袁宗濤

(北京瑞科同創(chuàng)能源科技有限公司，北京 100075)

0 引言

輪轂高度的選擇是風(fēng)電機(jī)組選型的重要環(huán)節(jié)。隨著中國風(fēng)電行業(yè)平價(jià)時(shí)代的到來，為了應(yīng)對電價(jià)和風(fēng)資源水平雙降對風(fēng)電行業(yè)帶來的挑戰(zhàn)，高輪轂機(jī)型將會大量出現(xiàn)，這對輪轂高度選擇方法的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性提出了更高要求。

該研究假設(shè)在一定邊界條件下存在最優(yōu)輪轂高度，并且給出數(shù)學(xué)模型。但是受限于設(shè)備制造水平和風(fēng)電機(jī)組塔架高度定制化的局限性，實(shí)際情況往往是在風(fēng)電機(jī)組廠家提供的若干種塔架高度中擇優(yōu)選用。目前輪轂高度比選的研究偏向于案例分析，缺乏理論模型支撐，科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性不足。主要存在如下問題：1)不能確定在可選輪轂高度之外是否存在更優(yōu)輪轂高度，常規(guī)方法不能科學(xué)地掌握輪轂高度與對其選擇造成影響的各因素之間的關(guān)系；2)當(dāng)可選輪轂高度較多時(shí)，常規(guī)方法需要對每一種輪轂高度下風(fēng)電機(jī)組的經(jīng)濟(jì)性進(jìn)行單獨(dú)測算，擇優(yōu)選取，導(dǎo)致工作量大、效率低。

本文旨在建立一種求解風(fēng)電機(jī)組最優(yōu)輪轂高度的數(shù)學(xué)模型，并給出具有普適性的輪轂高度比選方法。從相對輪轂高度的邊際收益模型和邊際成本模型的建立展開研究，邊際收益模型的建立涉及功率曲線、風(fēng)廓線和風(fēng)速分布模型，重點(diǎn)在于建立風(fēng)電機(jī)組年均發(fā)電量與輪轂高度之間的函數(shù)關(guān)系，在一定電價(jià)和折現(xiàn)率下確定相對輪轂高度的邊際收益現(xiàn)值；邊際成本模型的重點(diǎn)在于建立塔架質(zhì)量與輪轂高度之間的函數(shù)關(guān)系，通過計(jì)算固定成本和可變成本求得相對輪轂高度的邊際成本；通過模型最終得到風(fēng)電機(jī)組的最優(yōu)輪轂高度?；谧顑?yōu)輪轂高度給出3種最佳輪轂高度比選方法，提高了輪轂高度比選方法的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

1 模型概述

輪轂高度的比選實(shí)質(zhì)上是風(fēng)電機(jī)組經(jīng)濟(jì)性的比選，最優(yōu)輪轂高度即風(fēng)電機(jī)組收益最大化時(shí)對應(yīng)的輪轂高度。一般情況下，風(fēng)電機(jī)組的總收益會隨著輪轂高度的提升而增加，但同時(shí)其建設(shè)成本也會增加。

本文假設(shè)存在某個(gè)輪轂高度，使風(fēng)電機(jī)組的凈收益最大，此輪轂高度即為最優(yōu)輪轂高度，即式(1)有解。

式中：h為風(fēng)電機(jī)組的輪轂高度，m；g(h)為關(guān)于輪轂高度的風(fēng)電機(jī)組的凈收益函數(shù)；CI(h)為現(xiàn)金流入，表示關(guān)于輪轂高度的風(fēng)電機(jī)組總收益函數(shù)；CO(h)為現(xiàn)金流出，表示關(guān)于輪轂高度的風(fēng)電機(jī)組總支出或總成本函數(shù)；Gmax為風(fēng)電機(jī)組的最大凈收益，萬元。

進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為求解式(2)：

式中：g(h)′為g(h)的一階導(dǎo)數(shù)。

即：

式中：CI(h)′為CI(h)的導(dǎo)數(shù)，表示相對輪轂高度的邊際收益；CO(h)′為CO(h)的導(dǎo)數(shù)，表示相對輪轂高度的邊際成本。

2 相對輪轂高度的邊際收益

風(fēng)電機(jī)組總收益CI的計(jì)算式為：

式中：ω為風(fēng)電機(jī)組發(fā)電量折減系數(shù)，取值通常介于0.7～0.8之間，為無量綱常數(shù)；Eout為風(fēng)電機(jī)組年均理論發(fā)電量，kWh；pe為售電電價(jià)，元/kWh；i為折現(xiàn)率，%；n為折現(xiàn)年數(shù)或風(fēng)電機(jī)組運(yùn)行年數(shù)。

關(guān)于風(fēng)速v的風(fēng)電機(jī)組年均理論發(fā)電量函數(shù)Eout(v)的計(jì)算式為：

式中：T為一年的小時(shí)數(shù)，h，取值為8760；vci為切入風(fēng)速，m/s；vco為切出風(fēng)速，m/s；vr為額定風(fēng)速，m/s；Pf(v)為風(fēng)速介于切入風(fēng)速和額定風(fēng)速之間時(shí)風(fēng)電機(jī)組的功率曲線函數(shù)；f(v)為風(fēng)速的密度分布函數(shù)；P(v)為不同風(fēng)速段下風(fēng)電機(jī)組的輸出功率函數(shù)；Pr為風(fēng)電機(jī)組的額定功率，kW。

為確定風(fēng)電機(jī)組總收益與輪轂高度之間的關(guān)系，需要把式(5)的積分結(jié)果轉(zhuǎn)化為關(guān)于輪轂高度的函數(shù)，即：

結(jié)合式(4)、式(6)，即可得到風(fēng)電機(jī)組邊際收益與輪轂高度的函數(shù)關(guān)系，即：

2.1 功率曲線

風(fēng)電機(jī)組的輸出功率特征通常用功率曲線來表示，其在不同風(fēng)速段的輸出功率特征如式(8)所示[1-2]：

當(dāng)風(fēng)速小于切入風(fēng)速時(shí)，風(fēng)電機(jī)組不啟動，此時(shí)其輸出功率為零；在風(fēng)速介于額定風(fēng)速和切出風(fēng)速之間時(shí)，風(fēng)電機(jī)組按照額定功率滿功率運(yùn)行；當(dāng)風(fēng)速大于切出風(fēng)速時(shí)，風(fēng)電機(jī)組停機(jī)，此時(shí)其輸出功率為零；在風(fēng)速介于切入風(fēng)速和額定風(fēng)速之間時(shí)，功率曲線主要取決于風(fēng)電機(jī)組的功率控制，此時(shí)功率曲線的表現(xiàn)要比其他風(fēng)速段都要復(fù)雜，此風(fēng)速段的風(fēng)電機(jī)組功率曲線也是數(shù)學(xué)模型的核心所在。

風(fēng)速介于切入風(fēng)速和額定風(fēng)速之間時(shí)的風(fēng)電機(jī)組功率曲線數(shù)學(xué)模型有多種，文獻(xiàn)[1-3]都對此類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行過研究，但是由于其復(fù)雜性，導(dǎo)致這些研究的結(jié)論并不完全一致。文獻(xiàn)[2]將9種數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到32臺商用風(fēng)電機(jī)組的功率曲線分析，并進(jìn)行對比研究，研究后發(fā)現(xiàn)，基于功率因數(shù)的模型(power cofficient model)和通用數(shù)學(xué)模型(general model)的相對誤差最小。本研究認(rèn)為，相比于其他研究，文獻(xiàn)[2]的研究樣本更多，論證相對更充分，適用性更廣，因此本文采用通用數(shù)學(xué)模型來模擬風(fēng)速介于切入風(fēng)速和額定風(fēng)速之間時(shí)風(fēng)電機(jī)組的功率曲線。該通用數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：k為功率曲線的冪次，本文取值為1.2。

以某單機(jī)容量為3000 kW、葉輪直徑為155 m的風(fēng)電機(jī)組(下文簡寫為“155-3000風(fēng)電機(jī)組”)為例，采用通用數(shù)學(xué)模型模擬的風(fēng)電機(jī)組功率曲線(k=1.2，Pr=3000)及理論功率曲線如圖1所示。

圖1 某155-3000風(fēng)電機(jī)組的理論功率曲線及模擬功率曲線Fig. 1 Theoretical power curve and simulated power curve of a 155-3000 wind turbine

2.2 風(fēng)廓線

在風(fēng)資源評估中，風(fēng)廓線用來描述風(fēng)速隨高度的變化規(guī)律。應(yīng)用比較廣泛的風(fēng)廓線模型有冪律風(fēng)廓線模型和對數(shù)風(fēng)廓線模型，本文采用冪律風(fēng)廓線模型。該模型可表示為：

式中：Vave為年均風(fēng)速，m/s；α為切變指數(shù)，為無量綱；β為常數(shù)。

本文后續(xù)案例分析中探討了在輪轂高度風(fēng)速一定的前提下，切變指數(shù)對輪轂高度選擇的影響，則式(10)可變形為：

式中：Vhub為輪轂高度的年均風(fēng)速，m/s；z為距離地表的高度，m。

2.3 風(fēng)速分布

風(fēng)速的密度分布函數(shù)通常采用雙參數(shù)的威布爾分布，為簡化數(shù)學(xué)模型，本文采用形狀參數(shù)q=2時(shí)的威布爾分布，即瑞利分布，可表示為：

式中：σ為尺度參數(shù)，m/s；e為自然常數(shù)。

根據(jù)瑞利分布密度函數(shù)，尺度參數(shù)和年均風(fēng)速的關(guān)系可表示為：

不同年均風(fēng)速下的瑞利分布如圖2所示。

圖2 不同年均風(fēng)速下的瑞利分布Fig. 2 Rayleigh distribution under different annual average wind speeds

結(jié)合風(fēng)廓線模型，可將輪轂高度作為參數(shù)引入瑞利分布密度函數(shù)，進(jìn)而引入收益模型。根據(jù)式(12)、式(13)可得：

3 相對輪轂高度的邊際成本

風(fēng)電機(jī)組的總成本由固定成本和可變成本構(gòu)成。其中，固定成本不隨風(fēng)電機(jī)組輪轂高度的變化而變化，是由風(fēng)電機(jī)組的裝機(jī)容量和單位千瓦造價(jià)相乘得出；本文提出的風(fēng)電機(jī)組最優(yōu)輪轂高度數(shù)學(xué)模型重點(diǎn)關(guān)注可變成本部分。

風(fēng)電機(jī)組的總成本模型可表示為：

式中：pfix為風(fēng)電機(jī)組的單位千瓦造價(jià)，元/kW；pvar為風(fēng)電機(jī)組單位高度塔筒的造價(jià)，元/m；Mtwr(h)為關(guān)于輪轂高度的塔筒質(zhì)量函數(shù)，kg。

塔筒形式與結(jié)構(gòu)多種多樣[4-5]，本研究基于應(yīng)用最為廣泛的鋼制錐形塔筒進(jìn)行研究設(shè)計(jì)。由于該種形式的塔筒主要是按質(zhì)量計(jì)價(jià)，在單價(jià)固定的前提下，關(guān)鍵是確定塔筒質(zhì)量和其高度之間的關(guān)系。但是，即便是錐形塔筒，其設(shè)計(jì)形式也不一而足[5-6]，直接建立數(shù)學(xué)模型會比較困難。因此為簡化模型，本研究選取了42種當(dāng)下主流的風(fēng)電機(jī)組機(jī)型及其塔筒作為樣本，選用5種模型對這42種主流機(jī)型輪轂高度與塔筒質(zhì)量之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，然后擇優(yōu)選取。

這5種模型分別是：二次多項(xiàng)式模型、三次多項(xiàng)式模型、對數(shù)模型、冪律模型和指數(shù)模型。采用不同模型時(shí)輪轂高度-塔筒質(zhì)量的擬合函數(shù)如式(16)～式(20)所示。

二次多項(xiàng)式模型的擬合函數(shù)為：

式中：c1、c2均為系數(shù)。

三次多項(xiàng)式模型的擬合函數(shù)為：

式中：c3為系數(shù)。

對數(shù)模型的擬合函數(shù)為：

冪律模型的擬合函數(shù)為：

指數(shù)模型的擬合函數(shù)為：

5種模型得到的輪轂高度-塔筒質(zhì)量擬合函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值如表1所示，擬合曲線圖形如圖3所示。

表1 5種輪轂高度-塔筒質(zhì)量擬合函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值Table 1 Parameter estimation of five fitting functions of hub heights-tower mass

圖3 5種輪轂高度-塔筒質(zhì)量的擬合曲線對比Fig. 3 Comparison of five fitting curves of hub heights-tower mass

從擬合優(yōu)度、預(yù)測準(zhǔn)確度和模型簡潔性3個(gè)方面進(jìn)行綜合考慮后，本文采用二次多項(xiàng)式模型。由式(15)、式(16)可得到風(fēng)電機(jī)組的邊際成本CO(h)′與風(fēng)電機(jī)組輪轂高度的函數(shù)關(guān)系，即：

4 最優(yōu)輪轂高度及最佳輪轂高度比選方法

當(dāng)風(fēng)電機(jī)組的邊際收益等于邊際成本時(shí)，此時(shí)項(xiàng)目的凈收益最大，可求得風(fēng)電機(jī)組的最優(yōu)輪轂高度h0。即，當(dāng)h=h0時(shí)，下式成立：

需要注意的是，此時(shí)得到的最優(yōu)輪轂高度為理論計(jì)算值。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常是在風(fēng)電機(jī)組出廠標(biāo)配的有限的若干種輪轂高度中擇優(yōu)選取，作為最佳輪轂高度hbt。下文提出3種輪轂高度比選方法，所得輪轂高度即為最佳輪轂高度(即相對最優(yōu))；最佳輪轂高度可以與最優(yōu)輪轂高度相同，也可以不相同。

假設(shè)某種風(fēng)電機(jī)組機(jī)型的可選輪轂高度為ht(t=1, 2, 3, …,m)，且ht+1＞ht，可通過直接計(jì)算法、判別法、快速近似判別法3種算法解得風(fēng)電機(jī)組最佳輪轂高度。

1)直接計(jì)算法。通過Max[g(ht)]得到的輪轂高度即為最佳輪轂高度，但此方法需要對所有備選輪轂高度進(jìn)行逐次計(jì)算。

2)判別法。當(dāng)h0≥hm時(shí)，則風(fēng)電機(jī)組最佳輪轂高度為hm；當(dāng)h0≤h1時(shí)，則風(fēng)電機(jī)組最佳輪轂高度為h1；當(dāng)h1≤hj≤h0≤hj+1≤hm(j為緊鄰h0的那個(gè)高度的編號)時(shí)，則風(fēng)電機(jī)組最佳輪轂高度為hj或hj+1，此時(shí)可轉(zhuǎn)為直接計(jì)算法或快速近似判別法求解。

3)快速近似判別法。此方法假定g(h)在可行域內(nèi)以h=h0為軸對稱，則Min|ht-h0|對應(yīng)的輪轂高度即為最佳輪轂高度。此方法可描述為“距離最優(yōu)輪轂高度最近者為最佳”。

當(dāng)可選輪轂高度的最大值小于等于最優(yōu)輪轂高度時(shí)，最大值為最佳輪轂高度；當(dāng)可選輪轂高度的最小值大于等于最優(yōu)輪轂高度時(shí)，最小值為最佳輪轂高度。若可選最佳輪轂高度大于最優(yōu)輪轂高度，則必定存在1個(gè)小于最優(yōu)輪轂高度且收益相同的高度， 可近似為最優(yōu)輪轂高度的對稱高度(即2h0-hbt)。

5 算例

假設(shè)某風(fēng)電場140 m高度的年均風(fēng)速為6 m/s，服從瑞利分布，切變指數(shù)為0.14；選用某廠家制造的155-3000風(fēng)電機(jī)組機(jī)型，按照前文所述方法計(jì)算該風(fēng)電機(jī)組的最優(yōu)輪轂高度，同時(shí)在給定的幾種風(fēng)電機(jī)組輪轂高度中選擇最佳輪轂高度。計(jì)算時(shí)各參數(shù)取值如表2所示。

表2 計(jì)算中的參數(shù)取值Table 2 Parameter value in calculation

表3 計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results

風(fēng)電場達(dá)到第1個(gè)盈虧平衡點(diǎn)和第2個(gè)盈虧平衡點(diǎn)時(shí)，其總收益與總成本相等。風(fēng)電場的總收益和總成本與風(fēng)電機(jī)組輪轂高度的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 風(fēng)電場的總收益、總成本與輪轂高度的關(guān)系曲線Fig. 4 Relationship curve between total revenue and total cost of wind farm and hub height

最優(yōu)輪轂高度時(shí)風(fēng)電場的凈收益最大。風(fēng)電場的凈收益與風(fēng)電機(jī)組輪轂高度的關(guān)系曲線如圖5所示。

圖5 風(fēng)電場的凈收益與輪轂高度的關(guān)系曲線Fig. 5 Relationship curve between net income of wind farm and hub height

不同切變指數(shù)取值下的最優(yōu)輪轂高度的變化情況如圖6所示，不同塔筒單位造價(jià)下的最優(yōu)輪轂高度的變化情況如圖7所示。

圖6 不同切變指數(shù)取值下的最優(yōu)輪轂高度的變化情況Fig. 6 Variation of optimal hub height under different shear index values

圖7 不同塔筒單位造價(jià)下的最優(yōu)輪轂高度的變化情況Fig. 7 Variation of optimal hub height under different unit cost of tower

由圖6可以看出：曲線上邊際凈收益為零時(shí)對應(yīng)的輪轂高度即為最優(yōu)輪轂高度，隨著切變指數(shù)取值的增大，最優(yōu)輪轂高度也在增加。

由圖7可以看出：曲線上邊際凈收益為零時(shí)對應(yīng)的輪轂高度即為最優(yōu)輪轂高度，隨著塔筒單位造價(jià)的提高，最優(yōu)輪轂高度逐漸減小。

6 結(jié)論

本文建立了一種求解風(fēng)電機(jī)組最優(yōu)輪轂高度的數(shù)學(xué)模型，并給出了具有普適性的輪轂高度比選方法。通過建立模型，確定輸入?yún)?shù)，經(jīng)過算例驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

1)在可行域內(nèi)，風(fēng)電機(jī)組存在最優(yōu)輪轂高度且值為唯一。

2)當(dāng)可選輪轂高度的最大值小于等于最優(yōu)輪轂高度時(shí)，最大值為最佳輪轂高度；當(dāng)可選輪轂高度最小值大于等于最優(yōu)輪轂高度時(shí)，最小值為最佳輪轂高度。若可選最佳輪轂高度大于最優(yōu)輪轂高度，則必定存在1個(gè)小于最優(yōu)輪轂高度且收益相同的高度。即若最佳輪轂高度大于最優(yōu)輪轂高度，在獲得同等收益的前提下其必定可以優(yōu)化，以減少資源浪費(fèi)。

3)最優(yōu)輪轂高度與切變指數(shù)成正比，與塔筒單位造價(jià)成反比，與風(fēng)電機(jī)組的固定成本無關(guān)。