復(fù)合干擾下永磁球形電機(jī)的全階滑?？刂?/h1>
2022-06-30 06:56王群京李國麗
南京航空航天大學(xué)學(xué)報 2022年3期
王 松，王群京,2，李國麗,3，文 彥
（1.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，合肥 230601；2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機(jī)及其控制技術(shù)國家地方聯(lián)合實驗室，合肥 230601；3.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點(diǎn)實驗室，合肥 230601；4.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心，合肥 230601；5.安徽大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，合肥 230601）
近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展，多自由度球形電機(jī)的設(shè)計和研究引起了全世界的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置是通過控制多臺單軸電機(jī)并結(jié)合復(fù)雜的齒輪結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)的，這不可避免地會導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積龐大，造成動態(tài)響應(yīng)慢、精確度降低和缺乏靈活性等問題。為了克服這些缺點(diǎn)，研究人員提出了能在單臺電機(jī)上實現(xiàn)三自由度運(yùn)動的球形電機(jī)。與傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置相比，球形電機(jī)具有結(jié)構(gòu)緊湊、直接驅(qū)動和良好的動態(tài)性能等優(yōu)點(diǎn)。
為實現(xiàn)球形電機(jī)的多自由度運(yùn)動，有必要設(shè)計具有良好動態(tài)性能的控制算法。文獻(xiàn)［1］將比例微分（Proportional derivative，PD）控制應(yīng)用于球形電機(jī)中，由于球形電機(jī)動力學(xué)模型中含有復(fù)雜的非線性項，PD 控制的有效性難以保證。文獻(xiàn)［2］提出了一種計算轉(zhuǎn)矩控制法，用于解耦和線性化球形電機(jī)的動力學(xué)模型，但其忽略了建模誤差和外部干擾，影響了其控制性能。為了避免依賴精確的動力學(xué)模型，文獻(xiàn)［3-5］提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別和模糊控制器的動態(tài)解耦算法，但模糊控制計算量較大，限制了其工業(yè)應(yīng)用。除了智能控制和經(jīng)典控制外，文獻(xiàn)［6］提出了自適應(yīng)反演滑模控制策略，結(jié)合新穎趨近率抑制抖振問題，但傳統(tǒng)的反演方法將引起“導(dǎo)數(shù)項爆炸”，增加微處理器的計算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)［7］提出了一種動態(tài)解耦控制策略，通常動態(tài)解耦控制依賴高精度的物理模型，不可避免的建模誤差很可能導(dǎo)致令人不滿的性能。文獻(xiàn)［8］提出了基于動態(tài)表面法的魯棒自適應(yīng)滑?？刂疲苊饬藗鹘y(tǒng)反推方法引起的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)項爆炸問題，但自適應(yīng)在線估計存在較大的估計誤差和較長的估計過程，應(yīng)用于強(qiáng)耦合運(yùn)動系統(tǒng)通常會導(dǎo)致較差的響應(yīng)。
滑?？刂剖且环N魯棒控制方法，具有對建模誤差和不確定性干擾不敏感的優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中［9-11］。傳統(tǒng)的滑?？刂朴捎陔A數(shù)減少，其理想滑動模態(tài)不能完整地表達(dá)系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此提出了全階滑?？刂疲?2］。近年來，提出了一種利用干擾觀測器處理干擾和建模不確定性的方法，隨著干擾觀測器的發(fā)展，滑?？刂萍夹g(shù)與干擾觀測器的結(jié)合應(yīng)用得到了研究人員的廣泛關(guān)注［13-14］。文獻(xiàn)［15］提出了一種有限時間干擾觀測器，能夠在有限時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確地提供跟蹤干擾能力。
本文針對一種永磁球形電機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂品椒?。有限時間干擾觀測器用來估計復(fù)合干擾；設(shè)計全階滑模面，使永磁球形電機(jī)的理想滑模運(yùn)動表達(dá)其全階動態(tài)特性；設(shè)計連續(xù)滑模控制律，在控制輸入端補(bǔ)償其復(fù)合干擾，獲得良好的跟蹤性能和動態(tài)特性。最后，通過與PD 控制和傳統(tǒng)滑?？刂品抡鎸Ρ?，驗證了所提控制算法的優(yōu)越性。
1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)建模
1.1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)
文獻(xiàn)［16］提出的新型永磁球形電機(jī)整體結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，轉(zhuǎn)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。該電機(jī)主要由一個球形轉(zhuǎn)子、一個由兩個半球殼組成的定子以及固定在轉(zhuǎn)子上的輸出軸組成。在轉(zhuǎn)子上沿赤道對稱均勻分布了4 層永磁體，每層分別有10 個釹鐵硼材料的永磁體。這些圓柱型的永磁體鑲嵌在轉(zhuǎn)子上，N 級和S 級交錯排列。定子上沿赤道均勻鑲嵌兩層空心線圈，每層共有12 個圓柱型線圈。
圖1 PMSA 的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.1 Mechanical structure of PMSA
永磁球形電機(jī)由轉(zhuǎn)子中的永磁體和定子通電線圈相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩驅(qū)動。在期望的線圈通電驅(qū)動控制下，轉(zhuǎn)子能夠產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)其傾斜、俯仰和自旋三自由度運(yùn)動。實驗樣機(jī)如圖2 所示。
圖2 永磁球形電機(jī)實驗樣機(jī)Fig.2 Experimental prototype of PMSA
1.2 動力學(xué)建模
為建立永磁球形電機(jī)的動力學(xué)模型，引入定子坐標(biāo)系XYZ和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw。坐標(biāo)系XYZ位于定子球殼上，坐標(biāo)系uvw固定在轉(zhuǎn)子球體上。轉(zhuǎn)子球所確定的位置變化可以用廣義歐拉角（α，β，γ）表示。圖3 描述了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw可由定子坐標(biāo)系XYZ經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)得到。兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rrs如式（1）所示。
圖3 坐標(biāo)變換Fig.3 Coordinate transformation
結(jié)合拉格朗日第2 方程，永磁球形電機(jī)的動力學(xué)模型為
式中：Iu、Iv和Iw分別表示繞u軸、v軸和w軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。從永磁球形電機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)容易得出，轉(zhuǎn)子沿輸出軸方向上是嚴(yán)格對稱的，故Iu=Iv≠Iw，設(shè)Iu=Iv=Iuv。
永磁球形電機(jī)建模過程中，不可避免地會存在建模誤差。為了量化建模誤差，實際慣性矩陣和實際哥氏力及離心力矩陣分別定義為
式中：r1和r2分別為線性建模誤差系數(shù)。在實際系統(tǒng)中，這兩個系數(shù)的范圍為-1 ＜r1，r2＜1。
考慮上述因素，將永磁球形電機(jī)動力學(xué)模型（2）改寫為
式中d表示永磁球形電機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)中復(fù)合干擾力矩
其包括外界干擾，負(fù)載力矩和模型不確定性。
式（8）中所定義的數(shù)學(xué)模型，具有以下性質(zhì)：
性質(zhì)1 慣性矩陣M(q)是對稱，有界和正定的。
2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
永磁球形電機(jī)在操作過程中存在包括外界干擾、未知有效載荷和建模誤差等復(fù)合干擾，這些不利干擾將會在很大程度上降低永磁球形電機(jī)的動態(tài)特性。為此，提出一種有限時間干擾觀測器，能夠使復(fù)合干擾的觀測值在有限時間內(nèi)收斂到其實際值。控制器結(jié)構(gòu)如圖4 所示。
圖4 所提控制器流程圖Fig.4 Schematic of the proposed controller
2.1 有限時間干擾觀測器
為了設(shè)計有限時間干擾觀測器，首先，定義永磁球形電機(jī)的廣義動量為p=M(q)?，則
將式（8，10）代入式（11），可得
根據(jù)有限時間干擾觀測器（13），使用收斂分析法檢測該干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性。觀測誤差定義為
2.2 基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂?/h3>
基于所提的有限時間干擾觀測器，設(shè)計基于有限時間干擾觀測的全階滑?？刂品椒ㄌ幚韽?fù)合干擾。首先，定義永磁球形電機(jī)系統(tǒng)的跟蹤誤差為
式中qd分別為期望的軌跡及其角速度。
設(shè)計全階滑模面如下
式中η1、η2為正常數(shù)。
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1 對于在滑?？刂坡剩?7）下具有全階滑模面（16）的永磁球形電機(jī)系統(tǒng)（8），永磁球形電機(jī)的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
證明 根據(jù)永磁球形電機(jī)系統(tǒng)（8）和全階滑模面（16）獲得閉環(huán)全階滑模動態(tài)特性。
取全階滑模面（16）對時間的導(dǎo)數(shù)，可得
將控制率（17）代入式（18），得
式中e1=M-1(q)(d-?)=M-1(q)ed。根據(jù)2.1節(jié)可知，觀測誤差ed將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，因此e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
（1）證明在有限時間內(nèi)，t＜t1，誤差e1不會將滑動變量s推動到無窮大。為式（19）定義一個函數(shù)
下面，證明式（20）在有限時間內(nèi)有界。對式（20）求導(dǎo)，得
式（21）表明：V1和s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大。
（2）證明滑動變量s將在有限時間內(nèi)收斂到s=0。
因為滑動變量s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大，又有e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，當(dāng)t＞t1時，可將式（19）簡化為
根據(jù)文獻(xiàn)［17］可知，滑動變量s及其導(dǎo)數(shù)s?將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
（3）證明滑動變量s在任意有限時間內(nèi)不會將誤差e，e?驅(qū)動到無窮大。
根據(jù)全階滑模面（16），可以得到永磁球形電機(jī)系統(tǒng)的誤差動態(tài)特性
為式（23）定義一個方程
下面，證明V2在有限時間內(nèi)有界，對式（24）求導(dǎo)，得
（4）證明永磁球形電機(jī)的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
一旦滿足理想滑模面s=0，永磁球形電機(jī)的誤差動態(tài)方程為
或者為
此時，式（28）是永磁球形電機(jī)的全階動態(tài)特性，可以反映出永磁球形電機(jī)的全部動力學(xué)特征。
如果選擇參數(shù)α1、α2滿足不等式α1=α2/(2-α2)，α2∈(0，1)，Λ1、Λ2中的元素確保多項式p2+λ2i p+λ1i(i=1，2，3)為赫維茲穩(wěn)定。則系統(tǒng)（28）可以在有限時間內(nèi)從任何初始條件沿著全階滑模面收斂到平衡點(diǎn)［12］。
至此，完成了定理1 的證明。
3 仿真分析
影響永磁球形電機(jī)軌跡跟蹤性能的兩個重要因素：建模誤差和干擾。本節(jié)主要通過對這兩方面進(jìn)行仿真以評估所提控制器的性能。
根據(jù)第1 節(jié)中永磁球形電機(jī)的實際尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù)，仿真計算出其轉(zhuǎn)動慣量
設(shè)期望軌跡為
系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為
根據(jù)式（9），將建模誤差設(shè)置為
外界干擾設(shè)置為
式中m為(-0.03，0.03)之間的隨機(jī)數(shù)。
負(fù)載力矩設(shè)置為
式中，L為負(fù)載力矩的系數(shù)。
所提控制器參數(shù)如下。有限時間干擾觀測器增益矩陣選擇為Γ1=diag{200，200，200}、Γ2=diag{10 000，10 000，10 000}，功率系數(shù)選擇為a1=0.8，a2=0.9。全階滑模面增益矩陣選擇Λ1=diag{56，56，56}，Λ2=diag{15，15，15}，功率系數(shù)選擇為α1=11/13，α2=11/12，η1=5，η2=15。
在相同的期望軌跡和外界干擾下，3.1 節(jié)和3.2節(jié)分別設(shè)計為在相同負(fù)載力矩情況下改變模型不確定性和在相同模型不確定下改變負(fù)載力矩的仿真實驗。為了比較分析，設(shè)計了3種控制方案：（1）所提的基于干擾觀測器的全階滑?？刂疲‵inite-time disturbance observer based full-order sliding-mode control FTDO-FOSMC）；（2）PD 控制；（3）傳統(tǒng)的滑?？刂疲⊿liding mode control，SMC）。
3.1 不同模型不確定性下仿真結(jié)果分析
本節(jié)將負(fù)載力矩系數(shù)L設(shè)置為0，改變建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。
圖5、6 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電30%建模不確定下的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。從圖5、6 可知，存在模型不確定的情況下，PD控制和傳統(tǒng)SMC 與本文所提FTDO-FSCM 方法相比，實際軌跡與期望軌跡之間存在較大的誤差，在2 s 時，3 種控制方法的歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.004，0.008，0.003 1；0.002，0.003，0.001 3和1.2e-5，1.4e-5，1.1e-4。由此可知，本文所提控制方法具有更好的跟蹤性能，實際軌跡非常接近期望軌跡。
圖5 位置響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.5 Response curves of position (L=0, r=0.3)
圖6 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.6 Response curves of tracking error (L=0, r=0.3)
為了更直觀地比較3 個控制器的性能，圖7 給出了永磁球形電機(jī)在3 種控制器作用下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差（Root mean square error，RMSE），其中，負(fù)載系數(shù)L=0，建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。從圖7 可知，當(dāng)建模不確定系數(shù)r=0.3 時，在本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 控制，PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差分別為6.3e-6，6.5e-6，1.0e-5；7.2e-3，7.0e-3，4.5e-3 和1.5e-3，2.9e-4，1.e-3。由此可知，在FTDO-FOSMC 控制策略下，永磁球形電機(jī)的跟蹤誤差收斂精度遠(yuǎn)大于PD 控制方法和傳統(tǒng)SMC方法；且隨著r的增大，使用FTDO-FOSMC的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 變化要小于使用PD控制方法和傳統(tǒng)SMC 方法。表明在建模不確定下本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。
3.2 不同負(fù)載力矩下仿真結(jié)果分析
本節(jié)中，將建模不確定性系數(shù)r設(shè)置為0.2，負(fù)載力矩系數(shù)L從1～5 變化。
圖8、9 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電機(jī)負(fù)載力矩系數(shù)L=3 時，軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。結(jié)果表明在PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，存在較大穩(wěn)態(tài)誤差，其歐拉角α、β、γ的最大穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.015 8、0.014 7、0.030 2 和0.006、0.001 4、0.006 3。而在相同條件下，使用FTDO-FOSMC，其歐拉角穩(wěn)態(tài)誤差絕對值不大于5.3e-5，1.3e-4，1.8e-4。
圖7 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(L=0)Fig.7 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (L=0)
圖8 位置響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.8 Response curves of position (L=3, r=0.2)
圖10給出了負(fù)載轉(zhuǎn)矩系數(shù)L從1～5時，3種控制器下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差。顯然，F(xiàn)TDO-FOSMC的收斂精度在3 種控制器中最高。例如，當(dāng)L=3時，在FTDO-FOSMC 控制下，歐拉角α、β、γ的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 為6.2e-6、6.6e-6、1.0e-5。而使用PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 分別為9.0e-3、8.2e-3、7.8e-3 和3.0e-3、9.5e-4、2.9e-3。仿真結(jié)果驗證了所提控制器在外部載荷下軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和魯棒性。
圖9 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.9 Response curves of tracking error (L=3, r=0.2)
更進(jìn)一步，圖11 為在所提控制器、PD 控制和傳統(tǒng)SMC 下控制力矩輸入量。顯而易見，采用FTDO-FOSMC 控制時，系統(tǒng)在3 個方向上輸入的控制力矩曲線均較為平滑，能夠有效抑制抖振。而采用傳統(tǒng)SMC 控制時，輸出的控制力矩則存在較大程度的抖振現(xiàn)象。PD 控制的初始轉(zhuǎn)矩為所提控制器的3 倍以上，抖振情況嚴(yán)重時，必然會對電機(jī)本體造成損害，同時會降低系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，增大控制難度。較大的初始轉(zhuǎn)矩將增大控制硬件負(fù)擔(dān)。
3.3 實驗
圖10 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(r=0.2)Fig.10 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (r=0.2)
圖11 控制力矩輸入(L=3, r=0.2)Fig.11 Control torque input (L=3, r=0.2)
圖12 顯示的實驗平臺用于驗證所提控制策略的有效性，其主要由永磁球形電機(jī)樣機(jī)、上位機(jī)、位置檢測裝置和電流驅(qū)動裝置組成。在實驗中，為了易于觀察控制性能，選擇在XY平面中執(zhí)行圓形軌跡，其軌跡為
實驗中，將FTDO-FOSMC 控制與PD 控制相比較研究。圖13（a，b）分別顯示了PD 控制的軌跡跟蹤和相應(yīng)的跟蹤誤差。顯然歐拉角α，β的軌跡跟蹤誤差最大值均大于1.1°，跟蹤性能較差。圖14（a）顯示了FTDO-FOSMC 控制的軌跡跟蹤性能，圖14（b）顯示了其軌跡跟蹤誤差，由圖14 可知，實際軌跡較符合期望軌跡，并且歐拉角α、β的最大軌跡跟蹤誤差均小于0.63°。實驗結(jié)果表明，所提控制器對復(fù)合干擾進(jìn)行了有效的補(bǔ)償，具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤性能。
圖12 實驗平臺Fig12 Experimental platform
圖13 PD 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.13 Trajectory tracking response under PD control
圖14 FTDO-FOSMC 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.14 Trajectory tracking response under FTDO-FOSMC control
4 結(jié)論
本文主要研究受復(fù)合干擾影響下的永磁球形電機(jī)軌跡跟蹤控制。針對復(fù)合干擾，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂扑惴?。有限時間干擾觀測器對復(fù)合干擾進(jìn)行了實時估計，全階滑?？刂扑惴ㄊ褂来徘蛐坞姍C(jī)的理想滑模運(yùn)動具有完整的動態(tài)特性。仿真結(jié)果表明，在不同的復(fù)合干擾下，所提出的控制算法能夠以較小的誤差實現(xiàn)軌跡跟蹤，具有良好的魯棒性和抗干擾能力，并能夠有效抑制控制輸入的抖振現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，使用所提控制算法穩(wěn)態(tài)軌跡跟蹤誤差小于0.63°，比常規(guī)的PD 控制算法減少約50%。因此，所提控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)永磁球形電機(jī)良好的跟蹤性能，為永磁球形電機(jī)未來在工程中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。
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王 松，王群京,2，李國麗,3，文 彥
（1.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，合肥 230601；2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機(jī)及其控制技術(shù)國家地方聯(lián)合實驗室，合肥 230601；3.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點(diǎn)實驗室，合肥 230601；4.安徽大學(xué)工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心，合肥 230601；5.安徽大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，合肥 230601）
近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展，多自由度球形電機(jī)的設(shè)計和研究引起了全世界的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置是通過控制多臺單軸電機(jī)并結(jié)合復(fù)雜的齒輪結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)的，這不可避免地會導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積龐大，造成動態(tài)響應(yīng)慢、精確度降低和缺乏靈活性等問題。為了克服這些缺點(diǎn)，研究人員提出了能在單臺電機(jī)上實現(xiàn)三自由度運(yùn)動的球形電機(jī)。與傳統(tǒng)的多自由度伺服裝置相比，球形電機(jī)具有結(jié)構(gòu)緊湊、直接驅(qū)動和良好的動態(tài)性能等優(yōu)點(diǎn)。
為實現(xiàn)球形電機(jī)的多自由度運(yùn)動，有必要設(shè)計具有良好動態(tài)性能的控制算法。文獻(xiàn)［1］將比例微分（Proportional derivative，PD）控制應(yīng)用于球形電機(jī)中，由于球形電機(jī)動力學(xué)模型中含有復(fù)雜的非線性項，PD 控制的有效性難以保證。文獻(xiàn)［2］提出了一種計算轉(zhuǎn)矩控制法，用于解耦和線性化球形電機(jī)的動力學(xué)模型，但其忽略了建模誤差和外部干擾，影響了其控制性能。為了避免依賴精確的動力學(xué)模型，文獻(xiàn)［3-5］提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別和模糊控制器的動態(tài)解耦算法，但模糊控制計算量較大，限制了其工業(yè)應(yīng)用。除了智能控制和經(jīng)典控制外，文獻(xiàn)［6］提出了自適應(yīng)反演滑模控制策略，結(jié)合新穎趨近率抑制抖振問題，但傳統(tǒng)的反演方法將引起“導(dǎo)數(shù)項爆炸”，增加微處理器的計算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)［7］提出了一種動態(tài)解耦控制策略，通常動態(tài)解耦控制依賴高精度的物理模型，不可避免的建模誤差很可能導(dǎo)致令人不滿的性能。文獻(xiàn)［8］提出了基于動態(tài)表面法的魯棒自適應(yīng)滑?？刂疲苊饬藗鹘y(tǒng)反推方法引起的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)項爆炸問題，但自適應(yīng)在線估計存在較大的估計誤差和較長的估計過程，應(yīng)用于強(qiáng)耦合運(yùn)動系統(tǒng)通常會導(dǎo)致較差的響應(yīng)。
滑?？刂剖且环N魯棒控制方法，具有對建模誤差和不確定性干擾不敏感的優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中［9-11］。傳統(tǒng)的滑?？刂朴捎陔A數(shù)減少，其理想滑動模態(tài)不能完整地表達(dá)系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此提出了全階滑?？刂疲?2］。近年來，提出了一種利用干擾觀測器處理干擾和建模不確定性的方法，隨著干擾觀測器的發(fā)展，滑?？刂萍夹g(shù)與干擾觀測器的結(jié)合應(yīng)用得到了研究人員的廣泛關(guān)注［13-14］。文獻(xiàn)［15］提出了一種有限時間干擾觀測器，能夠在有限時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確地提供跟蹤干擾能力。
本文針對一種永磁球形電機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂品椒?。有限時間干擾觀測器用來估計復(fù)合干擾；設(shè)計全階滑模面，使永磁球形電機(jī)的理想滑模運(yùn)動表達(dá)其全階動態(tài)特性；設(shè)計連續(xù)滑模控制律，在控制輸入端補(bǔ)償其復(fù)合干擾，獲得良好的跟蹤性能和動態(tài)特性。最后，通過與PD 控制和傳統(tǒng)滑?？刂品抡鎸Ρ?，驗證了所提控制算法的優(yōu)越性。
1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)建模
1.1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)
文獻(xiàn)［16］提出的新型永磁球形電機(jī)整體結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，轉(zhuǎn)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。該電機(jī)主要由一個球形轉(zhuǎn)子、一個由兩個半球殼組成的定子以及固定在轉(zhuǎn)子上的輸出軸組成。在轉(zhuǎn)子上沿赤道對稱均勻分布了4 層永磁體，每層分別有10 個釹鐵硼材料的永磁體。這些圓柱型的永磁體鑲嵌在轉(zhuǎn)子上，N 級和S 級交錯排列。定子上沿赤道均勻鑲嵌兩層空心線圈，每層共有12 個圓柱型線圈。
圖1 PMSA 的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.1 Mechanical structure of PMSA
永磁球形電機(jī)由轉(zhuǎn)子中的永磁體和定子通電線圈相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩驅(qū)動。在期望的線圈通電驅(qū)動控制下，轉(zhuǎn)子能夠產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)其傾斜、俯仰和自旋三自由度運(yùn)動。實驗樣機(jī)如圖2 所示。
圖2 永磁球形電機(jī)實驗樣機(jī)Fig.2 Experimental prototype of PMSA
1.2 動力學(xué)建模
為建立永磁球形電機(jī)的動力學(xué)模型，引入定子坐標(biāo)系XYZ和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw。坐標(biāo)系XYZ位于定子球殼上，坐標(biāo)系uvw固定在轉(zhuǎn)子球體上。轉(zhuǎn)子球所確定的位置變化可以用廣義歐拉角（α，β，γ）表示。圖3 描述了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系uvw可由定子坐標(biāo)系XYZ經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)得到。兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rrs如式（1）所示。
圖3 坐標(biāo)變換Fig.3 Coordinate transformation
結(jié)合拉格朗日第2 方程，永磁球形電機(jī)的動力學(xué)模型為
式中：Iu、Iv和Iw分別表示繞u軸、v軸和w軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。從永磁球形電機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)容易得出，轉(zhuǎn)子沿輸出軸方向上是嚴(yán)格對稱的，故Iu=Iv≠Iw，設(shè)Iu=Iv=Iuv。
永磁球形電機(jī)建模過程中，不可避免地會存在建模誤差。為了量化建模誤差，實際慣性矩陣和實際哥氏力及離心力矩陣分別定義為
式中：r1和r2分別為線性建模誤差系數(shù)。在實際系統(tǒng)中，這兩個系數(shù)的范圍為-1 ＜r1，r2＜1。
考慮上述因素，將永磁球形電機(jī)動力學(xué)模型（2）改寫為
式中d表示永磁球形電機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)中復(fù)合干擾力矩
其包括外界干擾，負(fù)載力矩和模型不確定性。
式（8）中所定義的數(shù)學(xué)模型，具有以下性質(zhì)：
性質(zhì)1 慣性矩陣M(q)是對稱，有界和正定的。
2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
永磁球形電機(jī)在操作過程中存在包括外界干擾、未知有效載荷和建模誤差等復(fù)合干擾，這些不利干擾將會在很大程度上降低永磁球形電機(jī)的動態(tài)特性。為此，提出一種有限時間干擾觀測器，能夠使復(fù)合干擾的觀測值在有限時間內(nèi)收斂到其實際值。控制器結(jié)構(gòu)如圖4 所示。
圖4 所提控制器流程圖Fig.4 Schematic of the proposed controller
2.1 有限時間干擾觀測器
為了設(shè)計有限時間干擾觀測器，首先，定義永磁球形電機(jī)的廣義動量為p=M(q)?，則
將式（8，10）代入式（11），可得
根據(jù)有限時間干擾觀測器（13），使用收斂分析法檢測該干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性。觀測誤差定義為
2.2 基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂?/h3>
基于所提的有限時間干擾觀測器，設(shè)計基于有限時間干擾觀測的全階滑?？刂品椒ㄌ幚韽?fù)合干擾。首先，定義永磁球形電機(jī)系統(tǒng)的跟蹤誤差為
式中qd分別為期望的軌跡及其角速度。
設(shè)計全階滑模面如下
式中η1、η2為正常數(shù)。
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1 對于在滑?？刂坡剩?7）下具有全階滑模面（16）的永磁球形電機(jī)系統(tǒng)（8），永磁球形電機(jī)的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
證明 根據(jù)永磁球形電機(jī)系統(tǒng)（8）和全階滑模面（16）獲得閉環(huán)全階滑模動態(tài)特性。
取全階滑模面（16）對時間的導(dǎo)數(shù)，可得
將控制率（17）代入式（18），得
式中e1=M-1(q)(d-?)=M-1(q)ed。根據(jù)2.1節(jié)可知，觀測誤差ed將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，因此e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
（1）證明在有限時間內(nèi)，t＜t1，誤差e1不會將滑動變量s推動到無窮大。為式（19）定義一個函數(shù)
下面，證明式（20）在有限時間內(nèi)有界。對式（20）求導(dǎo)，得
式（21）表明：V1和s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大。
（2）證明滑動變量s將在有限時間內(nèi)收斂到s=0。
因為滑動變量s不會在有限時間內(nèi)發(fā)散到無窮大，又有e1將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，當(dāng)t＞t1時，可將式（19）簡化為
根據(jù)文獻(xiàn)［17］可知，滑動變量s及其導(dǎo)數(shù)s?將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
（3）證明滑動變量s在任意有限時間內(nèi)不會將誤差e，e?驅(qū)動到無窮大。
根據(jù)全階滑模面（16），可以得到永磁球形電機(jī)系統(tǒng)的誤差動態(tài)特性
為式（23）定義一個方程
下面，證明V2在有限時間內(nèi)有界，對式（24）求導(dǎo)，得
（4）證明永磁球形電機(jī)的軌跡跟蹤誤差e將在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。
一旦滿足理想滑模面s=0，永磁球形電機(jī)的誤差動態(tài)方程為
或者為
此時，式（28）是永磁球形電機(jī)的全階動態(tài)特性，可以反映出永磁球形電機(jī)的全部動力學(xué)特征。
如果選擇參數(shù)α1、α2滿足不等式α1=α2/(2-α2)，α2∈(0，1)，Λ1、Λ2中的元素確保多項式p2+λ2i p+λ1i(i=1，2，3)為赫維茲穩(wěn)定。則系統(tǒng)（28）可以在有限時間內(nèi)從任何初始條件沿著全階滑模面收斂到平衡點(diǎn)［12］。
至此，完成了定理1 的證明。
3 仿真分析
影響永磁球形電機(jī)軌跡跟蹤性能的兩個重要因素：建模誤差和干擾。本節(jié)主要通過對這兩方面進(jìn)行仿真以評估所提控制器的性能。
根據(jù)第1 節(jié)中永磁球形電機(jī)的實際尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù)，仿真計算出其轉(zhuǎn)動慣量
設(shè)期望軌跡為
系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為
根據(jù)式（9），將建模誤差設(shè)置為
外界干擾設(shè)置為
式中m為(-0.03，0.03)之間的隨機(jī)數(shù)。
負(fù)載力矩設(shè)置為
式中，L為負(fù)載力矩的系數(shù)。
所提控制器參數(shù)如下。有限時間干擾觀測器增益矩陣選擇為Γ1=diag{200，200，200}、Γ2=diag{10 000，10 000，10 000}，功率系數(shù)選擇為a1=0.8，a2=0.9。全階滑模面增益矩陣選擇Λ1=diag{56，56，56}，Λ2=diag{15，15，15}，功率系數(shù)選擇為α1=11/13，α2=11/12，η1=5，η2=15。
在相同的期望軌跡和外界干擾下，3.1 節(jié)和3.2節(jié)分別設(shè)計為在相同負(fù)載力矩情況下改變模型不確定性和在相同模型不確定下改變負(fù)載力矩的仿真實驗。為了比較分析，設(shè)計了3種控制方案：（1）所提的基于干擾觀測器的全階滑?？刂疲‵inite-time disturbance observer based full-order sliding-mode control FTDO-FOSMC）；（2）PD 控制；（3）傳統(tǒng)的滑?？刂疲⊿liding mode control，SMC）。
3.1 不同模型不確定性下仿真結(jié)果分析
本節(jié)將負(fù)載力矩系數(shù)L設(shè)置為0，改變建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。
圖5、6 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電30%建模不確定下的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。從圖5、6 可知，存在模型不確定的情況下，PD控制和傳統(tǒng)SMC 與本文所提FTDO-FSCM 方法相比，實際軌跡與期望軌跡之間存在較大的誤差，在2 s 時，3 種控制方法的歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.004，0.008，0.003 1；0.002，0.003，0.001 3和1.2e-5，1.4e-5，1.1e-4。由此可知，本文所提控制方法具有更好的跟蹤性能，實際軌跡非常接近期望軌跡。
圖5 位置響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.5 Response curves of position (L=0, r=0.3)
圖6 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)（L=0，r=0.3）Fig.6 Response curves of tracking error (L=0, r=0.3)
為了更直觀地比較3 個控制器的性能，圖7 給出了永磁球形電機(jī)在3 種控制器作用下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差（Root mean square error，RMSE），其中，負(fù)載系數(shù)L=0，建模不確定性系數(shù)r從0.1～0.5。從圖7 可知，當(dāng)建模不確定系數(shù)r=0.3 時，在本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 控制，PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其歐拉角的穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差分別為6.3e-6，6.5e-6，1.0e-5；7.2e-3，7.0e-3，4.5e-3 和1.5e-3，2.9e-4，1.e-3。由此可知，在FTDO-FOSMC 控制策略下，永磁球形電機(jī)的跟蹤誤差收斂精度遠(yuǎn)大于PD 控制方法和傳統(tǒng)SMC方法；且隨著r的增大，使用FTDO-FOSMC的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 變化要小于使用PD控制方法和傳統(tǒng)SMC 方法。表明在建模不確定下本文設(shè)計的FTDO-FOSMC 具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。
3.2 不同負(fù)載力矩下仿真結(jié)果分析
本節(jié)中，將建模不確定性系數(shù)r設(shè)置為0.2，負(fù)載力矩系數(shù)L從1～5 變化。
圖8、9 分別顯示了3 種控制器在永磁球形電機(jī)負(fù)載力矩系數(shù)L=3 時，軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差響應(yīng)。結(jié)果表明在PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，存在較大穩(wěn)態(tài)誤差，其歐拉角α、β、γ的最大穩(wěn)態(tài)誤差絕對值分別為0.015 8、0.014 7、0.030 2 和0.006、0.001 4、0.006 3。而在相同條件下，使用FTDO-FOSMC，其歐拉角穩(wěn)態(tài)誤差絕對值不大于5.3e-5，1.3e-4，1.8e-4。
圖7 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(L=0)Fig.7 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (L=0)
圖8 位置響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.8 Response curves of position (L=3, r=0.2)
圖10給出了負(fù)載轉(zhuǎn)矩系數(shù)L從1～5時，3種控制器下穩(wěn)態(tài)誤差的均方根誤差。顯然，F(xiàn)TDO-FOSMC的收斂精度在3 種控制器中最高。例如，當(dāng)L=3時，在FTDO-FOSMC 控制下，歐拉角α、β、γ的穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 為6.2e-6、6.6e-6、1.0e-5。而使用PD 控制和傳統(tǒng)SMC 的控制下，其穩(wěn)態(tài)誤差的RMSE 分別為9.0e-3、8.2e-3、7.8e-3 和3.0e-3、9.5e-4、2.9e-3。仿真結(jié)果驗證了所提控制器在外部載荷下軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和魯棒性。
圖9 軌跡跟蹤誤差響應(yīng)(L=3, r=0.2)Fig.9 Response curves of tracking error (L=3, r=0.2)
更進(jìn)一步，圖11 為在所提控制器、PD 控制和傳統(tǒng)SMC 下控制力矩輸入量。顯而易見，采用FTDO-FOSMC 控制時，系統(tǒng)在3 個方向上輸入的控制力矩曲線均較為平滑，能夠有效抑制抖振。而采用傳統(tǒng)SMC 控制時，輸出的控制力矩則存在較大程度的抖振現(xiàn)象。PD 控制的初始轉(zhuǎn)矩為所提控制器的3 倍以上，抖振情況嚴(yán)重時，必然會對電機(jī)本體造成損害，同時會降低系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，增大控制難度。較大的初始轉(zhuǎn)矩將增大控制硬件負(fù)擔(dān)。
3.3 實驗
圖10 3 種控制器下軌跡跟蹤誤差的均方根誤差(r=0.2)Fig.10 RMSE of trajectory tracking error under three controllers (r=0.2)
圖11 控制力矩輸入(L=3, r=0.2)Fig.11 Control torque input (L=3, r=0.2)
圖12 顯示的實驗平臺用于驗證所提控制策略的有效性，其主要由永磁球形電機(jī)樣機(jī)、上位機(jī)、位置檢測裝置和電流驅(qū)動裝置組成。在實驗中，為了易于觀察控制性能，選擇在XY平面中執(zhí)行圓形軌跡，其軌跡為
實驗中，將FTDO-FOSMC 控制與PD 控制相比較研究。圖13（a，b）分別顯示了PD 控制的軌跡跟蹤和相應(yīng)的跟蹤誤差。顯然歐拉角α，β的軌跡跟蹤誤差最大值均大于1.1°，跟蹤性能較差。圖14（a）顯示了FTDO-FOSMC 控制的軌跡跟蹤性能，圖14（b）顯示了其軌跡跟蹤誤差，由圖14 可知，實際軌跡較符合期望軌跡，并且歐拉角α、β的最大軌跡跟蹤誤差均小于0.63°。實驗結(jié)果表明，所提控制器對復(fù)合干擾進(jìn)行了有效的補(bǔ)償，具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤性能。
圖12 實驗平臺Fig12 Experimental platform
圖13 PD 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.13 Trajectory tracking response under PD control
圖14 FTDO-FOSMC 控制下軌跡跟蹤響應(yīng)Fig.14 Trajectory tracking response under FTDO-FOSMC control
4 結(jié)論
本文主要研究受復(fù)合干擾影響下的永磁球形電機(jī)軌跡跟蹤控制。針對復(fù)合干擾，提出了一種基于有限時間干擾觀測器的全階滑?？刂扑惴?。有限時間干擾觀測器對復(fù)合干擾進(jìn)行了實時估計，全階滑?？刂扑惴ㄊ褂来徘蛐坞姍C(jī)的理想滑模運(yùn)動具有完整的動態(tài)特性。仿真結(jié)果表明，在不同的復(fù)合干擾下，所提出的控制算法能夠以較小的誤差實現(xiàn)軌跡跟蹤，具有良好的魯棒性和抗干擾能力，并能夠有效抑制控制輸入的抖振現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，使用所提控制算法穩(wěn)態(tài)軌跡跟蹤誤差小于0.63°，比常規(guī)的PD 控制算法減少約50%。因此，所提控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)永磁球形電機(jī)良好的跟蹤性能，為永磁球形電機(jī)未來在工程中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。
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