齊子涵， 吳志強(qiáng)， 焦云雷， 賈文文

（1. 天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300350；2. 天津航天機(jī)電設(shè)備研究所，天津 300458；3. 中國(guó)空間技術(shù)研究院 總體部，北京 100094）

引 言

隨著我國(guó)航天事業(yè)的發(fā)展，圓形太陽(yáng)翼因高功率質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)逐漸替代矩形太陽(yáng)翼，引起了人們的重視[1].張力機(jī)構(gòu)是圓形太陽(yáng)翼能夠保持太陽(yáng)毯張緊的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)，通常由兩側(cè)的繩和彈簧組成接近X 形的構(gòu)型，其力學(xué)特性具有明顯的非線(xiàn)性特征.由于制造及安裝誤差等原因，張力機(jī)構(gòu)連接的太陽(yáng)翼兩部分可能不是嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)的.因而，分析張力非線(xiàn)性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響時(shí)，需要考慮這種結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)的影響.但是由于此機(jī)構(gòu)存在張力非線(xiàn)性因素，當(dāng)兩肋板出現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)情況時(shí)，在張力非線(xiàn)性的作用下將會(huì)出現(xiàn)拍振.因此，研究其不同激勵(lì)條件下的拍振對(duì)于實(shí)施拍振控制有重要作用.

拍振現(xiàn)象可見(jiàn)于各類(lèi)工程實(shí)例中，因而得到人們的重視.溫登哲等[2]總結(jié)了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)發(fā)展，并強(qiáng)調(diào)了拍振對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響；陳茉莉等[3]指出多維圖形法在多源拍振中的小頻差識(shí)別應(yīng)用；廖明夫等[4]在研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)差率很小時(shí)拍振現(xiàn)象十分明顯；韓軍等[5]分析了拍振周期性和信號(hào)強(qiáng)度及反向轉(zhuǎn)子的基本特性，對(duì)產(chǎn)生拍振的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征進(jìn)行了較好的闡述；Zeng 等[6]通過(guò)解拍的方法對(duì)雙轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)進(jìn)行信號(hào)提?。桓咛靃7]對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陣發(fā)性沖擊振動(dòng)采用了Hilbert 包絡(luò)譜的分析方法，清晰地提取了系統(tǒng)中的周期損傷頻率及其倍頻.在橋梁方面，Caetano 等[8]通過(guò)對(duì)Guadiana 橋進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，觀測(cè)到不同模態(tài)間的內(nèi)共振及斜拉索拍振.在此基礎(chǔ)上，孫測(cè)世等[9]分析了單頻激勵(lì)能激發(fā)斜拉索拍振的原因.Park 等[10]對(duì)怠速拍振與車(chē)輛振動(dòng)的關(guān)系進(jìn)行了探究，為車(chē)輛設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo).朱劍濤等[11]采用Fourier 變換、沖擊響應(yīng)譜和小波分析方法分析了星箭組合體的拍振特點(diǎn)，為后續(xù)衛(wèi)星狀態(tài)的確定提供了參考依據(jù)；練繼建等[12]對(duì)泄洪激勵(lì)下二灘拱壩拍振現(xiàn)象的機(jī)理進(jìn)行研究，分析了拱壩拍振的主要原因；Zhang 等[13]分析了電介質(zhì)彈性體膜電壓誘發(fā)拍振的機(jī)理；Endo 等[14]對(duì)大型浮式結(jié)構(gòu)的拍振現(xiàn)象進(jìn)行分析，指導(dǎo)了海洋平臺(tái)的設(shè)計(jì)；Kim 等[15-16]利用脈沖響應(yīng)研究了不對(duì)稱(chēng)環(huán)、鐘的拍頻分布特征；高輝等[17]通過(guò)研究主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)拍振現(xiàn)象，提出控制磁懸浮軸承廣義動(dòng)剛度的方法以降低拍振的影響.在工程實(shí)例中，拍振多是以時(shí)域和頻譜進(jìn)行分析，并且更多地是對(duì)拍振出現(xiàn)的原因進(jìn)行探究，未闡述系統(tǒng)非線(xiàn)性響應(yīng)與拍振的關(guān)系.

本文基于張力機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，使用Lagrange 能量法進(jìn)行兩肋板結(jié)構(gòu)尺寸非對(duì)稱(chēng)情況建模，對(duì)激勵(lì)幅值改變的對(duì)稱(chēng)激勵(lì)下系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行求解，分析了結(jié)構(gòu)拍振的原因，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)典型響應(yīng)并結(jié)合時(shí)域、Poincaré截面、頻譜以及Hilbert 包絡(luò)譜等手段，探究了系統(tǒng)不同非線(xiàn)性響應(yīng)狀態(tài)與拍振具體形式的關(guān)系.

1 帶有張力非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖1 所示，系統(tǒng)由兩個(gè)靜平衡狀態(tài)間距為L(zhǎng)的懸臂型肋板組成，兩個(gè)板間通過(guò)張力調(diào)節(jié)單元連接，外側(cè)均與接地彈簧k1相連.固定端有位移激勵(lì)Ui(t)=Yicos(ωt)，wi(x,t)表示第i個(gè)肋板固定端所受位移激勵(lì)及板振動(dòng)變形.

圖1 張力非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the tension nonlinear symmetric model

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

由于肋板變形小，且以一階為主，故可假設(shè)肋板i(i= 1, 2 )的振動(dòng)位移為

其中Φ(x)為懸臂梁一階模態(tài)函數(shù). 將以上方程代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange 方程

可得兩自由度非線(xiàn)性方程：

1.3 方程無(wú)量綱化

表1 模型參數(shù)取值Table 1 Values of model parameters

2 拍振現(xiàn)象原因分析

以激勵(lì)幅值0.3，激勵(lì)頻率1 時(shí)的強(qiáng)迫共振響應(yīng)為例，通過(guò)比較線(xiàn)性、非線(xiàn)性響應(yīng)，分析拍振產(chǎn)生的原因.圖2 為線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)，圖3 為非線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng).

圖2 激勵(lì)幅值為0.3 線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時(shí)間歷程圖；(b) 肋板2 時(shí)間歷程圖；(c) 肋板1 頻譜圖；(d) 肋板2 頻譜圖Fig. 2 With an excitation amplitude of 0.3, the linear system responses：(a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2;(c) the spectrum diagram of rib 1; (d) the spectrum diagram of rib 2

圖3 激勵(lì)幅值為0.3 非線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時(shí)間歷程圖；(b) 肋板2 時(shí)間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e) 肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 3 With an excitation amplitude of 0.3, the nonlinear system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2;(c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)中，由于兩肋板截面尺寸不同，導(dǎo)致肋板1 固有頻率為1，肋板2 固有頻率略低于1，因此圖2線(xiàn)性系統(tǒng)由于共振使肋板1 位移極值遠(yuǎn)大于肋板2，但在時(shí)域圖像中都未出現(xiàn)拍振現(xiàn)象，說(shuō)明帶有張力非線(xiàn)性的非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)在對(duì)稱(chēng)激勵(lì)下的拍振現(xiàn)象并非是由結(jié)構(gòu)固有頻率的差異引起的.

張力非線(xiàn)性系統(tǒng)在相同激勵(lì)條件下的響應(yīng)如圖3 所示.因所討論的系統(tǒng)受周期激勵(lì)作用，其Poincaré截面圖由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間歷程間隔激勵(lì)周期取點(diǎn)后繪制的相圖得到.與線(xiàn)性情況不同的是，兩肋板位移極值相近且出現(xiàn)拍振現(xiàn)象.綜合圖2 分析可知，此結(jié)構(gòu)拍振是由具有張力非線(xiàn)性的張力調(diào)節(jié)單元耦合作用引起的.

3 非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)分岔分析

本節(jié)通過(guò)計(jì)算Poincaré映射分岔，獲得激勵(lì)幅值較大范圍變化時(shí)響應(yīng)的變化情況，之后選擇典型參數(shù)分析拍振現(xiàn)象.

激勵(lì)幅值從0 到3 變化時(shí)系統(tǒng)分岔見(jiàn)圖4.激勵(lì)幅值在0 ～ 0.28，1.67 ～ 1.74，1.99 ～ 2.03，2.15 ～ 2.5 以及2.67 ～ 3 五個(gè)范圍時(shí)響應(yīng)屬于簡(jiǎn)單周期運(yùn)動(dòng)，暫不討論.而激勵(lì)幅值處于其他范圍時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)乃至混沌運(yùn)動(dòng).具體運(yùn)動(dòng)形式判定，下文將從時(shí)間歷程、Poincaré截面圖、頻譜和Hilbert 包絡(luò)譜的角度進(jìn)行分析.限于篇幅，這里給出激勵(lì)幅值Y為0.3，0.67，0.72 和2.66 時(shí)的結(jié)果.

圖4 激勵(lì)幅值改變下肋板分岔圖：(a) 肋板1 分岔圖；(b) 肋板2 分岔圖Fig. 4 With a changing excitation amplitude, the bifurcation diagrams of the lower ribs: (a) the bifurcation diagram of rib 1; (b) the bifurcation diagram of rib 2

圖3 為激勵(lì)幅值為0.3 時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，此處不再重復(fù).從時(shí)間歷程來(lái)看，雖然兩個(gè)肋板的最大振幅均為6 左右，但其拍振波形有明顯不同，肋板2 存在大小拍現(xiàn)象.Poincaré截面圖說(shuō)明運(yùn)動(dòng)是概周期的，但肋板1、2 分別為單環(huán)和三環(huán).頻譜圖顯示，在主振動(dòng)頻率1 附近出現(xiàn)多個(gè)頻率，這些很接近的頻率正是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)拍振的主要原因.通過(guò)圖3(g)、(h) 的Hilbert 包絡(luò)譜，可以清晰地得到拍振特點(diǎn)：兩個(gè)肋板都是由兩小拍組成一大拍，小拍頻率為0.08，對(duì)應(yīng)拍振周期為12.5，大拍頻率為0.04，對(duì)應(yīng)拍振周期為25，這兩個(gè)頻率分別對(duì)應(yīng)Hilbert 包絡(luò)譜中的第一、第二兩個(gè)頻率.兩個(gè)肋板拍振具體形式略有差別，主要體現(xiàn)在Hilbert 包絡(luò)譜中頻率為0.08 的幅值不同：肋板1 兩小拍不明顯，幾乎合為一拍，因此0.08 頻率幅值很??；肋板2 兩小拍清晰，因此0.08 頻率幅值與0.04 幅值相近.

圖5 為激勵(lì)幅值為0.67 時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng).時(shí)間歷程圖中的振動(dòng)幅值都有所增加，兩個(gè)肋板大小拍更加明顯.系統(tǒng)的Poincaré截面顯示運(yùn)動(dòng)仍是概周期的，但是出現(xiàn)了更高程度的折疊.頻譜圖中，頻率數(shù)量增加使拍振現(xiàn)象更為復(fù)雜.而通過(guò)圖5(g)、(h) 的Hilbert 包絡(luò)譜可以清晰地看出，拍振的頻率呈倍頻形式出現(xiàn)，表明此拍振現(xiàn)象是以多個(gè)周期相同的拍振周期組成，而其中最小拍振頻率0.0235，對(duì)應(yīng)拍振最大周期42.對(duì)肋板1 來(lái)說(shuō)，最大拍振周期內(nèi)存在7 個(gè)小周期，因此幅值最大的頻率為對(duì)應(yīng)最大周期的頻率0.0235 和0.0235 的7 倍頻；對(duì)肋板2 來(lái)說(shuō)，最大拍振周期內(nèi)存在3 個(gè)小周期，因此幅值最大的頻率是0.0235 和0.0235 的3 倍頻.同時(shí)，由于肋板2 一個(gè)大周期內(nèi)的三個(gè)小周期幅值比較接近，使其包絡(luò)線(xiàn)周期明顯，因此0.0235 的三倍頻幅值最大.Hilbert 包絡(luò)譜中，還存在一些更高倍數(shù)的頻率，這些頻率的出現(xiàn)主要是因?yàn)樵诿恳恍∨闹胁⒎鞘蔷鶆驀?yán)格的拍振形式，其最大振幅的波動(dòng)使Hilbert 包絡(luò)譜中出現(xiàn)更小的周期.這些倍頻說(shuō)明，拍振最大周期42 同樣是幅值波動(dòng)周期的整數(shù)倍.

圖5 激勵(lì)幅值為0.67 結(jié)構(gòu)非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時(shí)間歷程圖；(b) 肋板2 時(shí)間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e)肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 5 With an excitation amplitude of 0.67, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)幅值增加到0.72 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)如圖6 所示.從時(shí)間歷程來(lái)看，響應(yīng)仍具有拍的特征，但拍已不具備周期性.由圖6(c)、(d)可以看出，系統(tǒng)已處于混沌狀態(tài)，Poincaré截面中成片的點(diǎn)狀區(qū)域是在圖5(c)、(d)Poincaré截面閉合曲線(xiàn)形狀基礎(chǔ)上形成的.由此，可初步推斷該混沌行為是激勵(lì)幅值Y=0.67 時(shí)的概周期解經(jīng)過(guò)環(huán)面分岔而形成.從Hilbert 包絡(luò)譜上看到存在0.035 和0.07，對(duì)應(yīng)周期為14.28 和28.57 的拍振現(xiàn)象，而肋板1 的響應(yīng)中存在很多小拍，是因其Hilbert 包絡(luò)譜中還有更高頻的主要成分.

圖6 激勵(lì)幅值為0.72 結(jié)構(gòu)非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時(shí)間歷程圖；(b) 肋板2 時(shí)間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e)肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 6 With an excitation amplitude of 0.72, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

激勵(lì)幅值繼續(xù)增加，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷從混沌到概周期，再到周期的多次轉(zhuǎn)換，特別是在激勵(lì)幅值Y為2.59 到2.68 時(shí)，呈現(xiàn)復(fù)雜周期現(xiàn)象.圖7 給出了Y=2.66 時(shí)的計(jì)算結(jié)果.時(shí)間歷程拍振現(xiàn)象明顯，周期性較強(qiáng).Poincaré截面出現(xiàn)了接近點(diǎn)狀的多點(diǎn)分布圖形，說(shuō)明拍振基頻與主振頻率之間接近倍數(shù)關(guān)系.由圖7(g)可知拍振基頻為0.0625，與主振頻率的比值為16，與Poincaré截面圖中的點(diǎn)數(shù)相同.與其他響應(yīng)情況相比，復(fù)雜周期響應(yīng)的拍振頻率略高，說(shuō)明拍振周期更小，以五個(gè)小拍為一個(gè)大拍周期.

圖7 激勵(lì)幅值為2.66 結(jié)構(gòu)非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時(shí)間歷程圖；(b) 肋板2 時(shí)間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e) 肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 7 With an excitation amplitude of 2.66, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

4 結(jié) 論

圓形太陽(yáng)翼中包含了一種特殊的張力單元以調(diào)節(jié)其內(nèi)部張力，該單元由繩和彈簧組合成為X 形構(gòu)型，其力學(xué)特性具有強(qiáng)非線(xiàn)性特征.為研究此類(lèi)張力單元的影響，本文給出了包含張力單元的雙懸臂梁力學(xué)機(jī)理模型，導(dǎo)出了其動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)頻譜、Hilbert 包絡(luò)譜和Poincaré截面等手段重點(diǎn)分析了系統(tǒng)中存在的拍振現(xiàn)象.

1) 拍振現(xiàn)象是由張力非線(xiàn)性引起，在位移激勵(lì)和張力彈簧的作用下肋板的頻譜圖出現(xiàn)多個(gè)間隔相等的頻率，而兩肋板固有頻率的區(qū)別使其出現(xiàn)特點(diǎn)不同的拍振現(xiàn)象.

2) 雖然兩肋板受到激勵(lì)相同，因其截面積不同導(dǎo)致其拍振行為有較大差別.拍振過(guò)程中肋板1 的幅值會(huì)有較大變化但不會(huì)變?yōu)榱悖甙? 的幅值通常會(huì)變小到零.

3) 激勵(lì)幅值變化時(shí)，系統(tǒng)存在不同拍振行為，可能是概周期、多倍周期或混沌三種類(lèi)型之一，并且都有大拍中套小拍的現(xiàn)象.

4) 對(duì)拍振行為，Hilbert 包絡(luò)譜比頻譜更直觀，對(duì)概周期以及多倍周期的拍振現(xiàn)象，可由Hilbert 包絡(luò)譜的基頻得到響應(yīng)波形變化的頻率和周期，而基頻與倍頻成分對(duì)應(yīng)譜線(xiàn)的相對(duì)高低，則與大拍中包含的小拍特征是否明顯有關(guān).

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