林萬麗

（廣東工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 廣東省廣州市 510006）

1 引言

近年來，研究者們發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜環(huán)境中，有許多物理系統(tǒng)及機器因其特殊的材質(zhì)和性質(zhì)而表現(xiàn)出分數(shù)階動力學(xué)行為，例如正弦振蕩器、隨機擴散、人群體編隊、地震分析、粘彈性阻尼器等。因此，分數(shù)階微積分系統(tǒng)逐漸地引起了研究人員的極大興趣。

在現(xiàn)有的研究成果中，分數(shù)階微分系統(tǒng)在多智能體系統(tǒng)的研究相對來說還是比較少。分數(shù)階多智能體系統(tǒng)（FOMASs）作為一種特殊復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，具有相對先進的科學(xué)課題。多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制以其高效、魯棒性強等特點，在無人機群、分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)、智能交通運輸?shù)阮I(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。多智能體系統(tǒng)的一致性是協(xié)調(diào)控制中的一個最基本問題，已經(jīng)得到了廣泛的研究，其目的是設(shè)計一個僅使用有限的局部信息的分布式算法，使所有智能體的狀態(tài)在任意初始條件下都能達成一致。因此，研究FOMASs的一致性問題具有十分重要的理論和現(xiàn)實意義。

文獻首先考慮了分數(shù)階線性系統(tǒng)的一致性問題，其中一致性是由所設(shè)計的控制器實現(xiàn)的。此外，隨著分數(shù)階微分逐漸被人們重視起來，在文獻中，Gong 等學(xué)者基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒自適應(yīng)控制上，設(shè)計了一些分布式跟蹤協(xié)議。文獻中提出了一個觀察器來處理奇異分數(shù)階多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致問題。文獻學(xué)者們在固定有向圖上，研究了具有動態(tài)前導(dǎo)的異構(gòu)非線性分數(shù)階多智能體系統(tǒng)的一致跟蹤問題。為了實現(xiàn)FOMASs 的一致性，研究者提出了許多控制方法，如自適應(yīng)控制、滑?？刂啤Ⅳ敯艨刂?、脈沖控制等。

脈沖控制作為一種離散時間控制方法，可以不連續(xù)地占用通信信道，且有效地節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的消耗。由于其突出的優(yōu)點，分數(shù)階微積分系統(tǒng)的脈沖控制方法引起了研究者的廣泛關(guān)注。

在文獻中，學(xué)者們利用脈沖控制方法分析了FOMASs 中具有固定和切換拓撲的聚類一致性。文獻進一步考慮在時滯的情況下，分析了具有混合時變時滯分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨指數(shù)一致性。此外，在脈沖控制的幫助下，文獻利用事件觸發(fā)脈沖控制方法研究分數(shù)階微分混沌系統(tǒng)的同步問題，該方法綜合了脈沖控制和事件觸發(fā)控制的優(yōu)點。脈沖序列由一定的觸發(fā)函數(shù)和觸發(fā)條件定義，它們與主從系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)?？刂破髦辉诿}沖瞬間更新。通過降低控制器的更新頻率，可以進一步降低控制器對通信帶寬和計算資源的消耗。

上述研究成果都是基于相稱的分數(shù)階系統(tǒng)的分析，而非相稱的分數(shù)階系統(tǒng)被研究的相對比較少。在現(xiàn)有的文獻中，如文獻中提出了一種新的模糊自適應(yīng)控制器來實現(xiàn)兩個不相稱分數(shù)階混沌系統(tǒng)的適當(dāng)廣義投影同步。假設(shè)主系統(tǒng)和從系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)不一致、外部動力擾動、不確定模型和明顯分數(shù)階，然后用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)估計一些未知的非線性函數(shù)。最后，采用李亞普諾夫方法推導(dǎo)了閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)規(guī)律，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

基于上述的分析，本文提出了一種非相稱分數(shù)階多智能體系統(tǒng)牽引脈沖一致性的設(shè)計?；陬I(lǐng)域變量的基礎(chǔ)，Lyapunov 方法和牽引脈沖控制理論有以下三個優(yōu)點：

（1）該方法控制成本低，收斂速度快；

（2）脈沖增益不僅取決于脈沖函數(shù)還取決于系統(tǒng)階數(shù)；

（3）該方法操作簡單，易于實現(xiàn)，更適合工程應(yīng)用。

符號說明：N表示正整數(shù)的集合，R 為實數(shù)集和R是正實數(shù)集。N 定義為跟隨者的數(shù)量，當(dāng)N∈N時，N={1,2,...,N}是一個有限集。R和R表示n 維實數(shù)空間和n×n 個實數(shù)矩陣的集合。λ(A)表示實對稱矩陣A 的最大特征值，定義對角矩陣為M=diag{m,m,m,...,m}。

2 問題描述

2.1 圖論

2.2 Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和Mittag-Leffler函數(shù)

函數(shù)y(t)的Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

2.3 相關(guān)定義和性質(zhì)

2.4 模型描述

考慮由N 個跟隨者和一個領(lǐng)導(dǎo)者的FOMASs 的動力學(xué)模型為：

其中系統(tǒng)階數(shù)為，是領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)向量。

注釋1：系統(tǒng)（1）和（2）中階數(shù)α ≠β，表示該系統(tǒng)是非相稱系統(tǒng)；在現(xiàn)有的成果中比如，系統(tǒng)階數(shù)都是α=β，這樣的系統(tǒng)表示相稱系統(tǒng)，隨著環(huán)境的復(fù)雜化，研究非相稱系統(tǒng)會更加具有現(xiàn)實意義。

控制器設(shè)計如下：

3 主要結(jié)果

在本節(jié)中考慮了非相稱分數(shù)階多智能體系統(tǒng)的脈沖一致性，利用Lyapunov 方法和牽引脈沖控制理論推導(dǎo)出了一致性的充分條件。

定理1：基于假設(shè)1 和假設(shè)2 成立的情況下，如果

4 數(shù)值仿真

在這部分，為了驗證提出的結(jié)果，直觀地突出定理1，給出了一個數(shù)值例子。

假設(shè)FOMASs 由1 個領(lǐng)導(dǎo)者和4 個跟隨者組成，則N=4。其拓撲圖如圖1 所示：領(lǐng)導(dǎo)者被標記為0，跟隨者標記為1，2，3，4。

圖1：系統(tǒng)拓撲圖

圖2 和圖3 分別表達的是系統(tǒng)中智能體誤差狀態(tài)和牽引智能體的分布情況。通過圖2 可知系統(tǒng)在牽引脈沖控制下能快速實現(xiàn)一致性。從圖3 可以知道在每個脈沖時刻系統(tǒng)只牽引兩個智能體，且這兩個智能體在每個脈沖時刻都是變化的，其中變化的依據(jù)是由跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的誤差大小來判斷的，與領(lǐng)導(dǎo)者的誤差越大的跟隨者優(yōu)先被牽引。

圖2：系統(tǒng)中誤差狀態(tài)

圖3：牽引智能體

5 總結(jié)

為了解決非相稱分數(shù)階多智能體領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問題。本文設(shè)計了一個領(lǐng)域變量函數(shù)，將分數(shù)階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階系統(tǒng)問題，實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)一致性問題。通過利用Lyapunov 方法和牽引脈沖控制理論推導(dǎo)出了一致性的充分條件，同時獲得更快的收斂速率。 研究結(jié)果表明，控制增益不僅取決于脈沖增益，而且還與系統(tǒng)的階數(shù)有關(guān)。 最后，通過一個數(shù)值仿真，驗證結(jié)果的有效性。