伍建軍，王振飛

（江西理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

柔順鉸鏈相對于傳統(tǒng)依靠固定鉸鏈的多桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)更加簡化，其通過構(gòu)件的變形而產(chǎn)生力和位移[1]。目前精密定位技術(shù)廣泛應(yīng)用于微型機(jī)器人、生物科學(xué)研究以及工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域[2]。使用柔順機(jī)構(gòu)精密定位具有免裝配、無摩擦等優(yōu)點(diǎn)，避免了由于鉸鏈間隙造成的誤差[2]。基于柔順機(jī)構(gòu)的定位平臺(tái)的工作空間受限于鉸鏈的彈性形變范圍，而傳統(tǒng)矩形截面鉸鏈和圓形截面鉸鏈主要受剪切力形變，在遇到壓拉力形變時(shí)，行程十分有限。田延嶺等[3]設(shè)計(jì)出一種由彈性鉸鏈作為其導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的串聯(lián)微定位平臺(tái)；崔玉國等[4]基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，研制出具有對稱雙圓弧薄板式彈性單元體的微動(dòng)平臺(tái)新構(gòu)型；王念峰等人[5]設(shè)計(jì)了一種以半圓形波紋簧片的兩自由度精密定位平臺(tái)，著重進(jìn)行了鉸鏈的分析與有限元的對比，具有良好的解耦性。

綜上所示，本文以實(shí)現(xiàn)輸出位移大、結(jié)構(gòu)緊湊的目標(biāo)，提出了一種雙正弦波紋的柔性鉸鏈，在平面位移的兩自由度上都具有良好的傳導(dǎo)性，以此來替代傳統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行力和位移的傳導(dǎo)。分析傳統(tǒng)鉸鏈相比于波形鉸鏈的不足之處，使用ANSYS將之進(jìn)行單段和多段的對比分析驗(yàn)證雙正弦波紋鉸鏈的優(yōu)勢。

1 正弦波紋鉸鏈設(shè)計(jì)

根據(jù)伯努利梁理論，對于一般懸臂梁的最大撓度可以用式(1)表示：

式中，δ為懸臂梁末端的撓度；F為施加在懸臂梁末端上的力；L為懸臂梁的長度；E為懸臂梁的彈性模量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與懸臂梁的寬度b和厚度h有關(guān)，如式(2)所示：

因此，在材料和載荷不變的情況下，改變懸臂梁的長度以及寬和厚度便可以改變懸臂梁的最大撓度。假設(shè)懸臂梁的寬度與厚度不變，只改變其長度，可以將一般的懸臂梁設(shè)計(jì)為如圖1所示的三角形和矩形周期性懸臂梁的形式[6，7]。然而，雖然增加了梁的長度，但由于在拐角處出現(xiàn)的尖銳角，極易產(chǎn)生應(yīng)力集中的問題。

圖1 三角形和矩形周期性懸臂梁

綜上所述，又根據(jù)王念峰等人提出的半圓形波紋柔性鉸鏈，如圖2所示。考慮到其結(jié)構(gòu)緊湊在y軸方向上的行程有所不足，若適當(dāng)增加每半個(gè)波紋之間的距離，便可以有效改善這一現(xiàn)象?；诖嗽O(shè)想一，本文提出了一種基于正弦的曲線波紋鉸鏈，其公式如式(3)所示。

圖2 半圓形波紋柔性鉸鏈

為對比兩者的行程，將在下一節(jié)中采用有限元仿真對其進(jìn)行靜力分析，通過對比其x軸與y軸方向的最大位移來驗(yàn)證其性能。

2 有限元對比分析

為了便于傳統(tǒng)矩形截面鉸鏈和圓形截面鉸鏈、半圓形波紋鉸鏈以及正弦波紋鉸鏈的對比，使其柔性部分總長、最薄弱處厚度、材料以及外力都統(tǒng)一。各鉸鏈的柔性部分使用鋁合金材料Al7075-T651。其中，半圓形波紋鉸鏈的厚度t=0.1mm，w=10mm，R=1mm，正弦波紋則采用等距0.1mm來繪制，各參數(shù)取值分別為a=2，b=1，c=0，d=0，在ANSYS中將其進(jìn)行靜力學(xué)分析，如圖3所示。

圖3 各鉸鏈x軸向位移云圖

經(jīng)有限元分析驗(yàn)證，在各外部條件都一致時(shí)，半圓形波紋柔性鉸鏈的最大位移確實(shí)要好于傳統(tǒng)鉸鏈，但正弦波紋柔性鉸鏈的行程更為可觀，是半圓形波紋柔性鉸鏈的2.18倍。由此可見，波紋形鉸鏈在行程方面相比于傳統(tǒng)矩形截面以及圓形截面的鉸鏈有很大的優(yōu)勢，同時(shí)波紋鉸鏈的行程隨著波紋單元的增加，其最大行程也會(huì)不斷增加。本文所提出的正弦波紋鉸鏈的性能相比于半圓形不僅在x軸向上的位移更佳，而且在y軸方向變形量也同樣更具優(yōu)勢，如圖4所示，是半圓形的2倍，驗(yàn)證了設(shè)想一的合理性，正弦波紋鉸鏈的柔度相比較于半圓形波紋更大。

圖4 波紋柔性鉸鏈y軸方向位移云圖

2.1 雙正弦波紋鉸鏈設(shè)計(jì)分析

雖然相比與圖1所示的三角形和矩形周期性懸臂梁拐角的容易產(chǎn)生應(yīng)力集中的尖銳角，波紋柔性鉸鏈已經(jīng)有所改善，但是在交變載荷的作用下，等厚波紋鉸鏈在波峰波谷處仍舊容易產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象，而導(dǎo)致疲勞勞損問題。據(jù)此，提出設(shè)想二：若在保持單元波紋整體側(cè)面面積不變的情況下，將其尺寸進(jìn)行合理分布，在波峰波谷處適當(dāng)增加厚度，可以有效改善應(yīng)力集中的現(xiàn)象。而將正弦曲線上移0.1mm后所形成的雙正弦波紋鉸鏈則剛好可以達(dá)到相應(yīng)的效果，單元等距正弦波紋和雙正弦波紋的側(cè)界面曲線圖分別如圖5所示。

圖5 等距正弦與雙正弦單元波紋曲線圖

由圖5可以看出，等距0.1mm和上移0.1mm的正弦曲線所形成的波紋鉸鏈外形有所差異，雙正弦波紋鉸鏈的厚度在波紋方向是不斷變化的。如圖6所示，采用作圖法[8]，選取雙正弦單元波紋曲線作為作圖對象，作y1的切線l1與y1相交于點(diǎn)A(x1，y1)，再作l1的垂線l2交y2于點(diǎn)B(x2，y2)，連接OA和OB，OA與x軸夾角為α，OB與x夾角為β。如式(4)所示，根據(jù)投影定理，將三條線段投影于x軸，并采用向量法來表示其厚度的變化情況，通過式(4)、式(5)可以得出厚度AB的變化公式，如式(6)所示。

圖6 厚度AB作圖示意圖

將點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)坐標(biāo)代入式(6)，可以得出|AB|的表達(dá)式(7)，再聯(lián)立y1和y2的正弦曲線公式以及式(7)使用MATLAB計(jì)算，結(jié)合各參數(shù)取值范圍如式(8)所示，便可以得出雙正弦波紋鉸鏈的厚度|AB|的變化曲線圖，如圖7所示，可以看出，厚度在波峰波谷的時(shí)候厚度值達(dá)到最高值，并以此建立對應(yīng)的雙正弦波紋鉸鏈模型，對其進(jìn)行有限元分析驗(yàn)證，是否可以有效減少應(yīng)力集中的問題。

圖7 厚度AB變化曲線圖

2.2 波紋鉸鏈靜力學(xué)分析對比驗(yàn)證

在三維軟件進(jìn)行數(shù)字建模后，使用ANSYS對這三種波紋鉸鏈進(jìn)行靜力學(xué)分析，得出三者在x軸和y軸上的最大行程以及最大應(yīng)力，仿真結(jié)果如表1所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出，等距正弦鉸鏈在x軸和y軸方向的最大位移，都是半圓形鉸鏈的2倍，最大應(yīng)力則分別是3.4倍和1.5倍。但是在考慮到波紋鉸鏈波峰和波谷的在交變載荷作用下帶來應(yīng)力集中的問題，而采用雙正弦鉸鏈?zhǔn)沟貌y鉸鏈厚度尺寸得到更合理的分布后，由數(shù)據(jù)可以直觀地看出其優(yōu)勢。雙正弦波紋鉸鏈在x軸和y軸方向上的最大位移分別是半圓形的14.8倍和8.9倍，最大應(yīng)力甚至增加到了15.6倍和3.1倍。通過數(shù)據(jù)可以清楚地看出，相比于等厚的半圓形和等距正弦鉸鏈，在相同外部作用載荷下，以及同樣的材料和空間內(nèi)，采用雙正弦結(jié)構(gòu)的鉸鏈在性能上更具優(yōu)勢，無論是在x軸和y軸的行程上，還是在能承受的最大應(yīng)力方面，都得到了顯著的提高。同時(shí)，也驗(yàn)證了先前2.1節(jié)中所提出設(shè)想二的正確性，合理的尺寸分布確實(shí)可以有效提高波紋鉸鏈的性能。

表1 三種波紋鉸鏈有限元分析數(shù)據(jù)對比表

（續(xù)）

2.3 雙波紋對稱結(jié)構(gòu)分析

鉸鏈在外部載荷產(chǎn)生的最大位移是衡量柔性鉸鏈平臺(tái)的一個(gè)重要指標(biāo)。為進(jìn)一步驗(yàn)證先前理論的合理性以及實(shí)用性，參考王等人將波紋鉸鏈應(yīng)用于定位平臺(tái)的方案，本文中選取各波紋的雙波紋對稱結(jié)構(gòu)來作為試驗(yàn)對象，通過靜力學(xué)和模態(tài)分析對其性能進(jìn)行對比參照，來分析三者的優(yōu)劣。通過模擬在相同的作用力下，各波紋結(jié)構(gòu)在x軸和y軸方向上的位移和應(yīng)力應(yīng)變情況，半圓形波紋、等距正弦波紋、雙正弦波紋鉸鏈的靜力學(xué)仿真結(jié)果依次如圖8和圖9所示。

圖8 x軸方向受力位移及應(yīng)變云圖

圖9 y軸方向受力位移及應(yīng)變云圖

根據(jù)靜力學(xué)仿真結(jié)果，可以看出在將波紋鉸鏈應(yīng)用于類似定位平臺(tái)的環(huán)境時(shí)，等厚度的半圓形與等距正弦波紋鉸鏈在x軸方向上的位移和應(yīng)力都相差不大，而在波峰波谷厚度有所變化的雙正弦波紋鉸鏈的行程和最大應(yīng)力都要較大程度上高于等厚波紋鉸鏈，說明合理的尺寸分布，不僅可以改善交變載荷下造成的應(yīng)力集中現(xiàn)象，同樣也可以有效提升波紋鉸鏈在定位平臺(tái)上的應(yīng)用性能。相應(yīng)的，在y軸方向上則可以清楚看出，正弦波紋鉸鏈的最大位移和應(yīng)力都要高于結(jié)構(gòu)相對緊湊的半圓形波紋鉸鏈，同時(shí)也驗(yàn)證了1節(jié)中所提到的設(shè)想一。由此可見，雙正弦波紋在x軸和y軸上的行程和最大應(yīng)力相比于半圓形波紋鉸鏈皆得到了很大的提升，說明若將其應(yīng)用于定位平臺(tái)同樣也可以使得定位平臺(tái)的性能得到一定的提升。

考慮到由于正弦波紋鉸鏈柔度高于半圓形波紋鉸鏈，可能導(dǎo)致正弦鉸鏈會(huì)比半圓形鉸鏈更易受外部振動(dòng)影響，而帶來共振問題導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞的情況。因此，需要對三者進(jìn)行相應(yīng)的模態(tài)分析，觀察其各階模態(tài)下對應(yīng)的頻率變化情況，具體參數(shù)如表2所示。

表2 三種波紋鉸鏈各階模態(tài)固有頻率（Hz）

模態(tài)是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，是系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性，每一階模態(tài)都對應(yīng)一個(gè)特定的固有頻率[9]。對三種波紋鉸鏈進(jìn)行模態(tài)分析，可以了解到它們的固有頻率范圍，可以針對性地避免產(chǎn)生共振而導(dǎo)致?lián)p壞。由表2中的數(shù)據(jù)可以看出，這三種波紋鉸鏈的六階固有頻率范圍都相差不大，皆在Hz380～1000Hz之間。對此，也在一定程度上說明，這三類波紋鉸鏈可以用于相類似的工作環(huán)境之中。在柔順鉸鏈的質(zhì)量(m)和材料為定值時(shí)，剛度越小則柔度越大，固有頻率也越大。其中，剛度(K)與柔度(δ)以及剛度與固有頻率(f)的關(guān)系式分別如式(9)和式(10)所示。

由式(9)和式(10)可看出剛度與柔度成反比關(guān)系，固有頻率則與剛度也成反比關(guān)系。通過聯(lián)立式(9)和式(10)可以得到固有頻率和柔度的關(guān)系式，如式(11)所示。

本文中為得到行程更佳的鉸鏈，根據(jù)式(11)所示，當(dāng)固有頻率越大則柔度更大，同時(shí)，所得鉸鏈的行程也更佳。以平面二自由度定位平臺(tái)的位移為例，由于一階和三階模態(tài)分別是在x軸和y軸方向的振波頻率，以兩者為主要判別依據(jù)對雙波紋對稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比分析。從表2數(shù)據(jù)可以看出，在x軸向上，波紋鉸鏈固有頻率大小差距不大，正弦波紋鉸鏈略微大于半圓形鉸鏈，說明x軸方向上正弦鉸鏈的柔度只是略優(yōu)于半圓形鉸鏈。而在y軸方向上正弦鉸鏈固有頻率數(shù)值明顯要要高于半圓形鉸鏈，且雙正弦鉸鏈的數(shù)值更佳。綜合分析可知，根據(jù)式(11)中波紋鉸鏈固有頻率和柔度的關(guān)系式，結(jié)合各階模態(tài)分析的數(shù)值可以看出，數(shù)值與靜力學(xué)仿真結(jié)果大體一致，說明作為雙波紋對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)用于定位平臺(tái)時(shí)，雙正弦波紋鉸鏈也同樣具有一定優(yōu)勢。

3 對比驗(yàn)證

為了更直觀地將單波紋和雙波紋鉸鏈結(jié)構(gòu)的有限元分析結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，其最大位移、最大應(yīng)力以及相應(yīng)的提升率如表3所示。

表3 波紋鉸鏈靜力學(xué)分析結(jié)果對比表

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出，對于等距正弦波紋鉸鏈，在單段的結(jié)構(gòu)時(shí)，最大位移以及應(yīng)力方面相比去半圓形鉸鏈提升皆較為顯著，而在應(yīng)用于雙波紋對稱結(jié)構(gòu)時(shí)，可以看出，其在x軸的位移提升效果并不理想，但可以證明正弦鉸鏈相比于半圓形鉸鏈，在y軸位移具有一定的優(yōu)勢，同時(shí)也驗(yàn)證了1節(jié)中所提出的適當(dāng)增加每半個(gè)單元波紋的距離設(shè)想一的正確性。針對于在交變載荷作用下，避免等厚鉸鏈波峰波谷出現(xiàn)應(yīng)力集中的問題，將其厚度進(jìn)行合理分布后得到的雙正弦鉸鏈，則明顯改善了等距正弦波紋鉸鏈的不足之處，無論是在x軸和y軸的位移方面還是在最大應(yīng)力方面，性能都得到了巨大的提升，有效證實(shí)了2.1節(jié)中所提出設(shè)想二的正確性。

4 結(jié)語

1）提出了一種基于雙正弦曲線的波紋鉸鏈設(shè)計(jì)，根據(jù)投影定理采用向量法計(jì)算出波紋鉸鏈厚度的變化情況，通過實(shí)例仿真分析驗(yàn)證了正弦波紋鉸鏈理論分析的正確性。

2）將半圓形、等距正弦波紋鉸鏈與雙正弦波紋鉸鏈的單段波紋，以及根據(jù)定位平臺(tái)而設(shè)計(jì)的雙波紋對稱結(jié)構(gòu)，進(jìn)行性能對比。結(jié)果表明，在y軸行程上，正弦波紋鉸鏈明顯優(yōu)于半圓形鉸鏈；在x軸行程上，雙正弦波紋鉸鏈有效改善了波峰波谷會(huì)出現(xiàn)的應(yīng)力集中問題，進(jìn)行合理尺寸分布后的性能顯著提高。這也充分表明了雙正弦波紋鉸鏈結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性與有效性。

3）由于本文中的同尺寸雙正弦鉸鏈參數(shù)受到人為設(shè)定的影響，若對曲線的參數(shù)a、b、c、d進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，所得的波紋鉸鏈效果會(huì)更加。同時(shí)也可以嘗試不同尺寸的正弦曲線組合來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，為波紋鉸鏈設(shè)計(jì)提供了一定的研究思路。