祝月，徐俊艷，王曉東，宋勛，王蒙一

（北京電子工程總體研究所，北京 100854）

0 引言

隨著各國軍事力量和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，過去單一飛行器之間的攻防對抗已經(jīng)不能滿足當(dāng)前的作戰(zhàn)需求。在當(dāng)前信息化作戰(zhàn)的背景下，為了提高打擊精度和打擊效果，多彈協(xié)同打擊多目標(biāo)的作戰(zhàn)方式開始興起［1］，并逐漸成為各國的研究熱點。

在多彈協(xié)同打擊多個目標(biāo)的作戰(zhàn)場景中，各導(dǎo)彈的發(fā)射時間受攔截弧段的影響不能任意給定，因此需要采用多彈齊射的方案［2］。多彈齊射的制導(dǎo)律設(shè)計問題需要考慮諸多約束［3］。首先，為避免前方導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時的光電效應(yīng)對傳感器瞬間失靈的影響以及避免碰撞產(chǎn)生的碎片干擾，各導(dǎo)彈間的交會角要形成較大的差異。第二，為保證攔截精度，需要使得脫靶量盡可能小。同時，為保證工程可實現(xiàn)性，還需要使全程的能量消耗盡可能小。

根據(jù)國內(nèi)外學(xué)者的相關(guān)研究，考慮交會角和脫靶量共同約束的制導(dǎo)方法可以總結(jié)為滑模變結(jié)構(gòu)控制法（SMC）、最優(yōu)控制法，以及剩余時間多項式擬合法（TPG）等三大類［4］。文獻(xiàn)［5-6］針對靜止和低速目標(biāo)設(shè)計了一種二維滑模制導(dǎo)律，在控制交會角的同時，能夠使制導(dǎo)指令在交會前收斂到0。文獻(xiàn)［7-8］針對導(dǎo)彈速度為常值及目標(biāo)靜止的情況提出了一種考慮末端脫靶量和交會角約束的二維最優(yōu)制導(dǎo)律。其中，損失函數(shù)用能量代價除以剩余飛行時間的冪指數(shù)表示，而后通過求解線性二次型得到制導(dǎo)律的最終表達(dá)式。該論文通過計算導(dǎo)彈運動軌跡曲線對剩余飛行時間進(jìn)行估計，提高了對脫靶量控制的精度。還有學(xué)者［9-10］提出將制導(dǎo)指令作為剩余飛行時間的多項式（TPG）的制導(dǎo)方法，通過構(gòu)造制導(dǎo)指令多項式各項的系數(shù)來滿足交會角和脫靶量的約束。這種方法簡便易行，同時過載的形式簡明直觀，便于對其進(jìn)行約束。

通過對國內(nèi)外現(xiàn)狀的比對和分析，可以總結(jié)出當(dāng)前研究存在的幾點問題。首先，現(xiàn)有的研究主要集中在導(dǎo)彈速度恒定和目標(biāo)靜止的情況［11-12］。這種情況下制導(dǎo)狀態(tài)方程的設(shè)計和求解相對簡單，同時也容易求解出較為精確的剩余飛行時間，其脫靶量和角度偏差都會比較小［13］。然而，在協(xié)同打擊高速非機(jī)動目標(biāo)這一場景下，不但目標(biāo)是高速運動的，導(dǎo)彈速度的大小通常也是時變的［14］。解決這種情況下制導(dǎo)律的設(shè)計問題對于工程應(yīng)用十分必要。另外，現(xiàn)有制導(dǎo)律大多是基于二維場景提出的。對于三維制導(dǎo)律，尤其是大交會角約束下制導(dǎo)律的設(shè)計和分析存在較大欠缺。

為解決上述問題，本文針對多個導(dǎo)彈協(xié)同打擊多個高速非機(jī)動目標(biāo)的背景，將多對多制導(dǎo)律設(shè)計問題展開成多組一對一基本單元的制導(dǎo)律設(shè)計問題，提出了一種適用于彈目高速運動場景下的三維制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律可以同時滿足脫靶量、交會角和交會時間等多個約束，并且能夠降低制導(dǎo)過程的能量代價，具有較強(qiáng)的理論意義和工程價值。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述及假設(shè)

在本文研究的基于協(xié)同場景下多對多打擊高速非機(jī)動目標(biāo)的場景中，導(dǎo)彈間的信息交換用于提高導(dǎo)彈的抗干擾能力和目標(biāo)的捕捉概率，而各個導(dǎo)彈制導(dǎo)指令的生成是相對獨立的。在打擊過程中，母彈升空后在一定的位置釋放出子導(dǎo)彈，形成多組多對一或一對一的防御網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)導(dǎo)彈的反應(yīng)時間和狀態(tài)調(diào)整時間忽略不計。認(rèn)為導(dǎo)彈和目標(biāo)所受空氣阻力忽略不計。在攔截過程中，目標(biāo)受重力作用做高速非機(jī)動運動，導(dǎo)彈受重力和垂直于彈體方向的法向過載共同作用。

1.2 彈目相對運動模型

三維空間內(nèi)的攔截幾何如圖1 所示。

圖1 三維空間內(nèi)彈目攔截幾何Fig.1 Three-dimensional dynamics of missile and target

OXIYIZI是以發(fā)射點為原點的慣性坐標(biāo)系。r和q分別是彈目相對距離和視線角。vM，θM，ψvM以及vT，θT，ψvT分別是彈目速度、彈道傾角和彈道偏角。導(dǎo)彈和目標(biāo)都受重力加速度g的作用，此外，導(dǎo)彈還受發(fā)動機(jī)施加的法向過載的作用。該過載在彈道坐標(biāo)系中垂直于速度方向的的投影為amny和amnz。則導(dǎo)彈和目標(biāo)在三維彈道坐標(biāo)系實際的法向加速度amy，amz，aty，atz可表示為

導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度及彈目相對距離在三維發(fā)射 點 慣 性 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 的 投 影vmx，vmy，vmz，vtx，vty，vtz，rx，ry，rz可以表示為

將三維空間分解成鉛垂和水平2 個二維平面，通過分析2 個平面內(nèi)的運動，建立2 個平面相互耦合的狀態(tài)方程［9］。2 個平面內(nèi)的彈目相對運動幾何分別如 圖2~3 所示。圖 中，vmxy，vtxy，rxy，vmxz，vtxz，rxz分別是vM，vT，r在OEXIYI平面和OEXIZI平面上的投影。

圖2 鉛垂面彈目攔截幾何Fig.2 Dynamics on vertical plane

則導(dǎo)彈與目標(biāo)機(jī)動的動力學(xué)方程為

圖3 水平面彈目攔截幾何Fig.3 Dynamics on horizontal plane

1.3 制導(dǎo)模型

1.3.1 解耦模型的問題

傳統(tǒng)的運動學(xué)模型通常將水平面和鉛垂面解耦考慮［15］。即，在考慮一個平面內(nèi)的運動時，認(rèn)為另一個平面內(nèi)的彈道角瞬時不變，并且導(dǎo)數(shù)為0。此時amy和amz可以分別由OEXIYI和OEXIZI內(nèi)的制導(dǎo)律生 成。OEXIZI平 面內(nèi)，的 表達(dá)式為

可以發(fā)現(xiàn)，在式（14）~（15）的求導(dǎo)過程中沒有考慮和項，即認(rèn)為θM和θT是瞬時不變的。

OEXIYI平面同理。

在本文研究的多個導(dǎo)彈協(xié)同打擊高速運動的目標(biāo)場景下，為保證攔截精度，部分導(dǎo)彈的交會角可能會非常大。在這種情況下，臨近交會前彈道角的變化速率很大，會導(dǎo)致較大的脫靶量和角度偏差。因此，解耦模型在大交會角情況下并不適用。

1.3.2 三維耦合制導(dǎo)模型

針對解耦模型的問題，本節(jié)提出了一種將鉛垂面和水平面耦合考慮的三維制導(dǎo)模型。選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

2 制導(dǎo)律設(shè)計

本小節(jié)將以三維耦合制導(dǎo)模型為基礎(chǔ)，設(shè)計一種考慮交會角和脫靶量共同約束的三維能量最優(yōu)制導(dǎo)律。三維能量最優(yōu)制導(dǎo)律的損失函數(shù)如下：

式中：amy，amz為三維彈道坐標(biāo)系中導(dǎo)彈實際的法向加速度，可以得到哈密爾頓函數(shù)為

代入狀態(tài)方程并對控制變量求偏導(dǎo)，得到系統(tǒng)的控制方程：

系統(tǒng)的終端狀態(tài)x1(tf)，x3(tf)，x4(tf)和x6(tf)固定，x2(tf)，x4(tf)自由。這是一個終端狀態(tài)部分固定系統(tǒng)的制導(dǎo)律設(shè)計問題。系統(tǒng)的協(xié)態(tài)方程為

求解協(xié)態(tài)變量，可得：

其中，k1，k3，k5，k6為待求參數(shù)?？梢缘玫竭^載的最終形式：

其中，tgo=tf-t表示剩余飛行時間，需要根據(jù)當(dāng)前時刻的彈目相對距離r和視線方向的相對速度r?估計：

只要求解出系統(tǒng)的終端狀態(tài)k1，k3，k5，k6，便可以得到系統(tǒng)的控制輸入。接下來將利用系統(tǒng)的終端狀態(tài)x1(tf)，x3(tf)，x4(tf)和x6(tf)來求解這2 個未知參數(shù)。系統(tǒng)的終端狀態(tài)可以表示成：

其中，

Φ(tf，t)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。采用歐拉積分，可以將式（41）化簡為

利用偽逆函數(shù)pinv，可以求出未知參數(shù)K：

代入式（39），即可得到導(dǎo)彈在彈道系下實際法向加速度amy，amz的數(shù)值解。根據(jù)式（1），（2）可以得到彈道系下垂直于速度方向的控制指令amny，amnz。通過坐標(biāo)變換，將amny，amnz轉(zhuǎn)換到彈體坐標(biāo)系，得到實際的過載指令。amny，amnz到彈體坐標(biāo)系下過載amyq，amzq的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中：av項是垂直于彈體方向的過載在導(dǎo)彈速度方向上的分量。據(jù)此解出：

考慮av影響后的速度變化率為

3 仿真校驗

本節(jié)將通過仿真分析，驗證制導(dǎo)律對脫靶量和交會角偏差控制的有效性。OEXIYI和OEXIZI平面上的零控脫靶量表達(dá)式為

能量消耗定義為

導(dǎo)彈在重力加速度下飛行，且受垂直于彈體方向的法向過載控制。目標(biāo)僅在重力加速度作用下飛行。模型解算周期為0.001 s，制導(dǎo)周期0.02 s。末端期望交會傾角和交會偏角范圍取-35°~35°。制導(dǎo)的初始條件見表1。圖4~6 為三維彈目運動軌跡和彈體系下的法向過載。

圖4 彈目三維運動軌跡Fig.4 Three-dimensional trajectories of missile and target

表1 選擇的初始值Table 1 Initial values

圖5 彈體系y 軸方向需用過載Fig.5 Normal load on y axis

表2 記錄了終端脫靶量、交會角偏差及總能量消耗。終端脫靶量的絕對值的范圍為0.000 013 m到0.234 181 m，交會角偏差的范圍為0.000 01°~0.000 22°，滿足攻擊時對脫靶量和交會角精度的要求。

表2 命中時刻狀態(tài)值Table 2 Values at impact time

圖6 彈體系Z 軸方向需用過載Fig.6 Normal Load on Z axis

接下來將對本文提出的耦合模型與解耦模型［9］進(jìn)行對比和分析，以證明在大交會角情況下，耦合模型在脫靶量、交會角控制偏差和能量代價上的優(yōu)越性。

基于文獻(xiàn)［9］建立的解耦模型，通過建立和求解最優(yōu)控制的協(xié)態(tài)方程和橫截條件便可以得到amy和amz的 最 終 表 達(dá)式。，OEXIYI和OEXIZI平面上的損失函數(shù)可以分別表示為

選用表1 的初始值，設(shè)定模型解算周期0.001 s，制導(dǎo)周期0.02 s。末端期望交會傾角和交會偏角范圍取-35°~35°。得到解耦模型的終端脫靶量和交會角偏差，并將耦合模型的終端脫靶量和交會角偏差作為對比，記錄在表3 中。

表3 中的數(shù)據(jù)表明，在相同的交會傾角和交會偏角下，耦合模型的能量代價要明顯優(yōu)于解耦模型，并且終端脫靶量和交會角偏差更小。當(dāng)期望的交會傾角和交會偏角增大時，解耦模型的終端脫靶量和交會角偏差也會隨之增大。這個結(jié)果表明，在末端存在交會角約束，尤其是期望的值較大時，按照耦合模型推導(dǎo)的制導(dǎo)律要明顯優(yōu)于解耦模型。

表3 命中時刻狀態(tài)值Table 3 Values at impact time

以上仿真考慮的為理想工況。接下來將在此基礎(chǔ)上，增加誤差干擾和最大過載限制，對交會角約束下的能量最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真分析。各個量測量的誤差范圍如表4 所示。

表4 量測誤差Table 4 Measurement error

將導(dǎo)彈的最大可用過載限制為10。仿真初值按照表1給定，交會傾角和偏角的范圍取-10°~ + 6°。模型解算周期為0.001 s，制導(dǎo)周期0.02 s。對表2中的5 組交會角分別計算1 000 條彈道，并將這5 000次仿真及指標(biāo)取絕對值，計算其均值和標(biāo)準(zhǔn)差，記錄在表5 中。

根據(jù)表5 記錄的數(shù)值，脫靶量絕對值的均值可以控制在0.750 m，標(biāo)準(zhǔn)差可以控制在0.297 m。此外，交會角偏差絕對值的均值可以控制在0.18°以內(nèi)，方差可以控制在0.07°以內(nèi)。由此可以得出，本文提出的制導(dǎo)律可以在有效地控制交會角的同時滿足命中的精度要求。

表5 性能指標(biāo)統(tǒng)計值Table 5 Statistics of performance

4 結(jié)束語

本文對協(xié)同場景下導(dǎo)彈打擊高速非機(jī)動目標(biāo)的三維制導(dǎo)律設(shè)計問題進(jìn)行了研究，考慮了交會角、脫靶量、能量代價等復(fù)雜多約束的共同影響，解決了彈目高速運動引起的模型非線性為制導(dǎo)律設(shè)計帶來的困難，提高了大交會角情況下的脫靶量和交會角偏差控制的精度，實現(xiàn)了對每個目標(biāo)的多角度同時打擊，具有較強(qiáng)的理論價值和實際意義。