姜國明

【摘要】函數(shù)及其圖象內(nèi)容的綜合性、探究性等特點使教師覺得這類課內(nèi)容難、內(nèi)容多、學(xué)生“不肯動”，在規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)探究活動難以順利展開.如何行之有效地上好一堂函數(shù)教學(xué)課成為數(shù)學(xué)教師研究的方向.初中函數(shù)教學(xué)可以從“廣度”“深度”“跨度”三個方面入手構(gòu)建課堂，以“三度”視角引導(dǎo)學(xué)生來加深函數(shù)知識線索或?qū)ｎ}的理解，讓函數(shù)的教學(xué)變得清晰、厚實，從而打開函數(shù)學(xué)習(xí)之窗.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);深度;廣度;跨度

函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是初中和高中數(shù)學(xué)相聯(lián)系的重要紐帶.它與幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等知識有著密切的聯(lián)系.中考命題中，既重點考查函數(shù)及其圖象的有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時以函數(shù)為背景的綜合題也是命題熱點之一，多數(shù)省、市中考均用作壓軸題.

一提到函數(shù)課，尤其是函數(shù)綜合復(fù)習(xí)課，老師們都會面露難色.因為函數(shù)及其圖象內(nèi)容的“綜合性”和“探究性”等特點使大家覺得這類課內(nèi)容難、內(nèi)容多，在規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)探究活動難以順利展開.內(nèi)容因素和學(xué)生因素是函數(shù)課難上的客觀原因，但這些因素真的是主要原因嗎？筆者并不這么認為，筆者認為，最根本的原因還是因為我們沒有找到有效的教學(xué)策略，所以才導(dǎo)致函數(shù)學(xué)習(xí)與探究課面臨著重重困難.

用怎樣行之有效的方法來上好一堂函數(shù)課或者函數(shù)綜合復(fù)習(xí)課呢？筆者認為不妨依托串題模式，拾級而上，打造函數(shù)學(xué)習(xí)的“三度”高效課堂.在教學(xué)中選用同一個函數(shù)式為背景，將函數(shù)學(xué)習(xí)中需要重點掌握的知識點用該函數(shù)承載.通過對這個選用的函數(shù)不斷增減條件，引導(dǎo)學(xué)生來加深函數(shù)知識線索或?qū)ｎ}的理解，讓函數(shù)的教學(xué)變得清晰、厚實.教學(xué)時通過對前期選定的函數(shù)進行計算積累，逐步清晰化該函數(shù)的數(shù)據(jù)背景，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建的遷移變式問題就增加了探索的趣味性，無形中提升課堂教學(xué)的質(zhì)量.筆者從“一網(wǎng)成擒拓廣度”“一以貫之挖深度”“一波三折重跨度”三個方面進行函數(shù)學(xué)習(xí)的教學(xué)課堂探究，本文就從這三個維度來談一談教學(xué)實踐與思考.

1“一網(wǎng)成擒”：拓寬函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)的廣度

萬丈高樓平地起，再怎么強調(diào)基礎(chǔ)的重要性都不為過.函數(shù)及其圖象涉及的知識點很多：函數(shù)式待定、圖象與系數(shù)的關(guān)系理解、圖象的平移旋轉(zhuǎn)變換、函數(shù)圖象性質(zhì)……借助串題，需將這些知識點盡可能地涵蓋，在問題求解的過程中讓學(xué)生深刻感悟，最終讓他們在學(xué)習(xí)中建立起知識的前后相關(guān)聯(lián)系，完善函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò).

例如在二次函數(shù)基礎(chǔ)課上，筆者單獨選用函數(shù)式y(tǒng)=-x²+2x+3來設(shè)計知識點串接復(fù)習(xí).首先引領(lǐng)學(xué)生觀察圖1，提出問題：從圖象中，你能獲取哪些信息？學(xué)生們能很輕松依據(jù)圖片說出系數(shù)a、b、c的符號，甚至有的同學(xué)提到了Δ>0.從而輕松從圖象與系數(shù)的關(guān)系探究開篇，打開學(xué)生的話匣. 繼續(xù)觀察圖象，添加已知條件：圖象上有點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），該函數(shù)解析式是什么？顯然，這是在復(fù)習(xí)二次函數(shù)解析式的待定，在比較學(xué)生們多種待定方法下，凸顯根據(jù)條件篩選一般式、頂點

式、交點式三種待定方法的重要性.

緊接著，筆者要求學(xué)生計算出頂點D的坐標，并說出該函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生根據(jù)計算所得，很快你一言我一語描述出了該函數(shù)的增減性、最值情況、y值的正負性情況.筆者則及時總結(jié)：函數(shù)的性質(zhì)可以從觀察圖象開口和計算出圖象的關(guān)鍵點來著手分析. 在同學(xué)們?nèi)粲兴蜷g畫風(fēng)一轉(zhuǎn)，繼續(xù)提問：將二次函數(shù)y=-x²+2x+3繞A點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式是什么？如圖2，筆者很清楚，這個地方學(xué)生一下子是解釋不了的.在此處提出這個有點深度的問題，真正目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用作圖來印證函數(shù)式的待定，培養(yǎng)同學(xué)數(shù)形結(jié)合意識、探究意識、歸納意識.

解決了這個題后，后續(xù)的圖象變換問題可以一一跟上，如問：y=-x²+2x+3沿x軸翻折后解析式是什么？沿y軸翻折呢？繞原點旋轉(zhuǎn)180°呢？教學(xué)中當然可以繼續(xù)添加線段、豐富圖象畫面.譬如過B、C作直線，問：令BC直線為y₁，拋物線為y₂，x為何值時y₂≤y₁？

顯然，借助y=-x²+2x+3圖象的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)課還可以衍生出更多內(nèi)容.每個數(shù)學(xué)教師都是教學(xué)的設(shè)計師，相信動動腦筋就會有精彩呈現(xiàn)，我們的課堂會有更多不同的生成.基礎(chǔ)維度的串題教學(xué)設(shè)計擺脫了重復(fù)冗繁的函數(shù)式計算、圖象關(guān)鍵點（頂點、與x軸交點等）求解，去蕪摘蔓，直奔知識考查主題.學(xué)生們能在有限的時間內(nèi)接觸更多的例題內(nèi)容，拓寬知識復(fù)習(xí)的廣度.課堂上再經(jīng)歷多次自主評析、提示再思考后，就能夠逐漸總結(jié)出各種題設(shè)的解答思路與方法，內(nèi)化成學(xué)生個人的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

2“一以貫之”：發(fā)掘函數(shù)專題學(xué)習(xí)的深度

專題學(xué)習(xí)課是教師開啟學(xué)生心智、促進思維的重要課型之一.好的專題內(nèi)容可以讓學(xué)生從知識的初步認知向高一級的知識靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生獨立探索和創(chuàng)新精神的教學(xué)目標.但平常大部分老師的教學(xué)方式就是通篇就挑選的例題，一題一題往下講，直到下課為止.少有重點，鮮有總結(jié)，就題論題.其實大家都知道能作為例題的教學(xué)內(nèi)容通常有較強的典型性、延續(xù)性、示范性.教師如果忽略了對例題相關(guān)知識和方法的提煉發(fā)掘，只會是學(xué)生能“聽懂”卻無法舉一反三，專題學(xué)習(xí)的效果就很難凸顯出來.

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做一個有心人，平常留意典型的教學(xué)例題，靜下心來將一些能成系列的問題整理出來.將這些問題按難度層次排個序，串題設(shè)計由淺入深，循序漸進.難點問題突破時，在前面做好一小題的思路鋪墊.當問題串接得絲絲入扣、接近學(xué)生的知識最近發(fā)展區(qū)時，相信學(xué)生的課堂表現(xiàn)會更加出彩！

例如筆者還是借助函數(shù)y=-x²+2x+3來設(shè)計一節(jié)面積問題的專題課，首先觀察圖3，連接AC、BC，請學(xué)生計算出△ABC的面積.由于目標圖形規(guī)整，同學(xué)們能很快獲取答案.

接著連接CD、BD，求四邊形OCBD的面積.在與學(xué)生的講解交流中不難看出，學(xué)生有著將圖形劃歸成可求規(guī)整圖形的基本意識.此時再在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)拋出問題：連接CD、BD、BC，求△DBC的面積.例題難度提升后肯定有部分學(xué)生解題的思路受阻，但只要老師或者學(xué)生一提到四邊形OCBD的面積的信息，絕大部分同學(xué)會恍然大悟，想到用四邊形OCBD的面積減去△OBC的面積的方法.此時再設(shè)計讓學(xué)生同步求解△ACD的面積或者介紹鉛錘方向切法的基本計算方法，講解的思路便順勢而上，學(xué)生們的探究必然興致盎然.

專題繼續(xù)加深，將靜態(tài)面積問題串接上動態(tài)面積問題，知識傳遞保持螺旋上升.如圖4，若P是拋物線右側(cè)BC段上的一個動點，問何時△PBC面積最大？此時P的坐標是什么？拋物線上是否存在一個點M，使得△MBC和△BCD的面積相同？會不會有△MBC是△BCD的面積的2倍？

貪多嚼不爛，專題學(xué)習(xí)不應(yīng)該是高難度例題的堆砌.借助串題將一個知識點窮極變化，一挖到底才是有效學(xué)習(xí)的王道.學(xué)生在知中去行，在行中去提升知.創(chuàng)意地捕捉，創(chuàng)造地生成.專題維度的串題，通過不斷地概括化、言語化、簡縮化而逐步向思維的抽象化轉(zhuǎn)化，以達成學(xué)生認識和思維水平的深化，真正實現(xiàn)對知識的掌握.

值得注意的是，學(xué)生了解掌握專題知識點后也不能保證能順利解決此類問題，只能說明學(xué)生通過問題的閱讀與理解建構(gòu)最初的叩門磚.肯定要隨著外部綜合題型的信息“接觸”才能不斷發(fā)生新的變化，成為學(xué)生真實的技能技巧，因此進行知識模型地再應(yīng)用顯得尤為重要.在作業(yè)設(shè)計中，筆者認為應(yīng)該反其道而行之，有意識將串接知識模型的題目加以拆解，回歸到不同的函數(shù)解析式中去，并根據(jù)難易程度擬出相應(yīng)的多個練習(xí)內(nèi)容，鞏固和再挖掘?qū)W生課堂的理解的深度.

3“一波三折”：關(guān)注函數(shù)綜合學(xué)習(xí)的跨度

函數(shù)綜合題直指學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生解決綜合題的能力絕非一朝一夕就能做到.尤其是函數(shù)壓軸題不是一兩個專題學(xué)習(xí)就能夠涵蓋的.課堂上也許會遇到這樣的情況：一道壓軸題的講解還沒完，下課鈴聲就響了，老師們?nèi)σ愿暗刂v解和計算，留給學(xué)生動手探究的時間又能有多少呢？學(xué)生能理解多少知識呢？一個綜合題各個小題所涉及的考查內(nèi)容可能不盡相同，一會兒是動點問題，一會兒也許就成為相似問題.學(xué)生不適應(yīng)大跨度的知識點考查是造成綜合題難理解、難得分的重要原因之一.

有些綜合學(xué)習(xí)課是需要打破章節(jié)的桎梏的.數(shù)學(xué)教師要注意收集和充分利用好函數(shù)壓軸題資源，不斷豐富自己的題庫.致力于對典型的函數(shù)小題進行一定邏輯的組合拼盤或者改造加工.通過教師的串題加工可以呈現(xiàn)相關(guān)知識，并增加前后知識的跨度.學(xué)生往往能從內(nèi)容的差異中找出不同的信息，并在教師的引導(dǎo)下通過比較來分析、綜合，對知識點進行更深層次的解讀，在練習(xí)中幫助學(xué)生提升思維能力.換句話說，只有讓學(xué)生多接觸一波三折的組合的題，多嘗試克服綜合題的層層阻撓，才能建立迎難而上的自信，消除畏難不前的心理陰影.

例如同樣以函數(shù)y=-x²+2x+3為例，筆者考慮到特殊圖形的探究是一類熱門的題型，富含方程思想、分類思想，串題設(shè)計時以它起步.設(shè)計問題（1）：若點P是函數(shù)對稱軸上的一點，當△ACP是等腰三角形，P的坐標是什么？稍作更改就可串接其他特殊圖形問題;設(shè)計問題（2）：若點P是函數(shù)對稱軸上的一點，當△ACP是直角三角形，P的坐標是什么？設(shè)計問題（3）：如圖5，Q是拋物線上的一個動點，M是x軸上的一點，若以Q、M、A、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，M的坐標是什么？

當學(xué)生們熟悉特殊圖形求解的套路后，考慮繼續(xù)轉(zhuǎn)換陣地，添加圖形全等、相似菜單;設(shè)計問題（4）：如圖6，是否存在拋物線上的一個動點Q，使得△OCQ與△OBQ全等？又如問題（5）：是否存在拋物線上的一個動點E，作EF⊥x軸于F，使得△OCA與△OEF相似？

在平時的教學(xué)中應(yīng)多給予學(xué)生一些教學(xué)對象背景的深刻思考和挖掘，提高學(xué)生的問題化歸能力.跨度維度的串題教學(xué)則可以為學(xué)生探究思維多增添一些出發(fā)點.特別值得一提的是，跨度串題也要有一定的針對性，學(xué)生掌握薄弱的問題要多組合、剛出爐的新題型要多組合、富含數(shù)學(xué)思想方法的題要多組合. 值得注意的是，有些典型的好題是需要特定的數(shù)據(jù)背景，此時強行串題會增加學(xué)生計算結(jié)果的復(fù)雜性. 這個時候不妨單題單選，同樣也能輔助開闊學(xué)生解題的視野.

4結(jié)語

總之，“三度”視角下的函數(shù)教學(xué)激發(fā)了學(xué)生有深度的課堂體驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想價值的引領(lǐng).擁有基礎(chǔ)廣度、專題深度、綜合跨度的函數(shù)教學(xué)讓我們的探究更接地氣.當然，我們的課堂顯然不僅僅是這三個維度，在踐行函數(shù)全方位教學(xué)與學(xué)習(xí)的時候肯定有許多的交集，我們還可以從更多的維度去探尋出“四度”“五度”視角下的初中數(shù)學(xué)課堂.

參考文獻：

[1]徐小建.例談幾何變式訓(xùn)練[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志. 2015（09）：8-11.

[2]宋曉平.“新手—熟手—專家”型數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)的對比研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，（2）.