陳旭超 刁愛民 楊慶超* 柴 凱

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院1) 武漢 430033) (海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院2) 武漢 430033)

0 引 言

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在平衡位置能提供較高的靜剛度和較低的動(dòng)剛度，使其在低頻隔振方面效果顯著，在振動(dòng)控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景．然而，由于非線性因素的影響，系統(tǒng)中可能存在多個(gè)穩(wěn)定的吸引子，且不同的初始條件有可能對(duì)應(yīng)不同振幅的吸引子，如果沒有受到擾動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生改變，而當(dāng)初始條件改變時(shí)，系統(tǒng)有可能躍遷到大振幅吸引子上，影響設(shè)備的正常工作，降低設(shè)備使用壽命．

在多吸引子系統(tǒng)中，通過施加吸引子遷移控制可以實(shí)現(xiàn)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換．遷移控制算法由最早的開環(huán)控制，發(fā)展到開環(huán)控制和線性反饋控制相結(jié)合的 (open plus closed loop，OPCL)控制[1]，并經(jīng)進(jìn)一步優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)開環(huán)加非線性閉環(huán)(open plus nonlinear closed loop，OPNCL)的控制[2]．在實(shí)際應(yīng)用方面，韓清凱等[3]對(duì)OPCL控制方法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了連桿機(jī)構(gòu)的同步運(yùn)動(dòng)．沈建和等[4-5]進(jìn)一步驗(yàn)證了OPCL控制方法的全局性．趙建學(xué)等[6]利用開環(huán)加閉環(huán)的方法實(shí)現(xiàn)周期吸引子之間的遷移控制．柴凱等[7-8]利用OPCL控制和OPNCL控制等算法實(shí)現(xiàn)了周期吸引子之間、周期和混沌吸引子之間的遷移控制，并結(jié)合ADAMS仿真軟件驗(yàn)證了OPCL控制方法的可行性．楊慶超等[9]使用OPNCL控制方法使兩自由度非線性系統(tǒng)在不同參數(shù)下始終處于小振幅持續(xù)混沌運(yùn)動(dòng)，能實(shí)現(xiàn)隱匿線譜信息和保持隔振性能的雙重功能．左兆倫等[10]將OPNCL控制算法應(yīng)用于同步系統(tǒng)混沌吸引子控制，仿真結(jié)果顯示特征線譜強(qiáng)度明顯下降．

綜上所述，針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)多吸引子共存且振幅相差較大的特點(diǎn)，文中以兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了非線性系統(tǒng)的多吸引子共存現(xiàn)象以及不同吸引子對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖和相圖，對(duì)OPNCL遷移控制算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)在任意初始條件下，系統(tǒng)最終都能運(yùn)行于振幅最小、隔振效果最好的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

1 兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

引用如下兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的一階形式量綱-的量動(dòng)力學(xué)微分方程.

γ(x1-x2)2-(x1-x2)3+fcos (ωt)

w(x1-x2)-wγ(x1-x2)2+w(x1-x2)3

(1)

式中：x=[x1,y1,x2,y2]為狀態(tài)變量；γ、f、ω、w、ξi、k2為系統(tǒng)參數(shù)．該系統(tǒng)為具有平方項(xiàng)和立方項(xiàng)的非自治耦合微分方程組，產(chǎn)生的輸出信號(hào)取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)變量．當(dāng)參數(shù)取定為γ=2，w=0.5，k2=1，ω=1.6，f=6.8，ξi=0.1，i=1,2，第一組初始狀態(tài)向量取(0，0，-4，0.5)和(0，0，0，0)，系統(tǒng)(1)經(jīng)歷瞬態(tài)并最終穩(wěn)定于狀態(tài)A，時(shí)間歷程圖見圖1a)，取穩(wěn)態(tài)后的相圖見圖1b)．第二組初始狀態(tài)向量取(0，0，0，3)和(0，0，-2，4)，系統(tǒng)(1)經(jīng)歷瞬態(tài)后穩(wěn)定于狀態(tài)B，時(shí)間歷程圖見圖2a)，顯然A的振幅小于B的振幅，則記狀態(tài)A為運(yùn)行于小振幅吸引子上，狀態(tài)B為運(yùn)行于大振幅吸引子上，取穩(wěn)態(tài)后的相圖見圖2b)．

圖1 小振幅吸引子時(shí)域和相圖

圖2 大振幅吸引子時(shí)域和相圖

由圖2可知：大振幅吸引子和小振幅吸引子為兩種不同的形狀，小振幅吸引子類似于環(huán)狀，與大振幅子吸引子明顯不同．圖3為不同吸引子對(duì)應(yīng)的功率譜圖，由圖3可知：大振幅吸引子對(duì)應(yīng)的功率譜比小振幅吸引子對(duì)應(yīng)的功率譜大0.99 dB，顯然處于小振幅吸引子更有利于設(shè)備的正常工作．

圖3 不同初始條件下共存吸引子功率譜圖

保留系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置，設(shè)置初始條件(x1,y1)=(0,0)，以-6≤x2≤6,-10≤y2≤10為分析平面，利用胞參考點(diǎn)映射法得到兩個(gè)共存吸引子對(duì)應(yīng)的吸引域分布圖，見圖4．結(jié)合圖1～2可知：黑色區(qū)域和紅色區(qū)域分別為大振幅吸引子B和小振幅吸引子A的吸引域．在具有初值敏感性的非線性系統(tǒng)中，兩個(gè)吸引子都有其對(duì)應(yīng)的吸引域，即從同一吸引域出發(fā)的相軌跡都將漸進(jìn)穩(wěn)定于該點(diǎn)所屬的吸引子，從不同吸引域出發(fā)的相軌跡將運(yùn)行于不同的吸引子，說明共存吸引子具有漸進(jìn)穩(wěn)定性．

圖4 共存吸引子吸引域分布圖

2 共存吸引子遷移控制優(yōu)化

2.1 遷移控制

吸引子遷移控制的基本原則是對(duì)原系統(tǒng)施加控制，使得受控系統(tǒng)的目標(biāo)軌道存在局部穩(wěn)定區(qū)域與共存吸引子的吸引域部分重疊，當(dāng)原系統(tǒng)運(yùn)行到重疊部分時(shí)，啟動(dòng)控制，這樣受控系統(tǒng)就可沿著該穩(wěn)定軌道運(yùn)行[11-12]．當(dāng)該軌道的起點(diǎn)在一個(gè)吸引子上，終點(diǎn)在另一個(gè)吸引子的吸引域時(shí)，則可以實(shí)現(xiàn)從一個(gè)吸引子到另一個(gè)吸引子的遷移控制．在兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)上添加控制器U=(u1，u2，u3，u4)T，得到如下受控系統(tǒng)：

(2)

若將系統(tǒng)(1)控制到目標(biāo)軌道g=(g1，g2，g3，g4)上，定義誤差信號(hào)為ei=xi-gi,i=1,2,3,4．將誤差變量代入受控系統(tǒng)(2)得到誤差系統(tǒng).

(3)

選用OPNCL控制算法中的控制項(xiàng).

(4)

式中：

γ(g1-g3)2-(g1-g3)3+fcos(ωt)

wξ1(g2-g4)+w(g1-g3)-

wγ(g1-g3)2+w(g1-g3)3

(5)

(6)

(7)

其中：Δ1=g1-g3，Δ2=e1-e3．

2.2 遷移控制優(yōu)化

(8)

式中：ε為實(shí)數(shù)．控制流程圖見圖5．

圖5 優(yōu)化后的遷移控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

3 數(shù)值仿真

設(shè)置激勵(lì)力幅值為6.8，取ε=0.6，目標(biāo)函數(shù)g1=g3=1.5+sin(0.5t)，g2=g4=0.5cos(0.5t)，輸入初始條件xp=[0,0,-1.98,-6.5]，基座的相軌跡和時(shí)間歷程圖見圖6．由圖6可知：系統(tǒng)經(jīng)歷瞬態(tài)并最終運(yùn)行于小振幅吸引子．輸入初始條件xp=[0,0,-1.02,3.1]，基座的相軌跡和時(shí)間歷程圖見圖7．由圖7可知：系統(tǒng)剛開始運(yùn)行于大振幅吸引子，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行至大振幅吸引子與目標(biāo)軌道g(t)鄰域的重疊區(qū)域時(shí)啟動(dòng)了遷移控制，系統(tǒng)迅速遷移至目標(biāo)軌道g(t)或g(t)的鄰域；當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行至目標(biāo)軌道g(t)鄰域與小振幅吸引子對(duì)應(yīng)吸引域的重疊區(qū)域時(shí)，關(guān)閉控制，系統(tǒng)逐漸遷移并最終穩(wěn)定運(yùn)行于小振幅吸引子．由第二節(jié)所述胞映射的分析結(jié)果可知兩個(gè)初始條件分別對(duì)應(yīng)不同的吸引子，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性．

圖6 xp=[0,0,-1.98,-6.5]時(shí)基座的相軌跡和時(shí)間歷程圖

圖7 xp=[0,0,-1.02,3.1]時(shí)基座的相軌跡和時(shí)間歷程圖

在胞映射分析平面之外取點(diǎn)，輸入初始條件xp=[0,0,-10,-10]，取穩(wěn)態(tài)之后基座的相軌跡見圖8a)．由圖8a)可知：系統(tǒng)始終運(yùn)行于小振幅吸引子．輸入初始條件xp=[0,0,-10,-5]，基座的相軌跡見圖8b)．由圖8b)可知：系統(tǒng)剛開始運(yùn)行于大振幅吸引子，但是經(jīng)過自適應(yīng)控制之后最終穩(wěn)定運(yùn)行于小振幅吸引子．

對(duì)比以上結(jié)果可知系統(tǒng)從大振幅吸引子自動(dòng)遷移到了小振幅子吸引子上，系統(tǒng)的振幅降低，達(dá)到了小振幅吸引子自適應(yīng)遷移控制的目的．此外，在遷移過程結(jié)束后，控制函數(shù)s為0，意味著不需要持續(xù)施加控制能量，滿足實(shí)際工程應(yīng)用中的低能耗需求．

4 結(jié) 論

1) 兩自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)存在多吸引子共存的現(xiàn)象，初始條件的改變會(huì)使系統(tǒng)由小振幅吸引子遷移到大振幅吸引子上．

2) 優(yōu)化后的遷移控制方法能夠在任意初始條件下使系統(tǒng)最終穩(wěn)定在小振幅吸引子上，從而降低基座的振幅，提升隔振性能，并且該方法具有穩(wěn)定性強(qiáng)、能耗低的特點(diǎn)．