程度提供參考。