趙彬彬，陳復興，洪榮晶

(南京工業(yè)大學a.機械與動力工程學院;b.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術重點實驗室，南京 211800)

0 引言

強力剮齒又叫強力刮齒、車齒，是一種新的圓柱齒輪加工方法，可用于非貫通、無退刀槽內齒輪以及外齒輪加工[1]。這種方法基于齒輪嚙合原理，結合了滾齒和插齒運動，可實現(xiàn)高速、高精度的切齒加工[2]。在刮齒領域，國內外學者在刮齒加工原理、數(shù)學模型建立、切屑成型機理、刮齒刀設計等方面取得了一些突破性進展，但對刮齒誤差分析及補償方面的研究有所欠缺。GUO等[3-4]分析了刮齒刀固有誤差、刀具刃磨次數(shù)及刀具偏心誤差對齒形精度的影響。郭二廓等[5-9]探索了刮齒加工切削機理，建立了強力刮齒的數(shù)學模型，研究了機床調整參數(shù)誤差對齒形誤差的影響，使用誤差敏感系數(shù)矩陣進行誤差補償，并分析了加工工藝參數(shù)對齒向誤差的影響，以及刀具和工件位姿誤差對齒形精度的影響。楊亞蒙等[10]分析了各項幾何位姿誤差對法向齒廓誤差的影響，并基于實際逆向運動學方法對誤差進行了修正。吳震宇等[11]分析了軸交角誤差對內齒輪刮齒加工精度的影響。以上學者主要研究了刀具和機床幾何誤差對刮齒加工精度的影響，但對強力剮齒力致變形誤差方面研究較少。強力剮齒是多切削刃同時高速切削，切削力形成復雜，力致變形誤差不容忽視，因此研究切削力致變形誤差對剮齒加工精度的影響具有重要意義。

力致誤差分析大多應用在車削、銑削及滾齒等傳統(tǒng)加工工藝。YUE等[12]研究了由切削力引起的刀具偏轉導致角銑削過程中的尺寸不精確和輪廓誤差，并對誤差進行了補償。WANG等[13]研究了滾削力對主軸變形的影響。朱朝寬等[14]計算了滾削力，并研究了滾齒刀具變形對齒輪加工誤差的影響。孫守利[15]研究了滾齒切削力對齒輪幾何誤差的影響，使用改進的粒子群算法優(yōu)化了工藝參數(shù)。DENG等[16]提出了一種適用于高速干式滾齒機的力致誤差模型，并對齒輪齒厚誤差進行了補償。

為分析力致變形誤差對剮齒加工精度的影響，本文對切削力導致的主軸變形進行研究，建立主軸剮削變形模型，分析了主軸變形對中心距誤差和軸交角誤差的影響?；邶R次坐標變換理論和剮齒加工原理，建立強力剮齒的直接力致誤差模型和齒輪法向齒廓誤差模型。分析了中心距誤差、軸交角誤差和主軸變形方向對齒輪法向齒廓誤差的影響。

1 剮齒加工運動學模型

根據(jù)強力剮齒加工原理，建立如圖1所示的剮齒加工坐標系。

圖1 剮齒加工坐標系

圖中Sc(oc-xcyczc)和Sw(ow-xwywzw)分別為刀具固定坐標系和工件固定坐標系，xc軸和xw軸重合，兩坐標原點的距離等于中心距a，zc軸和zw軸之間的夾角為∑。S1(o1-x1y1z1)和S2(o2-x2y2z2)分別固連于工件和刀具，隨著工件和刀具的運動而變化，它們的初始位置分別于Sw和Sc重合。刀具的角速度為ω1，并且繞zc軸旋轉φ2，軸向進給速度為v1。工件的角速度為ω2，繞zw軸旋轉φ1，同時以速度v2沿著zw軸移動l。

圖中，∑為軸交角，即刀具軸線與工件軸線的夾角。

∑=|β1±β2|

(1)

式中，β1為刀具的螺旋角；β2為工件的螺旋角。當剮削內齒輪時，“+”用于刀具與工件的旋向相反，“-”用于旋向相同；剮削外齒輪時，“+”用于刀具與工件旋向相同，“-”用于旋向相反。

刀具與工件之間的中心距a為：

(2)

式中，mn為工件的法向模數(shù)；z1為刀具齒數(shù)；z2為工件齒數(shù)；“+”用于剮削外齒輪；“-”用于剮削內齒輪。

剮齒加工過程可分為兩個旋轉運動和一個直線進給運動。軸向進給速度打破了刀具與工件成比例的運動關系，為保證齒形的正確加工，需要在刀具或工件原有轉動的基礎上添加附加轉動。

當?shù)毒吒郊愚D動時，附加的轉動變化量為：

(3)

則附加轉動后刀具的角速度為：

(4)

工件附加轉動時，附加的轉動變化量為：

(5)

則附加轉動后工件的角速度為：

(6)

2 剮齒加工主軸變形分析

2.1 剮齒切削力計算

基于剮齒加工原理，LI、胡覃等[17-18]提出了一種剮齒微段刃模型。當?shù)洱X逆時針旋轉時，用Ⅰ表示切入刃，Ⅱ表示頂刃，Ⅲ表示切出刃。分別把切入刃、頂刃和切出刃分成m個微段刃，微段刃模型如圖2所示。

圖2 微段刃模型

根據(jù)金屬切削原理，基于能量法得到剮齒加工切削力的計算方法為：

(7)

2.2 剮齒加工主軸變形模型

切削力導致工藝系統(tǒng)發(fā)生變形，最終影響剮齒加工精度。如圖3所示為剮齒加工示意圖。

圖3 剮齒加工示意圖

根據(jù)刀具主軸和工件主軸在加工時的受力特點，將其簡化成直線軸懸臂梁，如圖4所示。

(a) 工件主軸 (b) 刀具主軸

圖4a為刀具主軸簡化示意圖，l1為刀具主軸下端A到主軸固定端B的距離。以X方向受力為例，根據(jù)材料力學中梁彎曲變形理論，可以得到刀具主軸受到X方向切削力Fxt時的最大彎曲變形為：

(8)

式中，E1為刀具主軸材料彈性模量，N/mm2；d1為刀具主軸直徑，mm。

同樣的，如圖4b所示，根據(jù)材料力學中梁彎曲變形理論，可以得到工件主軸受到X方向切削力Fxw時的最大彎曲變形為：

(9)

式中，E2為工件主軸材料彈性模量，N/mm2；d2為工件主軸直徑，mm。

在剮齒加工過程中，刀具主軸和工件主軸的彎曲變形會使中心距發(fā)生變化，主軸中心距作為剮齒加工中的重要參數(shù)，將直接影響加工精度。作用在剮齒刀上的切削力Fxt和工件上的切削力Fxw是一對作用力與反作用力，在剮削外齒輪時，刀具主軸沿X正方向彎曲，工件主軸沿X負方向彎曲，如圖5a所示，最終導致中心距增大；而剮削內齒輪時，刀具主軸沿X負方向彎曲，工件主軸沿X正方向彎曲，最終導致中心距減小，如圖5b所示。則主軸中心距的變化量為：

(a) 剮削外齒輪 (b) 剮削內齒輪

Δa=|Δl1max|+|Δl2max|

(10)

則實際中心距為：

a′=a±Δa

(11)

式中，“+”用于外齒輪剮齒加工；“-”用于內齒輪剮齒加工。

刀具主軸和工件主軸的受力變形，還會引起軸交角的變化。如圖6a所示，刀具主軸在受到Z方向切削力Fzt和Y方向切削力Fyt作用時，使A端產(chǎn)生轉角誤差Δ∑t，根據(jù)材料力學中梁彎曲變形理論，刀具主軸A端產(chǎn)生的最大轉角為：

(12)

同理，如圖6b所示，工件主軸受到Y方向切削力Fyw，則工件主軸C端產(chǎn)生的最大轉角為：

(13)

如圖6c所示，則軸交角誤差為：

(a) 刀具主軸轉角誤差 (b) 工件主軸轉角誤差

Δ∑=Δ∑t-Δ∑w

(14)

則實際軸交角為：

∑′=∑+Δ∑=∑+(Δ∑t-Δ∑w)

(15)

通過剮齒切削力計算方法和主軸變形模型，得到中心距誤差和軸交角誤差與進給量、背吃刀量的關系，分別如圖7和圖8所示。

圖7 中心距誤差與進給量、背吃刀量關系 圖8 軸交角誤差與進給量、背吃刀量關系

從圖7可知，中心距誤差隨著背吃刀量和進給量的增大而增大，但進給量對于中心距誤差的影響要大于背吃刀量。由圖8可知，軸交角誤差隨著進給量和背吃刀量的增大而增大，但軸交角誤差對背吃刀量的變化較為敏感，隨其增大而顯著增大，而對進給量的變化不敏感。

3 主軸變形對加工精度的影響分析

3.1 力致誤差模型

根據(jù)多體系統(tǒng)運動學理論，剛體Bi與相鄰的剛體Bj之間的位置關系可以用齊次坐標變換矩陣表示。如圖9所示，分別在剛體Bi與剛體Bj上建立笛卡爾坐標系，其中α、β和γ分別為繞x、y和z軸的旋轉角；dx、dy和dz分別代表沿x、y和z軸的位移，因此，剛體Bj到剛體Bi的齊次坐標變換矩陣可表示為：

圖9 相鄰體相對運動示意圖 圖10 剮齒機床示意圖

(16)

式中，Tx、Ty、Tz分別為沿x、y和z軸的平移運動變換矩陣；Rx、Ry、Rz分別為繞x、y和z軸的旋轉運動變換陣。

圖10為剮齒機床示意圖，以床身為參考，將機床分為刀具端運動鏈‘0-1-2-3-4-5-6’和工件端運動鏈‘0-8-7’。

如圖11所示為機床無誤差運動傳動鏈，利用齊次坐標變換理論，分析刀具端運動鏈和工件端運動鏈之間的位置和方向關系。

圖11 剮齒機床無誤差運動傳動鏈

建立剮齒刀與工件的位置和方向關系，在坐標系6中，剮齒刀上的切削點定義為H6=(x6,y6,z6,1)T，而工件上的切削點在坐標系7中表示為P7=(x7,y7,z7,1)T。那么，在固定參考坐標系0中H6和P7的坐標可表示為：

H0=M06H6=Tx(X)Tz(Z)Ty(Y)
Ty(L)Rx(A)Ry(B)Ty(-L)H6

(17)

P0=M07P7=Rz(C)P7

(18)

式中，X、Y、Z、A、B、C分別為對應軸的運動量；L為刀具坐標系原點與A軸坐標系原點之間的距離。

因此，由工件坐標系到刀具坐標系的齊次坐標變換矩陣為：

M76=(Rz(C))-1Tx(X)Tz(Z)Ty(Y)
Ty(L)Rx(A)Ry(B)Ty(-L)

(19)

在剮齒加工過程中，切削力致工藝系統(tǒng)的變形會使各部件發(fā)生位姿偏差，因此，相鄰部件之間位姿偏差變換矩陣為：

(20)

式中，Δα、Δβ和Δγ分別為繞x、y和z軸的旋轉角誤差；Δdx、Δdy和Δdz分別為沿x、y和z軸的直線位移誤差。

剮齒切削力使各部件位姿發(fā)生偏差，最終導致刀具和工件的位姿發(fā)生改變，影響加工精度。因此建立一種直接力致誤差模型，該模型考慮由力致變形最終導致的刀具位姿偏差和工件位姿偏差。如圖12所示為有誤差運動傳動鏈，則在固定參考坐標系0中H6和P7的實際坐標分別為：

圖12 剮齒機床有誤差運動傳動鏈 圖13 法向齒廓誤差模型

H0′=E06M06H6=EtTx(X)Tz(Z)Ty(Y)
Ty(L)Rx(A)Ry(B)Ty(-L)H6

(21)

P0′=E07M07P7=EgRz(C)P7

(22)

那么，由工件坐標系到刀具坐標系的實際齊次坐標變換矩陣為：

M76′=(E07M07)-1E06M06=(EgRz(C))-1EtTx(X)

Tz(Z)Ty(Y)Ty(L)Rx(A)Ry(B)Ty(-L)

(23)

式中，Et、Eg分別為刀具和工件的誤差坐標變換矩陣。

設在刀具坐標系S2下的剮齒刀齒形方程為：

r(1)(u,θ)=x1(u,θ)i+y1(u,θ)j

(24)

式中，x1、y1為刀具齒形上的坐標點；u、θ為齒形的兩個參數(shù)。

則工件的實際齒形方程為：

r(2)(u2,θ2)=M76′r(1)(u1,θ1)

(25)

剮齒切削力致工藝系統(tǒng)變形導致刀具和工件的位姿發(fā)生改變，使加工出的齒廓偏離理論齒廓，影響加工精度。為了分析力致變形誤差對齒輪法向齒廓誤差的影響，建立法向齒廓誤差模型，如圖13所示。

圖13中，Q′為實際齒廓上的一點，過點Q′做基圓的切線，交于點T，Q點為理論齒廓上一點；u為漸開線展角；rb為基圓半徑；σ0為基圓齒槽半角；QT為漸開線的展開長度；x′、y′為Q′點的坐標；f為齒廓任意一點處的法向誤差值，則法向誤差f為：

(26)

3.2 力致變形誤差分析

基于剮齒加工原理和力致誤差模型，以圓柱內齒輪剮齒加工為例。具體參數(shù)如下：刀具模數(shù)為3 mm，齒數(shù)為23，螺旋角為20°，工件齒數(shù)為63，壓力角為20°，齒寬為50 mm，軸交角為20°，得到剮齒刀包絡出的內齒齒形，如圖14所示。提取包絡出的齒形，根據(jù)法向齒廓誤差模型，進一步得到中心距誤差為0.1 mm的實際齒形和軸交角誤差為0.01°的實際齒形，如圖15所示。從圖15中可以看出，中心距誤差導致切削加工中齒輪左右齒廓欠切，而軸交角誤差導致切削加工中齒輪左齒廓過切，右齒廓欠切。如圖16所示為中心距誤差和軸交角誤差導致的法向誤差，從圖中可以看出，中心距誤差導致左右齒廓的法向誤差相同，而軸交角誤差導致右齒廓的法向誤差大于左齒廓。如圖17所示為最大法向誤差與中心距誤差、軸交角誤差的關系，由圖中可知，左右齒廓的最大法向誤差分別隨中心距誤差和軸交角誤差的增大而增大。

圖14 包絡出的內齒齒形

(a) 中心距誤差 (b) 軸交角誤差

(a) 中心距誤差 (b) 軸交角誤差

(a) 中心距誤差 (b) 軸交角誤差

進一步分析不同方向力致主軸變形對剮齒加工精度的影響，以切削力為2193 N(背吃刀量為0.2 mm，進給量為0.1 mm/r)為例，如圖18所示。從圖中可以看出，X方向變形對法向齒廓誤差的影響要大于Y方向。X方向變形導致中心距變化，因此X方向變形引起的左右齒廓的法向誤差相同。Y方向變形對法向誤差的影響很小。另外可以看出，Z方向變形導致的法向誤差與理論誤差相同，因此可知，Z方向變形不影響法向齒廓誤差。

圖18 不同方向變形對法向誤差的影響

4 結論

(1)通過建立剮齒加工主軸變形模型，分析了主軸變形對中心距和軸交角的影響情況。其中軸角隨主軸的變形而增大，中心距在剮削外齒時隨主軸的變形而增大，在剮削內齒時減小。

(2)根據(jù)剮齒切削力計算方法和主軸變形模型的分析可知，中心距誤差和軸交角誤差隨著背吃刀量和進給量的增大而增大。其中，中心距誤差對進給量的變化更為敏感，軸交角誤差對背吃刀量的變化更為敏感。

(3)通過建立力致誤差模型和齒輪法向齒廓誤差模型，分析了法向誤差與中心距誤差、軸交角誤差及主軸不同方向變形的關系。其中，中心距誤差會導致齒輪左右齒廓欠切，左右齒廓的法向誤差相同；軸交角誤差會導致左齒廓過切，右齒廓欠切，右齒廓的法向誤差大于左齒廓。主軸X方向變形對法向誤差的影響要大于Y方向，主軸Z方向變形對法向誤差沒有影響。