鄒文斌，佟立麗，曹學(xué)武

基于最大熵原理的鈉液滴粒徑分布模型開發(fā)

鄒文斌，佟立麗*，曹學(xué)武

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240）

鈉霧火事故是快堆安全分析的重要對象之一，液鈉在系統(tǒng)壓差下向外界噴射所形成的液滴粒徑分布是影響鈉霧火事故危險(xiǎn)程度的關(guān)鍵因素之一。為預(yù)測鈉霧火事故中液滴粒徑的分布情況，基于最大熵原理，以質(zhì)量守恒方程作為主要約束條件，推導(dǎo)了鈉液滴粒徑分布的理論模型；為方便應(yīng)用，基于霧化燃料、液鈉開展的粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過擬合方法獲得了半經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，描述了鈉液滴粒徑分布與壓差間的關(guān)系。最后，通過與氬氣氣氛鈉噴射試驗(yàn)獲得的不同壓差下鈉液滴平均粒徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對，驗(yàn)證了該模型，且預(yù)測相對誤差可以控制在30%以內(nèi)。該模型也反映出伴隨壓差的增加，鈉液滴的平均粒徑逐漸減小。

鈉霧火；鈉液滴；粒徑分布；最大熵原理

當(dāng)鈉冷快堆回路中的液態(tài)鈉泄漏并與空氣接觸時(shí)，就會(huì)發(fā)生燃燒現(xiàn)象。燃燒最終不僅會(huì)產(chǎn)生大量氣溶膠，過程中迅速釋放的熱量也將對系統(tǒng)和設(shè)備造成嚴(yán)重的熱沖擊，可能導(dǎo)致設(shè)備的損壞[1,2]。因此，針對鈉冷快堆的鈉火事故評估是快堆安全評審最重要的部分之一，而闡明鈉火過程中的重要物理現(xiàn)象與規(guī)律，是開發(fā)快堆安全分析工具，并建立事故緩解及應(yīng)急對策的重要支撐，對進(jìn)一步研發(fā)鈉冷快堆有著直接而積極的意義。

霧狀鈉火作為鈉火事故中特征典型、后果最為嚴(yán)重的一種現(xiàn)象[3]，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。為了解霧狀鈉火的燃燒機(jī)理及后果，首先需研究鈉由回路中噴射釋放時(shí)所形成分散液滴的尺寸分布，該分布特征可為后續(xù)鈉霧火現(xiàn)象的進(jìn)一步發(fā)展提供確定的初始條件。早期，SPRAY軟件采用對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述鈉液滴在泄漏后的粒徑分布，但通過與Atomics International Jet Test No.4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對后發(fā)現(xiàn)，該分布不能較好地反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果[4]。隨后，布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室的Tsai等人采用Nukiyama-Tanasama關(guān)聯(lián)式開發(fā)了NACOM軟件用以計(jì)算鈉霧火現(xiàn)象，并一度獲得了改良后的計(jì)算結(jié)果[4,5]。2017年，中國原子能院自主建立了鈉霧火實(shí)驗(yàn)裝置[3]，并開展了不同噴口壓差作用下的鈉液滴分布實(shí)驗(yàn)及鈉霧火燃燒實(shí)驗(yàn)，并采用NACOM軟件進(jìn)行了試算，試算結(jié)果反映出NACOM分析程序不能很好地模擬鈉噴射期間的壓力變化及鈉噴射結(jié)束后的溫度變化，這可能由于反映鈉液滴粒徑分布的Nukiyama-Tanasama關(guān)聯(lián)式不能適用于不同壓差作用的結(jié)果。由此，需要針對鈉液滴在發(fā)生泄漏時(shí)的粒徑分布過程建立新的關(guān)系式，考慮壓差作用的影響，以便對開發(fā)鈉霧火安全分析程序提供經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的理論模型。

最大熵原理最早是由Jaynes在1957年提出，常用于求解滿足一系列約束條件下，某體系中各物理量的最概然分布問題[6]。因此，很多學(xué)者采用此方法對能源領(lǐng)域的燃油燃燒問題開展了初步探索[7,8]。曹建明[9]曾基于最大熵原理獲得了以質(zhì)量、動(dòng)量和能量方程為主要約束條件的柴油噴霧燃燒模型解的形式，但由于求解矩陣中涉及復(fù)雜的高非線性一重積分項(xiàng)，解析解無法獲得。之后，其進(jìn)一步化簡了該過程，抓住了初始動(dòng)量的主要影響，以單一動(dòng)量方程作為主要約束條件，得到了噴霧液滴尺寸和速度聯(lián)合分布函數(shù)，并編寫了KIVA-Ⅱ程序進(jìn)行數(shù)值求解[10]。由于作者并未對模型開展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，其對于不同系統(tǒng)壓差作用下的響應(yīng)情況不得而知。本文主要針對鈉霧火現(xiàn)象中的液滴分布問題，基于最大熵原理及其模型推導(dǎo)邏輯，以質(zhì)量守恒方程作為主要約束條件，建立反映鈉液滴分布和系統(tǒng)內(nèi)外壓差間的數(shù)學(xué)模型，并采用國內(nèi)外典型鈉液滴分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)開展驗(yàn)證，研究成果可為我國自主研發(fā)鈉火安全分析程序提供模型基礎(chǔ)。

1　鈉霧火液滴粒徑分布模型的建立

1.1　約束條件的確定

信息熵采用公式形式表達(dá)如下：

式中：

——常數(shù)；

k——某泄漏鈉液滴直徑下液滴的數(shù)目概率。

當(dāng)此系統(tǒng)內(nèi)全部約束條件被滿足且信息熵取極大值時(shí)，最概然事件發(fā)生，即取得了發(fā)生概率最大的鈉液滴粒徑分布函數(shù)，存在公式（2）：

由系統(tǒng)內(nèi)鈉液滴質(zhì)量守恒，得公式（3）：

式中：

考慮鈉液滴為不可壓縮流體，則式（3）可轉(zhuǎn)換為式（4）

式中：

由于各種情況下，數(shù)目概率總和為1，即公式（5）：

1.2　控制方程的求解

針對以上3個(gè)基本約束條件，采用拉格朗

日因子法，得到函數(shù)如公式（6）：

令：

則：

將式（8）代入式（5），

即：

將式（8）代入式（4），

即：

假設(shè)由回路系統(tǒng)破口噴出的鈉液滴霧化粒子粒徑符合連續(xù)性分布，則由式（11）可得式（13），

求解得式（14）：

同理，由式（12）可得式（15）：

將式（14）代入式（15）并積分可得，

式中：

——尺寸為的鈉液滴的數(shù)量百分?jǐn)?shù)；

d/d——直徑為的鈉液滴的概率密度函數(shù)。

考慮在破口處鈉回路系統(tǒng)與外界環(huán)境間存在壓差驅(qū)動(dòng)，假設(shè)噴出后鈉液滴的最小直徑為0，最大直徑為cr，由臨界數(shù)確定，可以表示為式（18）。

則簡化（14）后可得，

將式（19）代入式（17），

1.3　經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的擬合

式（20）可以簡化表示為式（21）

即通過鈉霧火粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定經(jīng)驗(yàn)系數(shù)與后，即能快速建立粒徑分布的理論分析模型。進(jìn)一步，對式（21）進(jìn)行對數(shù)處理，可以獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)需擬合的數(shù)學(xué)表達(dá)式形式，如式（22）。

南京理工大學(xué)針對HAN基液體模擬工質(zhì)，曾分別開展了壓差為1.8 MPa、2.2 MPa及2.6 MPa下噴霧液滴粒徑的分布實(shí)驗(yàn)[6]，采用公式（22）對其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖 1所示。

圖1　HAN基液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

系統(tǒng)內(nèi)外壓差為1.8 MPa、2.2 MPa及2.6 MPa下，理論模型的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)分別如式（23）～式（25）所示?？梢?，該經(jīng)驗(yàn)系數(shù)與系統(tǒng)壓差存在關(guān)聯(lián)。

中國原子能院曾開展鈉霧火實(shí)驗(yàn)，并在第一階段的研究中，開展了不同壓差作用下的鈉液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)[11]，下面針對鈉液滴溫度為250 ℃，壓差為0.15 MPa的液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖2所示，確定的待定系數(shù)如式（26）所示。

意大利曾開展LISOF實(shí)驗(yàn)以研究鈉冷快堆小破口下的液滴泄漏現(xiàn)象[12]，針對壓差為6 bar（g）工況下的可視化鈉液滴分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖3所示，確定的待定系數(shù)如式（27）所示。

圖3　鈉液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

日本Hiroyasu等曾開展噴霧試驗(yàn)將柴油噴入定容室內(nèi)處于室溫與高壓下的靜態(tài)空氣中，其噴射壓力9.9 MPa，環(huán)境壓力為1.1 MPa。所獲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖4所示，確定的待定系數(shù)如式（28）所示。

1.4　經(jīng)驗(yàn)系數(shù)與壓差間的關(guān)系

圖4　輕質(zhì)柴油粒徑分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖6　經(jīng)驗(yàn)系數(shù)b的擬合結(jié)果

2　鈉霧火液滴粒徑分布模型的驗(yàn)證

中國原子能院除開展了壓差為0.15 MPa下鈉液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)外，為研究250 ℃鈉液滴粒徑平均直徑與噴嘴壓差的關(guān)系，還分別開展了壓差為0.10 MPa及0.05 MPa的實(shí)驗(yàn)[11]，并得到伴隨噴嘴壓差的增加，鈉液滴的平均直徑逐漸減小的結(jié)論。下面采用本文所建立的粒徑分布模型進(jìn)行模擬計(jì)算，結(jié)果如圖7所示。可見，伴隨噴嘴壓差的增加，鈉液滴粒徑的中位數(shù)逐漸減小，峰值粒徑的出現(xiàn)概率逐漸增加，與實(shí)驗(yàn)結(jié)論相一致。

圖7　不同壓差下鈉液滴的粒徑分布

表1　不同壓差下鈉液滴平均粒徑的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比較

3　總結(jié)

本文基于鈉霧火事故中在系統(tǒng)內(nèi)外壓差作用下形成的鈉噴射霧化現(xiàn)象和最大熵原理建立了以質(zhì)量守恒方程為主要約束條件的鈉液滴粒徑分布模型，通過理論推導(dǎo)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，主要得到以下結(jié)論。

（1）該半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢苑从巢煌瑝翰钕碌拟c液滴粒徑分布情況；

（2）該模型經(jīng)過了鈉液滴粒徑分布實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，預(yù)測算數(shù)平均粒徑的相對誤差可以控制在30%以內(nèi)；

（3）該模型反映出伴隨壓差的增加，鈉液滴的平均粒徑逐漸減小。

本研究可為我國自主研發(fā)鈉火安全分析程序提供模型基礎(chǔ)。

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Model Development of Sodium Drop Size Distribution Based on Maximum Entropy Principle

ZOU Wenbin，TONG Lili*，CAO Xuewu

（School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

The sodium spray fire accident is one of the important objects of fast reactor safety analysis，in which，the drop size distribution formed by injection of molten sodium outward under the pressure drop of the system is one of the key factors affecting the risk level of sodium spary fire accident. In order to predict the drop size distribution during sodium spray fire accident，the sodium drop size distribution model is theoretically derived，with mass equation being treated as the main constraint，based on the maximum entropy principle. Moreover，a semi-empirical formula is obtained by fitting method for convenient application，based on experimental data on the drop size distribution of the atomized fuel and molten sodium，which presents the relation between size distribution and pressure drop. Finally，validations are conducted against experimental data on mean size of sodium drops under different pressure drop obtained from China Institute of Atomic Energy，with relative error being controlled less than 30%. The present model also demonstrates that the mean size of sodium drops decrease with the increase of the pressure drop.

Sodium spray fire；Sodium drop；Drop size distribution；Maximum entropy principle

TL364

A

0258-0918（2022）02-0477-07

2021-03-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（U1967202）

鄒文斌（1998—），男，山東煙臺(tái)人，博士研究生，現(xiàn)從事核能科學(xué)與工程方面研究

佟立麗，E-mail：lltong@sjtu.edu.cn