丁 萌,余 鑫,武海雷,郭 毓,郭 健

(1.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.上海航天技術(shù)研究所,上海 201109)

隨著人類對(duì)太空的不斷探索,機(jī)器人在空間任務(wù)中扮演著越來(lái)越重要的角色,例如空間站的維護(hù)與檢修、太陽(yáng)帆板的輔助展開(kāi)、航天器燃料加注等[1]。但是在復(fù)雜狹小的空間艙內(nèi)執(zhí)行航天器的維修、檢測(cè)等任務(wù),要求空間服務(wù)機(jī)器人不僅具備穿越狹窄環(huán)境、自主避障的能力,同時(shí)還需具有足夠靈巧的操作能力。一種能依靠自身彈性變形并可連續(xù)彎曲運(yùn)動(dòng)的連續(xù)型機(jī)械臂正是能實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的方案之一[2,3]。

近年來(lái),連續(xù)型機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模以及控制問(wèn)題,吸引了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[4,5]基于Cosserat桿理論對(duì)肌腱驅(qū)動(dòng)與氣、液壓驅(qū)動(dòng)的連續(xù)型機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,能有效模擬彈性桿形變情況下的線性與非線性行為,但求解過(guò)程十分耗時(shí),難以滿足實(shí)時(shí)控制的要求。文獻(xiàn)[6]基于虛功原理,同時(shí)考慮摩擦效應(yīng),建立了一類繩索驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型,但其繩-盤(pán)間的接觸力與繩纜張力需用迭代求解器同時(shí)求解,機(jī)械臂節(jié)段越多,其求解對(duì)計(jì)算器性能要求越高,實(shí)際應(yīng)用受到一定限制?；诩袇?shù)建模方法所建的動(dòng)力學(xué)模型具有簡(jiǎn)單的特點(diǎn),便于設(shè)計(jì)控制器,但存在模型描述不精確的問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]基于Hamilton方法建立了平面繩索驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,文獻(xiàn)[8]基于歐拉-拉格朗日建模方法對(duì)單段肌腱驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂建立了解析動(dòng)力學(xué)模型。為建立柔體結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型,部分學(xué)者基于剛體等效思想,將連續(xù)型機(jī)械臂的柔性構(gòu)架等效成柔性關(guān)節(jié)連接的剛性連桿,以描述機(jī)械臂形態(tài)[9]。在線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模方面雖然已有一些研究成果,但對(duì)于存在強(qiáng)耦合效應(yīng)的多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂,還需對(duì)其動(dòng)力學(xué)建模方法開(kāi)展進(jìn)一步研究,使其既能保證模型計(jì)算效率和精度,同時(shí)又能便于控制器設(shè)計(jì)。

連續(xù)型機(jī)械臂系統(tǒng)具有高度非線性、多變量強(qiáng)耦合等特點(diǎn),這使其控制變得十分復(fù)雜。針對(duì)機(jī)械臂柔性結(jié)構(gòu)特征開(kāi)展具有強(qiáng)魯棒性和抗干擾能力的控制方法研究,受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的關(guān)注。文獻(xiàn)[2]針對(duì)線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂,設(shè)計(jì)了比例-微分(Proportional-differential,PD)控制器,但系統(tǒng)的控制性能易受系統(tǒng)中不確定性干擾因素的影響。Kapadia等[10]針對(duì)氣動(dòng)型Octarm機(jī)械臂設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器,其系統(tǒng)誤差收斂性能優(yōu)于PD控制器,但模型參數(shù)的不確定性對(duì)控制性能影響較大。Qi等[11]針對(duì)連續(xù)型機(jī)械臂的軌跡跟蹤,設(shè)計(jì)了一種模糊控制器,具有良好的穩(wěn)定性與抗干擾能力,但因被控對(duì)象的高度復(fù)雜性和不確定性,難以實(shí)現(xiàn)精確且快速的軌跡跟蹤。綜上,針對(duì)連續(xù)型機(jī)械臂控制的研究取得了較大進(jìn)展,但對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)誤差收斂的快速性研究尚少,現(xiàn)有控制算法尚難以使系統(tǒng)同時(shí)滿足強(qiáng)抗擾能力與快速精確跟蹤的控制要求。此外,在現(xiàn)代航天任務(wù)中,為保證航天器的快速姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)并抑制撓性附件振動(dòng),已有部分學(xué)者將有限時(shí)間控制算法運(yùn)用其中[12]。

本文針對(duì)一種帶有彈性中心桿的新型多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂系統(tǒng),研究其建模與控制問(wèn)題。為保證模型計(jì)算效率和精度,對(duì)連續(xù)型機(jī)械臂模型進(jìn)行剛體等效簡(jiǎn)化,結(jié)合歐拉-拉格朗日建模方法建立了多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮系統(tǒng)存在外部時(shí)變干擾與參數(shù)不確定性,設(shè)計(jì)了一種基于非奇異終端滑模有限時(shí)間控制(Nonsingular terminal sliding mode finite-time control,NTSMFC)的連續(xù)型機(jī)械臂控制方法,以提高閉環(huán)控制系統(tǒng)誤差的快速收斂性和干擾抑制能力。

1 線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

本文對(duì)一種多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂展開(kāi)研究,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。此時(shí)機(jī)械臂為2段式結(jié)構(gòu),每節(jié)由3根線纜驅(qū)動(dòng),拉動(dòng)驅(qū)動(dòng)線纜可使中心彈性桿彎曲變形,間隔盤(pán)提供彎曲形狀的剛度支撐。機(jī)械臂每節(jié)長(zhǎng)度相等,均為l,各節(jié)上的支撐間隔盤(pán)等距分布。

圖1 線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂示意圖

第2節(jié)的驅(qū)動(dòng)線纜通過(guò)所有間隔盤(pán)后固結(jié)于末端盤(pán)上。第1節(jié)機(jī)械臂的間隔盤(pán)上均勻分布6個(gè)驅(qū)動(dòng)線纜孔和1個(gè)中心彈性桿孔,第2節(jié)機(jī)械臂的間隔盤(pán)上均勻分布3個(gè)驅(qū)動(dòng)線纜孔和1個(gè)中心彈性桿,示意圖如圖2所示,圓孔編號(hào)ni(n=1,2;i=1,2,…,6)表示第n節(jié)機(jī)械臂的第i根驅(qū)動(dòng)線纜穿過(guò)該孔,所有線纜孔與中心孔之間的中心距r相等。依此類推,通過(guò)串聯(lián)若干節(jié),便可得到更多自由度的連續(xù)型機(jī)器人,以適應(yīng)實(shí)際環(huán)境操作要求,增加末端的靈活性。

圖2 間隔盤(pán)示意圖

2 連續(xù)型機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 假設(shè)條件

為建立圖1所示多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型,對(duì)系統(tǒng)做以下假設(shè):

假設(shè)1機(jī)械臂中心彈性桿的軸向剛度遠(yuǎn)大于其彎曲剛度,忽略其軸向拉伸,并且中心彈性桿的變形為等曲率彎曲的光滑連續(xù)曲線,可近似為歐拉伯努利梁[13]。

假設(shè)2機(jī)械臂各支撐間隔盤(pán)間距小,機(jī)械臂彎曲時(shí)各驅(qū)動(dòng)線纜為等曲率的連續(xù)光滑曲線,也是基于常曲率假設(shè)。

假設(shè)3中心彈性桿和驅(qū)動(dòng)線纜總是垂直于基座盤(pán)、間隔盤(pán)和末端盤(pán)。

假設(shè)4考慮太空處于微重力環(huán)境,且機(jī)械臂的重力勢(shì)能遠(yuǎn)小于彈性勢(shì)能,忽略重力勢(shì)能影響。

假設(shè)5機(jī)械臂的間隔盤(pán)薄并且屬于剛性材料,忽略中心桿、驅(qū)動(dòng)繩與間隔盤(pán)之間的摩擦力。

2.2 多段連續(xù)型機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

假設(shè)多段連續(xù)型機(jī)械臂由N節(jié)構(gòu)成,且每節(jié)上有K個(gè)間隔盤(pán),每節(jié)首、末支撐盤(pán)中心點(diǎn)固連基坐標(biāo)系與末端坐標(biāo)系,基坐標(biāo)系由On-1-Xn-1Yn-1Zn-1(n=1,2,…,N+1)表示,末端坐標(biāo)系由On-XnYnZn(n=1,2,…,N)表示。圖3為連續(xù)型機(jī)械臂第n節(jié)彎曲時(shí)的幾何模型,機(jī)械臂彎曲平面坐標(biāo)系Orn-XrnYrnZrn為由基座標(biāo)On-1-Xn-1Yn-1Zn-1繞Zn-1軸旋轉(zhuǎn)γn角所得,βn表示機(jī)械臂末端彎曲角度,則N段連續(xù)型機(jī)械臂姿態(tài)角φ表示為φ=[β1γ1β2γ2…βNγN]T。通過(guò)驅(qū)動(dòng)線纜控制機(jī)械臂彎曲使連續(xù)型機(jī)械臂到達(dá)指定位姿狀態(tài),對(duì)于該機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,包括驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間的相互映射,以及關(guān)節(jié)空間與任務(wù)空間的相互映射。

圖3 機(jī)械臂第n節(jié)幾何模型圖

多段連續(xù)型機(jī)械臂從關(guān)節(jié)空間到任務(wù)空間的正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,即為由關(guān)節(jié)空間中的姿態(tài)角變量βn(n=1,2,…,N)與γn(n=1,2,…,N)求解任務(wù)空間中機(jī)械臂的末端位姿,機(jī)械臂每節(jié)的基坐標(biāo)系On-1-Xn-1Yn-1Zn-1至末端坐標(biāo)系On-XnYnZn的齊次變換矩陣

(1)

N段機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間至任務(wù)空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)系為

0TN=0T1·1T2,…,N-1TN

(2)

基于假設(shè)1～3,定義第n節(jié)中心彈性桿上任一點(diǎn)相對(duì)于機(jī)械臂基底盤(pán)坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0的位置坐標(biāo)為rn0=[xnynzn1]T,相對(duì)于第n-1節(jié)的末端支撐圓盤(pán)坐標(biāo)系On-1-Xn-1Yn-1Zn-1的位置坐標(biāo)為rn1=[xn1yn1zn11]T

(3)

式中:sn表示第n節(jié)中心彈性桿上任一點(diǎn)距離首支撐盤(pán)中心點(diǎn)的弧長(zhǎng)。

rn0與rn1位置坐標(biāo)間的關(guān)系為

rn0=0Tn-1·rn1

(4)

機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)彎曲的過(guò)程中,中心彈性桿和各驅(qū)動(dòng)線纜的彎曲角度相同。由圖4所示的驅(qū)動(dòng)線纜幾何關(guān)系,多段機(jī)械臂的驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間的逆映射關(guān)系即機(jī)械臂各驅(qū)動(dòng)線纜與姿態(tài)角度之間的關(guān)系為

(5)

式中:ΔLni表示連續(xù)型機(jī)械臂第n節(jié)的第i根驅(qū)動(dòng)線纜長(zhǎng)度變化,θni為第n節(jié)的第i根驅(qū)動(dòng)線纜在間隔盤(pán)的分布角度。

對(duì)式(5)進(jìn)行微分,可得驅(qū)動(dòng)空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(6)

(7)

式中:JXφ為連續(xù)型機(jī)械臂任務(wù)空間與關(guān)節(jié)空間速度的雅可比矩陣。

圖4 機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)線纜彎曲示意圖

3 多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂動(dòng)力 學(xué)建模分析

為建立實(shí)用型且能抑制未建模動(dòng)態(tài)的動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)模型進(jìn)行了剛體等效簡(jiǎn)化。如圖3所示,將連續(xù)型機(jī)械臂第n節(jié)的某一剛性間隔盤(pán)與其連接的中心彈性桿劃分為1個(gè)單元,k′單元上的彈性桿等效為輕質(zhì)連桿,不失一般性,設(shè)定該單元的重心落在間隔盤(pán)的中心點(diǎn)處?；谠撛O(shè)定,依據(jù)式(8)所示的拉格朗日第二類方程建立該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。

(8)

式中:Ek、Ep分別為連續(xù)型機(jī)械臂的動(dòng)能與勢(shì)能,Qj為其廣義力方程。

(1)動(dòng)能計(jì)算。

假設(shè)機(jī)械臂的中心彈性桿無(wú)扭轉(zhuǎn),即不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,只考慮驅(qū)動(dòng)線纜、中心彈性桿與間隔盤(pán)的平動(dòng)動(dòng)能,機(jī)械臂每節(jié)動(dòng)能為各單元的動(dòng)能之和。定義sk′為各節(jié)上第k′個(gè)單元質(zhì)心點(diǎn)處的弧長(zhǎng),其表達(dá)式為

(9)

(10)

mnk′=m0+mp+3·(N-n+1)·mc

(11)

式中:mnk′表示第n節(jié)上第k′個(gè)單元的總質(zhì)量,m0、mp、mc分別表示單元的中心彈性桿、間隔盤(pán)以及驅(qū)動(dòng)線纜的質(zhì)量。

由式(10)、(11),得到整個(gè)多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂上的動(dòng)能方程

(12)

式中:M∈R2N×2N是1個(gè)對(duì)稱正定矩陣。

(2)勢(shì)能計(jì)算。

根據(jù)假設(shè)4,忽略機(jī)械臂的重力勢(shì)能,僅考慮其彈性勢(shì)能。第n節(jié)上的彈性勢(shì)能為

(13)

式中:E1和E2分別為彈性桿和驅(qū)動(dòng)線纜的彈性模量,I1、I2分別為彈性桿和驅(qū)動(dòng)線纜的慣性矩。

多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的總勢(shì)能

(14)

(3)廣義力計(jì)算。

考慮假設(shè)5,依據(jù)達(dá)朗貝爾原理,多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的廣義力為[15]

(15)

將動(dòng)能、勢(shì)能以及廣義力表達(dá)式(12)、(14)、(15)代入式(8),得到多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為

(16)

由式(16),多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型表示為

(17)

(18)

(19)

4 多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂姿態(tài) 控制

針對(duì)多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂的快速姿態(tài)穩(wěn)定控制問(wèn)題,考慮系統(tǒng)存在外部時(shí)變干擾與參數(shù)不確定性,研究基于非奇異終端滑模的有限時(shí)間控制。

4.1 非奇異終端滑模有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

考慮外界時(shí)變干擾與系統(tǒng)參數(shù)不確定性且末端未施加外力的情況,連續(xù)型機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型式(17)可以寫(xiě)為

(20)

式中:JLφ為機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間速度的雅可比矩陣,d(t)為系統(tǒng)外界時(shí)變干擾和參數(shù)不確定性總和。

假設(shè)6在多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂模型式(20)中,d(t)滿足‖d(t)‖≤dH,dH>0。

定義姿態(tài)角誤差e=φd-φ,令系統(tǒng)非奇異終端滑模面

(21)

式(21)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(22)

根據(jù)滑模等效控制原理,設(shè)計(jì)非奇異終端滑?？刂坡蔀?/p>

F=Feq+Fn

(23)

(24)

再設(shè)計(jì)切換控制項(xiàng)為

(25)

式中:η、k為控制增益并滿足η>0,k>0。

4.2 穩(wěn)定性分析

證明:

首先設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(26)

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(27)

將所設(shè)計(jì)控制律式(23)代入式(27)中,并考慮假設(shè)6,可以得到

(28)

收斂時(shí)間t1滿足

(29)

式中:V1(0)為V1在t=0時(shí)刻的值。

為分析系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后,系統(tǒng)誤差的有限時(shí)間收斂性,設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(30)

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(31)

系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后有s=0,則根據(jù)非奇異終端滑模函數(shù)式(21)可得

(32)

即

(33)

將式(33)代入式(31)中,可得

(34)

將式(30)代入式(34)中,可得

(35)

根據(jù)式(35)可得

(36)

對(duì)式(36)積分可得收斂時(shí)間t2為

(37)

5 數(shù)值仿真與分析

由圖5可知,在存在參數(shù)不確定性與外部干擾情況下,非奇異終端滑?？刂破髋cPD控制器均能跟蹤上連續(xù)型機(jī)械臂的期望姿態(tài)角,但前者能在有限時(shí)間內(nèi)快速跟蹤期望姿態(tài)角,PD控制器的姿態(tài)跟蹤速度相對(duì)較低。由姿態(tài)角位置誤差圖6可知,基于非奇異終端滑?？刂破鞯淖藨B(tài)角位置誤差的穩(wěn)態(tài)性能較好,姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差保持在±2×10-3rad誤差帶之內(nèi),收斂精度較高,而PD控制器姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差在±1×10-2rad誤差帶內(nèi),相比本文所提控制器誤差精度相差1個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖5 姿態(tài)角響應(yīng)曲線圖

圖6 NTSMFC與PD控制仿真結(jié)果圖

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類具有柔性骨架、高自由度、強(qiáng)耦合的細(xì)長(zhǎng)型結(jié)構(gòu)的多段線纜驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂系統(tǒng),基于剛體等效建模思想對(duì)機(jī)械臂各節(jié)進(jìn)行單元?jiǎng)澐?將各單元上的中心彈性桿等效為輕質(zhì)連桿,并依據(jù)歐拉-拉格朗日建模方法,建立了多段連續(xù)型機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性與外部時(shí)變干擾,設(shè)計(jì)了一種基于非奇異終端滑模的連續(xù)型機(jī)械臂有限時(shí)間控制算法。仿真結(jié)果表明,所提控制方法提高了閉環(huán)控制系統(tǒng)的快速收斂性與跟蹤精度。