趙曉云 李世剛 趙明

(阜陽師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 安徽 阜陽 236037)

數(shù)學(xué)物理方法是高校物理類專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)必修課，它的先修課程是高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理，后續(xù)課程是理論物理相關(guān)課程[1～3]．?dāng)?shù)學(xué)物理方法課程內(nèi)容主要包括復(fù)變函數(shù)和數(shù)理方程兩部分，它把數(shù)學(xué)理論、解題方法和物理實(shí)際三者緊密地結(jié)合在一起，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、理論分析能力和創(chuàng)新思維能力方面有著重要的作用．這門課程的特點(diǎn)是內(nèi)容多、公式多、推導(dǎo)繁瑣、與實(shí)際結(jié)合不緊密，加上現(xiàn)在高校課程課時(shí)的壓縮，教師課堂教學(xué)講解不能足夠細(xì)致充分，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感覺特別難學(xué)，學(xué)習(xí)積極性普遍不高．

2019年，教育部明確提出提高高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量的總要求，鼓勵(lì)高校嘗試采取各種有效措施，努力提高教學(xué)質(zhì)量[4]．?dāng)?shù)學(xué)物理方法這門課程承上啟下，對(duì)于該門課程內(nèi)容的掌握直接關(guān)系到后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)[5，6]．如何學(xué)好該門課程，是學(xué)生的一項(xiàng)重要任務(wù)，如何教好這門課程，則是教師的職責(zé)．?dāng)?shù)學(xué)物理方法這門課程難度系數(shù)較大，如何幫助學(xué)生提高知識(shí)接受程度和學(xué)習(xí)效率，是教師的重要工作．在“以學(xué)生為中心”的教育技術(shù)時(shí)代，教學(xué)模式也必須與時(shí)俱進(jìn)，數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)改革也在不斷進(jìn)行著．關(guān)于數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)方法與手段、教學(xué)內(nèi)容等，很多學(xué)者已經(jīng)提出了建議和改革措施，這些在一定程度上可以提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[7～16]．但是在已有的文獻(xiàn)中，關(guān)于課程內(nèi)容的教學(xué)組織卻很少被提起，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的把握仍然缺乏系統(tǒng)性，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的全貌缺乏整體認(rèn)知，難以把握核心知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)課程時(shí)出現(xiàn)只見樹木不見森林的問題．

筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)物理方法課程中所對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)論和數(shù)理方程兩大知識(shí)板塊，如何結(jié)合學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，建立課程知識(shí)圖，將課程內(nèi)容構(gòu)成更直觀的體系，便于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，以此提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)給同行在教學(xué)中作為參考．

1 復(fù)變函數(shù)論部分

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，其中內(nèi)容主要包括復(fù)變函數(shù)的基本運(yùn)算、積分、冪級(jí)數(shù)展開、留數(shù)定理以及傅立葉變換和拉普拉斯變換．復(fù)變函數(shù)解決一些問題主要依靠的是積分，復(fù)變函數(shù)微積分可以代表明確的物理意義，在理論研究方面和具體實(shí)際問題的解決中都具有重要意義，所以搞清楚復(fù)變函數(shù)的積分對(duì)掌握復(fù)變函數(shù)論知識(shí)至關(guān)重要．

1.1 復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分運(yùn)算不同于實(shí)變函數(shù)積分運(yùn)算，它不僅可能與積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，還可能與積分的路徑有關(guān)．盡管教材中關(guān)于復(fù)變函數(shù)的積分有柯西定理，但是涉及到具體積分時(shí)，學(xué)生仍然不知道怎么去運(yùn)用，針對(duì)這種情況制作了復(fù)變函數(shù)積分運(yùn)算方法知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，具體如圖1所示．

圖1 復(fù)變函數(shù)積分運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

對(duì)于復(fù)變函數(shù)沿著光滑曲線積分的計(jì)算問題，主要包括4種類型，分別是被積復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)和積分光滑曲線是有向線段；被積復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)和積分光滑曲線是閉合回路；被積復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不是解析函數(shù)和積分光滑曲線是有向線段；被積復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)和積分光滑曲線是閉合回路．從圖1可以看出，關(guān)于復(fù)變函數(shù)沿著光滑曲線積分的問題，主要難點(diǎn)是被積復(fù)變函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)和積分光滑曲線是閉合回路的積分計(jì)算，從圖1可以看出，對(duì)于這個(gè)類型問題的計(jì)算，首先要搞清楚被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)孤立奇點(diǎn)的判斷．

1.2 孤立奇點(diǎn)的判斷

復(fù)變函數(shù)f(z)在z0不可導(dǎo)，但在z0的任意小鄰域內(nèi)除z0外其他點(diǎn)處處可導(dǎo)，則稱z0為復(fù)變函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)．根據(jù)復(fù)變函數(shù)f(z)在z0的特點(diǎn)，又可將孤立奇點(diǎn)分為3種類型：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)．如何判據(jù)具體如圖2所示．

圖2 孤立奇點(diǎn)的判斷方法知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

關(guān)于指定點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)孤立奇點(diǎn)何種類型的問題，從圖2可以看出，其中難點(diǎn)之一是復(fù)變函數(shù)在指定點(diǎn)展開的問題．復(fù)變函數(shù)f(z)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開，主要有泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)，展開方式具體如圖3所示．

圖3 復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

1.3 復(fù)變函數(shù)f(z)在閉合回路C內(nèi)存在孤立奇點(diǎn)的積分

復(fù)變函數(shù)在指定點(diǎn)展開搞清楚之后，這樣計(jì)算圖1中復(fù)變函數(shù)沿閉合回路存在奇點(diǎn)的積分就容易計(jì)算了，具體如圖4所示．

圖4 復(fù)變函數(shù)沿含有孤立奇點(diǎn)的閉合回路的積分知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

從圖4的結(jié)果可以看出，要想進(jìn)一步計(jì)算出積分結(jié)果，必須要搞清楚復(fù)變函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的留數(shù)a-1的計(jì)算，具體如圖5所示．

圖5 復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

2 數(shù)理方程部分

數(shù)理方程部分主要包括數(shù)理方程的建立和求解問題，對(duì)于這部分內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中主要的難點(diǎn)集中在定解問題的求解和部分二階常微分方程的求解方面．

2.1 定解問題的求解

關(guān)于定解問題的求解，最基本的方法是分離變量法，分離變量法主要適用于求解齊次泛定方程和齊次邊界條件的問題，在平時(shí)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于分離變量法基本能夠掌握，而對(duì)于非齊次泛定方程和非齊次定解條件的定解問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)卻難以把握，如何分析具體如圖6所示(以波動(dòng)定解問題為例)．

圖6 數(shù)學(xué)物理方程求解知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

2.2 二階常微分方程的求解

數(shù)學(xué)物理方程中定解問題的求解，在求解泛定方程的過程中很多定解問題都涉及到二階常微分方程的求解，一般的二階常微分方程求解在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，在該部分出現(xiàn)比較多的是歐拉方程和施圖姆-劉維爾本征值問題，這兩個(gè)問題是求解泛定方程必須要解決的問題．

2.2.1 歐拉方程

歐拉方程式為

a1x2y″(x)+a2xy′(x)+a3y(x)=0

其中a1，a2和a3為常數(shù)，且a1≠0．歐拉方程的求解通常是令

x=et

然后將變系數(shù)常微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)二階微分方程

求解．

2.2.2 施圖姆-劉維爾本征值問題

在求解數(shù)學(xué)物理定解問題(波動(dòng)問題、輸運(yùn)問題以及穩(wěn)定場問題)的過程中，這些問題在求解過程中都涉及到施圖姆-劉維爾本征值問題，關(guān)于這類問題的歸納主要如表1所示．

表1 施圖姆-劉維爾本征值問題知識(shí)結(jié)構(gòu)

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)物理方法是物理類專業(yè)一門重要的承上啟下的核心課程．合適的教學(xué)方法是高等教育發(fā)展一直推行的舉措，其中最基本的是對(duì)課程內(nèi)容的把握．根據(jù)數(shù)學(xué)物理方法課程的特點(diǎn)以及教學(xué)實(shí)踐中的體會(huì)，本文主要針對(duì)學(xué)生難以掌握的知識(shí)點(diǎn)采用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的方法，將復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)分解為一系列簡單知識(shí)點(diǎn)來理解，進(jìn)而找出其中需要掌握的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，以此幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率．