張笑宇，諸潔琪，陳伏虎

（中國船舶集團(tuán)有限公司第七一五研究所，浙江 杭州 310012）

0 引言

對于水聲設(shè)備的接收端來說，干擾信號是指對有用信號的接收、處理造成損傷的信號，如水聲對抗中的主動干擾信號（單頻干擾信號、線性調(diào)頻干擾信號等）、工頻干擾、特定頻率的振動噪聲等。因其多具有較強(qiáng)的周期性、特征性，故在信號處理過程中，對干擾信號進(jìn)行抑制的重要性不言而喻。對于時域信號中強(qiáng)干擾信號的抑制，較常用且快速的方法是對含有干擾信號的時域信號進(jìn)行傅里葉變換，在頻域?qū)Ω蓴_信號的頻點(diǎn)進(jìn)行剔除，最后進(jìn)行傅里葉逆變換，重建時域信號。此方法能有效地剔除干擾信號，但會帶來剔除頻點(diǎn)處信號信息丟失的問題，同時較難處理非單頻信號（如線性調(diào)頻信號）[1]。

針對以上問題，本文提出一種基于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的時域強(qiáng)干擾信號抑制方法，通過構(gòu)建信號矩陣并作SVD 處理，得到時域信號所對應(yīng)的奇異值。奇異值的大小反映時域信號不同分量的能量分布情況，較大的奇異值對應(yīng)能量較為集中的信號分量，即為強(qiáng)干擾信號。通過設(shè)置合適的門限，對奇異值進(jìn)行篩選，將干擾信號分量所對應(yīng)的奇異值進(jìn)行置零處理，最后進(jìn)行逆運(yùn)算，重建時域信號。仿真結(jié)果顯示，該方法對單頻信號、線譜信號及周期性信號的干擾具有較好的抑制效果[2]。

SVD 是線性代數(shù)中的經(jīng)典問題，在圖像降噪處理領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。相比于本身即為矩陣形式的圖像數(shù)據(jù)，水聲時域信號作為一維數(shù)據(jù)序列，在進(jìn)行SVD 處理前需要構(gòu)建時域信號所對應(yīng)的信號矩陣，因此，矩陣構(gòu)建規(guī)模、構(gòu)建方式等對強(qiáng)干擾信號的抑制效果以及數(shù)據(jù)計算量有著較大的影響。本文還將仿真計算不同構(gòu)建偏移量的情況下對應(yīng)的干擾抑制的結(jié)果，分析參數(shù)變化對強(qiáng)干擾信號抑制效果的影響。

1 SVD 干擾抑制算法

1.1 SVD 基本概念

奇異值分解（SVD）是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容。奇異值分解過程是線性代數(shù)中相似對角化分解（又稱特征值分解）（Eigen Value Decomposition，EVD）的延伸。相比于EVD，SVD能夠用于任意m×n矩陣，因此在實際應(yīng)用中的適用范圍更廣[3]。

對于任意m×n的實矩陣A（假定m＞n），秩為r(r≤n)，則存在n×n的正交矩陣V和m×m正交矩陣U，使得：

式中：Σ是m×n的非負(fù)對角陣，其表示如式（2）所示。

σ1,σ2,…,σr連同σr+1=…=σn=0稱為A的奇異值，U，V的列向量ui、vi分別是A的左、右奇異向量。式（1）可看作是用兩個正交矩陣分別對A作變換，變換的結(jié)果是得到奇異值矩陣Σ。該式的另一個等效表示是：

1.2 信號矩陣的構(gòu)建

將SVD 用于時域信號的干擾抑制，首先需要構(gòu)建信號矩陣。若信號矩陣是由有用信號和干擾信號共同組成的矩陣，那么信號矩陣的非零奇異值σ1,σ2,…,σi,…,σr可以反映信號和干擾能量集中的情況。較大的奇異值將主要反映強(qiáng)干擾信號，較小的奇異值則主要反映有用信號[4]。

設(shè)觀察到的信號是x(n)，x(n)=s(n)+u(n)，其中s(n)是有用的信號，u(n)是干擾信號。已知信號x(n)長度為N，即n=0,1,…N-1,偏移量為m，由x(n)可以構(gòu)建信號矩陣：

式中：k+lm=N-1。

當(dāng)偏移量m為1 時，信號矩陣簡化為Hankel 矩陣：

當(dāng)強(qiáng)干擾信號的先驗信息未知時，通常采取式（5）的構(gòu)建方法。由于信號矩陣SVD 后非零奇異值的個數(shù)等于信號矩陣的秩，故矩陣的列數(shù)k+1 和矩陣的行數(shù)l+1 應(yīng)盡可能相互接近。

當(dāng)偏移量m為k+1 時，信號矩陣的構(gòu)建可看作將時域信號數(shù)據(jù)序列均勻分段，每段長為k+1，共有l(wèi)+1 段，數(shù)據(jù)長度N=(k+1)(l+1)。

如果已知待抑制的干擾信號的準(zhǔn)周期性（如工頻干擾，固有振動噪聲等），那么式（6）的分段方法是可取的，此時分段長度k+1 應(yīng)盡量等于其周期長度，同時考慮信號矩陣的秩對奇異值個數(shù)的影響，信號矩陣的行數(shù)也應(yīng)盡可能地與列數(shù)接近。

構(gòu)建后，一維的時域數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換為二維的實矩陣。對信號矩陣作SVD，得到對應(yīng)的奇異值矩陣以及奇異向量矩陣：

1.3 奇異值篩選門限

奇異值矩陣Σ為非負(fù)對角矩陣，由式（2）可知，其子陣r×r方陣S的對角線上為信號矩陣的非零奇異值σ1,σ2,…,σr，其余矩陣元素為0。通過門限對非零奇異值進(jìn)行篩選，將大于門限的奇異值置零。篩選依信號特點(diǎn)而定，常規(guī)的篩選門限μ的計算方式有以下幾種。

（1）均值門限。取信號矩陣所有非零奇異值的均值。

（2）中值門限。將非零奇異值按從大到小的順序重排列，取信號矩陣所有非零奇異值的中值。

均值門限與中值門限在單次處理時域信號的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)較多，且強(qiáng)干擾信號與有用信號能量的數(shù)量級差別不大的情況下，會篩選掉過多的奇異值。雖然對強(qiáng)干擾的抑制效果明顯，但有用信號中能量相對集中的部分同樣被抑制，導(dǎo)致信號失真。

如果將SVD 應(yīng)用在時域信號降噪中，與強(qiáng)干擾抑制相反，較大的奇異值反映有用信號，較小的奇異值反映噪聲信號，則該類門限就能在無信號先驗信息的條件下有效抑制噪聲信號，同時使有用信號不失真[5]。

（3）固定門限。將非零奇異值重排列，從大至小選取固定數(shù)量i的奇異值，0 ＜i＜r。

該門限適用于已知強(qiáng)干擾信號在頻域中的頻點(diǎn)分布個數(shù)的情況（如工頻干擾信號、固有振動噪聲信號等）。i的取值需大于干擾所在的頻點(diǎn)個數(shù)的兩倍，但不宜取值過大，防止信號失真。

（4）倍數(shù)均值門限。在均值門限的基礎(chǔ)上乘以系數(shù)n(n＞0)。

倍數(shù)均值門限適用于對強(qiáng)干擾信號與有用信號間幅度大小的相對關(guān)系有一定先驗信息的情況。根據(jù)二者幅度比例，在系數(shù)n取值合理的情況下，該門限能在篩選干擾信號對應(yīng)奇異值的同時，降低對有用信號的影響，即準(zhǔn)確地區(qū)分強(qiáng)干擾信號與有用信號。

計算門限μ之后，將奇異值矩陣內(nèi)大于μ的奇異值作置零處理，即抑制強(qiáng)干擾信號的能量，得到新的奇異值矩陣，進(jìn)而得到新的信號矩陣

根據(jù)構(gòu)建原始信號矩陣時偏移量m的取值，將新的信號矩陣按構(gòu)建規(guī)則展開，還原得到抑制后的一維時域信號數(shù)據(jù)序列。

2 仿真結(jié)果

2.1 強(qiáng)干擾抑制效果

2.1.1 單頻/線譜干擾信號抑制

利用線譜信號模擬強(qiáng)干擾信號，疊加寬帶能量信號（模擬有用信號），線譜頻率為50 Hz，100 Hz，150 Hz，采樣率2.4 kHz，干信比為-5 dB。作SVD處理時信號矩陣為Hankel 矩陣，采用固定門限，i取6。干擾抑制前后的頻域?qū)Ρ热鐖D1 所示。

圖1 干擾抑制前后頻域?qū)Ρ?/p>

由頻域?qū)Ρ冉Y(jié)果可得，線譜干擾信號得到了有效的抑制，且有用信號的頻譜未發(fā)生改變。

2.1.2 周期性干擾信號抑制

利用周期性線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號模擬強(qiáng)干擾信號，疊加寬帶能量信號（模擬有用信號），LFM 信號脈寬0.05 s，周期0.1 s，帶寬1 kHz，采樣率10 kHz，干信比-5 dB。信號矩陣為均勻分段矩陣，采用倍數(shù)均值門限，干擾抑制前后的頻域?qū)Ρ热鐖D2 所示。

圖2 干擾抑制前后頻域?qū)Ρ?/p>

由頻域?qū)Ρ瓤傻?，周期性的LFM 干擾信號得到了有效的抑制，且有用信號的頻譜未發(fā)生改變。

2.2 信號矩陣構(gòu)建偏移量對抑制效果的影響分析

利用線譜信號模擬強(qiáng)干擾信號，疊加寬帶能量信號（模擬有用信號），線譜頻率為50 Hz，100 Hz，150 Hz，采樣率2.4 kHz，干信比為-5 dB。作SVD處理的信號矩陣的偏移量分別取1 和10，采用固定門限，將抑制后的時域信號與原始信號作差值，得到被抑制信號，并計算其頻譜。偏移量取1 和10時被抑制的信號的頻譜如圖3、圖4 所示。

圖3 偏移量為1 時被抑制的信號的頻譜

圖4 偏移量為10 時被抑制的信號的頻譜

由頻域?qū)Ρ瓤傻?，?dāng)構(gòu)建信號矩陣時的偏移量變大，被抑制的干擾信號出現(xiàn)了除線譜信號外的其他頻率分量，即有用信號受到了一定的干擾。但相比于偏移量為1 時，處理相同長度的時域信號，其信號矩陣規(guī)模為前者的1/10，計算所用時間將大幅度縮短。由于基于SVD 的干擾抑制算法矩陣運(yùn)算量較大，故在有用信號寬容度較高時（如只做能量），可適當(dāng)增加偏移量，縮短運(yùn)算時間。

3 結(jié)語

本文提出了基于SVD 的時域強(qiáng)干擾信號抑制方法，介紹了SVD 的基本概念以及基于SVD 的干擾抑制的基本原理，給出了將SVD 應(yīng)用于一維時域信號時不同信號矩陣及奇異值篩選門限的構(gòu)建、計算方法以及對應(yīng)的適用情況，對不同干擾信號形式的干擾抑制效果和信號矩陣偏移量對抑制效果的影響進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明，該方法對時域信號中含有的單頻信號、線譜信號及周期性信號的干擾具有較好的抑制效果。