尤文佳，王慧杰,，韓仁坤，陳剛,*

1.西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049

2.西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 陜西省先進(jìn)飛行器服役環(huán)境與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049

3.中國(guó)航天科工集團(tuán)第三研究院 創(chuàng)新研究院，北京 100074

0 引 言

高超聲速飛行器具有高速度、強(qiáng)機(jī)動(dòng)、超遠(yuǎn)程等特點(diǎn)，是當(dāng)今世界航空航天強(qiáng)國(guó)研究的熱點(diǎn)。由于高超聲速飛行器在大氣層內(nèi)飛行時(shí)間長(zhǎng)，飛行器氣動(dòng)力/熱環(huán)境等非常嚴(yán)酷，給氣動(dòng)研究帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)。風(fēng)洞試驗(yàn)在氣動(dòng)研究中發(fā)揮著重要的作用，在飛行器從初步設(shè)計(jì)到機(jī)型選擇、定型、研制的各個(gè)階段，總體、結(jié)構(gòu)和控制等設(shè)計(jì)都需要大量的風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)提供支持。隨著我國(guó)國(guó)防事業(yè)的發(fā)展，飛行器設(shè)計(jì)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)要求不斷提高，這意味著對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)技術(shù)也有了更高的要求。對(duì)于風(fēng)洞試驗(yàn)技術(shù)的研究，應(yīng)朝著高精準(zhǔn)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)、低成本和短周期等方向發(fā)展。

目前，傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)（OneFactoratATime，OFAT）方法是風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)采取的主要方法，即每次試驗(yàn)中只有一個(gè)變量（如迎角）發(fā)生變化，其他變量保持不變，獲取響應(yīng)變量（如氣動(dòng)系數(shù)）的結(jié)果，進(jìn)而得到響應(yīng)變量的變化規(guī)律。該方法作為一種基于大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法，需要進(jìn)行大量的風(fēng)洞試驗(yàn)。

近年來(lái)，現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Modern DesignofExperiments，MDOE）方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，在大型設(shè)備、工況復(fù)雜、耗能高等試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中取得了良好的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益。MDOE 方法結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等設(shè)計(jì)試驗(yàn)，通過(guò)少量的試驗(yàn)即可得到更優(yōu)的試驗(yàn)結(jié)果、建立精度較高的模型。MDOE 方法的目的已經(jīng)不是簡(jiǎn)單地獲取大量“數(shù)據(jù)”，而是獲取數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的“知識(shí)”。

1997年，美國(guó)航空航天局 （NASA） 蘭利研究中心首次提出使用MDOE 方法取代傳統(tǒng)的OFAT 方法，目前已經(jīng)成功應(yīng)用于多項(xiàng)型號(hào)風(fēng)洞試驗(yàn)。2011年，DeLoach 等開(kāi)展了以導(dǎo)彈為研究對(duì)象的MDOE 方法應(yīng)用研究，并與傳統(tǒng)的OFAT 方法對(duì)比，將試驗(yàn)次數(shù)減少了80%。近些年，國(guó)內(nèi)針對(duì)MDOE 方法在風(fēng)洞試驗(yàn)中的應(yīng)用展開(kāi)了研究，但仍比較欠缺。李國(guó)帥等采用區(qū)組化的回歸方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)并獲取數(shù)據(jù)，建立了二階響應(yīng)面模型，使樣本點(diǎn)減少了80%左右。張江等采用IV–最優(yōu)設(shè)計(jì)獲取樣本點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，使樣本點(diǎn)減少了46%，并發(fā)現(xiàn)MDOE 方法與OFAT 方法獲得的氣動(dòng)系數(shù)相差不大。張江等隨后又開(kāi)展了MDOE 形式的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法研究，運(yùn)用空間填充設(shè)計(jì)（而非以往的經(jīng)典試驗(yàn)設(shè)計(jì)）可使試驗(yàn)樣本點(diǎn)減少33.3%。李多等將MDOE 方法應(yīng)用于2.4 m 跨聲速風(fēng)洞試驗(yàn)，采用分區(qū)間的中心復(fù)合設(shè)計(jì)，所需樣本點(diǎn)僅為OFAT 方法的20%左右。

在國(guó)內(nèi)外公開(kāi)發(fā)表的研究中，MDOE 方法主要應(yīng)用于二變量（如迎角+側(cè)滑角）試驗(yàn)，對(duì)三及三以上變量（如迎角+側(cè)滑角+舵偏角）的風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)還較少。在實(shí)際工程應(yīng)用中，不同舵偏角情況下的三及三以上變量的風(fēng)洞試驗(yàn)大量存在，但很多風(fēng)洞模型在改變舵偏角時(shí)難以做到像二變量試驗(yàn)中改變迎角和側(cè)滑角那樣全自動(dòng)化。因此，在現(xiàn)有風(fēng)洞控制系統(tǒng)下，采用OFAT 方法的三及三以上變量試驗(yàn)的效率會(huì)更低。對(duì)于不具備自動(dòng)調(diào)節(jié)舵偏角的風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ投裕m用于三及三以上變量試驗(yàn)的MDOE 方法就顯得尤為重要。

大部分二變量試驗(yàn)設(shè)計(jì)采用經(jīng)典拉丁超立方方法，樣本點(diǎn)在二維各方向上都隨機(jī)分布。雖然該方法的樣本點(diǎn)數(shù)量比OFAT 方法明顯減少，但現(xiàn)有風(fēng)洞控制系統(tǒng)迎角和側(cè)滑角可以連續(xù)變化，因此理論上該方法不會(huì)大幅度提高試驗(yàn)效率。同樣，在三變量試驗(yàn)中，樣本點(diǎn)在三維各方向上隨機(jī)分布，在不具備自動(dòng)調(diào)節(jié)舵偏角的風(fēng)洞模型中，加大了試驗(yàn)走刀順序的不便性。因此，在經(jīng)典拉丁超立方方法基礎(chǔ)上，發(fā)展一種能夠盡量結(jié)合現(xiàn)有風(fēng)洞控制系統(tǒng)特點(diǎn)，又能顯著提高實(shí)際試驗(yàn)效率的MDOE 方法具有重要意義。

針對(duì)當(dāng)前多變量風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)面臨的問(wèn)題，本文發(fā)展一種基于分層拉丁超立方的現(xiàn)代風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，并將該方法運(yùn)用于高超聲速風(fēng)洞（馬赫數(shù)6）試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，從風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)中獲得氣動(dòng)數(shù)據(jù)結(jié)果，并對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 MDOE 方法

本節(jié)主要介紹MDOE 方法涉及的相關(guān)理論，包括確定樣本點(diǎn)的分布及數(shù)量、構(gòu)建響應(yīng)模型。

試驗(yàn)選擇迎角、側(cè)滑角和舵偏角作為設(shè)計(jì)變量，氣動(dòng)系數(shù)作為因變量。為避免數(shù)學(xué)模型中出現(xiàn)高階項(xiàng)，引入分區(qū)間設(shè)計(jì)技術(shù)，將迎角區(qū)間劃分為小迎角區(qū)間和大迎角區(qū)間，分別進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

1.1 確定樣本點(diǎn)

目前，拉丁超立方設(shè)計(jì)（Latin Hypercube Sampling，LHS）是MDOE 研究中采用的方法之一，屬于空間填充設(shè)計(jì)，在解決非線性問(wèn)題時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)，多適用于設(shè)計(jì)變量維度較高的情況，可使試驗(yàn)次數(shù)明顯減少，試驗(yàn)次數(shù)與設(shè)計(jì)變量的水平數(shù)相同。

拉丁超立方設(shè)計(jì)將每個(gè)設(shè)計(jì)變量的定義域區(qū)間劃分成個(gè)相等的小區(qū)間，共有個(gè)設(shè)計(jì)變量，這樣整個(gè)數(shù)據(jù)空間被分成q個(gè)相同的小區(qū)域，最后選取個(gè)樣本點(diǎn)。

選取樣本點(diǎn)時(shí)，需遵循2 個(gè)原則：1）在每個(gè)小區(qū)域中，進(jìn)行隨機(jī)采樣；2）在每一維變量上的每個(gè)小區(qū)間上只產(chǎn)生一個(gè)樣本點(diǎn)，即樣本點(diǎn)投影在每一維變量的方向上有個(gè)樣本點(diǎn)。

對(duì)于多變量風(fēng)洞試驗(yàn)，直接采用經(jīng)典拉丁超立方設(shè)計(jì)的效果并不理想，實(shí)際操作中也不便于風(fēng)洞試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)采集。因此，本文在經(jīng)典拉丁超立方設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，提出了分層拉丁超立方設(shè)計(jì)方法。

分層拉丁超立方設(shè)計(jì)是指先將分層變量在其一維方向的定義域內(nèi)均勻分層，假設(shè)均勻分為層，即有個(gè)水平值；再將剩余的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行拉丁超立方設(shè)計(jì)，將定義域區(qū)間劃分成（一般）個(gè)相等的小區(qū)間。在樣本點(diǎn)的分布上，分層拉丁超立方設(shè)計(jì)與經(jīng)典拉丁超立方設(shè)計(jì)的不同點(diǎn)在于：樣本點(diǎn)投影在分層變量的方向上有個(gè)樣本點(diǎn)，都在其水平值上；除分層變量外，樣本點(diǎn)投影在其他每一維變量的方向上都有個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)都在其劃分的小區(qū)間內(nèi)。樣本點(diǎn)數(shù)量與除分層變量外的其他變量水平數(shù)相同，即個(gè)樣本點(diǎn)。例如，二變量試驗(yàn)中取迎角和側(cè)滑角為設(shè)計(jì)變量時(shí)，選用迎角方向進(jìn)行均勻分層，在側(cè)滑角方向進(jìn)行拉丁超立方設(shè)計(jì)；三變量試驗(yàn)中取迎角、側(cè)滑角和舵偏角為設(shè)計(jì)變量時(shí)，選舵偏角方向進(jìn)行均勻分層，在其他2 個(gè)方向進(jìn)行拉丁超立方設(shè)計(jì)。

采用分層拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，可得到迎角、側(cè)滑角以及舵偏角組合狀態(tài)下的樣本點(diǎn)。分層拉丁超立方設(shè)計(jì)相比于經(jīng)典拉丁超立方設(shè)計(jì)，可減少試驗(yàn)車次，提高試驗(yàn)效率，縮短試驗(yàn)周期。

1.2 樣本點(diǎn)數(shù)量

響應(yīng)面模型的階次和試驗(yàn)精度決定了樣本點(diǎn)的數(shù)量。在每個(gè)子迎角區(qū)間中，構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面模型所需要的樣本點(diǎn)數(shù)量不能少于此多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，最小樣本點(diǎn)數(shù)量通過(guò)下式計(jì)算：

式中，為 多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)，為多項(xiàng)式階次，為多項(xiàng)式元數(shù)。

在二和三變量試驗(yàn)中，均采用三階多項(xiàng)式模型：=2，=3，=10，最小數(shù)據(jù)量為10；=3，=3，=20，最小數(shù)據(jù)量為20。由于多項(xiàng)式響應(yīng)面模型中存在對(duì)模型精度影響較大的點(diǎn)，這些點(diǎn)會(huì)引起“杠桿效應(yīng)”，放大整個(gè)模型的誤差，因此有必要增加一定量的重復(fù)點(diǎn)改善杠桿效應(yīng)。為保證響應(yīng)面預(yù)測(cè)值在平均95%置信概率水平下與設(shè)計(jì)空間中任一點(diǎn)的真實(shí)結(jié)果不出現(xiàn)顯著差異，樣本點(diǎn)數(shù)量需要滿足：

在本文涉及的試驗(yàn)中，一個(gè)二維子數(shù)據(jù)空間只要達(dá)到17 個(gè)（=162510=1625）、一個(gè)三維子數(shù)據(jù)空間只要達(dá)到33 個(gè)（=162520=325）便可以使預(yù)測(cè)值落在95%置信區(qū)間內(nèi)。在下文的二變量試驗(yàn)中，MDOE 方法的樣本點(diǎn)為17 個(gè)；三變量試驗(yàn)中， MDOE 方法的樣本點(diǎn)在舵偏角方向取5 層，每層17 個(gè)，共85 個(gè)。

為了進(jìn)行MDOE 方法與OFAT 方法結(jié)果的對(duì)比，表1中給出了二變量試驗(yàn)中OFAT 方法所取的變量及水平值，小迎角區(qū)間取91 個(gè)點(diǎn)，大迎角區(qū)間取84 個(gè)點(diǎn)，是MDOE 方法的5 倍左右。

表1 二變量試驗(yàn)中OFAT 方法所取的變量及水平值Table 1 Variables and level values taken by OFAT method in the two-variable test

表2中給出了三變量試驗(yàn)中OFAT 方法所取的變量以及水平值。小迎角區(qū)間取245 個(gè)點(diǎn)，大迎角區(qū)間取294 個(gè)點(diǎn)，是MDOE 方法的3～4 倍左右。

表2 三變量試驗(yàn)中OFAT 方法所取的變量及水平值Table 2 Variables and level values taken by OFAT method in the three-variable test

1.3 響應(yīng)面模型

多項(xiàng)式響應(yīng)面模型在MDOE 方法中應(yīng)用廣泛，具有建模容易、計(jì)算量較小、預(yù)測(cè)較準(zhǔn)的優(yōu)點(diǎn)，可運(yùn)用于工程試驗(yàn)設(shè)計(jì)的近似處理。本文的二變量試驗(yàn)和三變量試驗(yàn)均采用三階模型，避免了高階多項(xiàng)式表達(dá)式復(fù)雜、求解困難等問(wèn)題。三階模型的表達(dá)式為：

式中：為設(shè)計(jì)變量的響應(yīng)函數(shù)，、c、c、c、c、c、c為多項(xiàng)式的待定系數(shù)，x表示第個(gè)自變量，表示變量個(gè)數(shù)。

2 分層拉丁超立方設(shè)計(jì)準(zhǔn)則研究

拉丁超立方設(shè)計(jì)過(guò)程中會(huì)在每個(gè)小空間隨機(jī)采樣，容易出現(xiàn)分布不均勻的情況。為減少這種情況的發(fā)生，通常添加最大化最小距離、最小化最大距離、最小差異、相對(duì)理想累積分布最小均方根差異和相對(duì)理想累積分布最小最大差異這5 種準(zhǔn)則促進(jìn)其均勻性。最大化最小距離準(zhǔn)則是使各樣本點(diǎn)之間的最小距離最大化，最小化最大距離準(zhǔn)則是使各樣本點(diǎn)之間的最大距離最小化，最小差異準(zhǔn)則是使偏離平均點(diǎn)密度的偏差最小化，相對(duì)理想累積分布最小均方根差異準(zhǔn)則是使累積分布函數(shù)的均方差最小，相對(duì)理想累積分布最小最大差異準(zhǔn)則是使累積分布函數(shù)的最大方差最小化。本節(jié)研究基于以上5 種準(zhǔn)則的分層拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，對(duì)比各準(zhǔn)則效果。

一般情況下，針對(duì)橫向氣動(dòng)系數(shù)的響應(yīng)面模型的非線性程度較強(qiáng)。若樣本點(diǎn)可以保證構(gòu)建橫向氣動(dòng)系數(shù)響應(yīng)面模型，那么縱向一般也能保證。在小迎角區(qū)間（–2°～10°）開(kāi)展基于不同準(zhǔn)則的分層拉丁超立方方法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，并構(gòu)建滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)C的響應(yīng)面模型，進(jìn)行95%置信區(qū)間分析，結(jié)果如圖1～5 所示。對(duì)于圖1～5：圖（a）中不同準(zhǔn)則下的樣本點(diǎn)為17 個(gè)，紅色代表了重復(fù)點(diǎn)（共5 個(gè)）；圖（b）中的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)響應(yīng)面模型均為三階模型；為了驗(yàn)證模型的有效性，在每個(gè)子區(qū)間選取=0 和=4時(shí)的6 或7 個(gè)OFAT 試驗(yàn)點(diǎn)，驗(yàn)證其是否可以落在擬合曲線的95%置信區(qū)間內(nèi)，從圖（c）和圖（d）中可以看出，檢驗(yàn)點(diǎn)均落在了置信區(qū)間內(nèi)。置信區(qū)間的帶寬是整體均方根誤差平均值的2 倍。

圖1 最大化最小距離準(zhǔn)則的分層LHS 設(shè)計(jì)Fig.1 Stratified LHS design of maximum and minimum distance

圖2 最小化最大距離準(zhǔn)則的分層LHS 設(shè)計(jì)Fig.2 Stratified LHS design of minimum and maximum distance

圖3 最小差異準(zhǔn)則的分層LHS 設(shè)計(jì)Fig.3 Stratified LHS design of minimize discrepancy

表3中給出了不同方法的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)響應(yīng)面均方誤差、整體均方根誤差和判定系數(shù)。整體均方根誤差越小，判定系數(shù)越接近1，表明多項(xiàng)式模型的擬合效果越好。根據(jù)表3中的整體均方根誤差以及判定系數(shù)可知，基于最大化最小距離準(zhǔn)則的分層拉丁超立方設(shè)計(jì)效果最好。因此，在本文的應(yīng)用示例中，采用最大化最小距離準(zhǔn)則的分層拉丁超立方設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。

表3 不同準(zhǔn)則下的響應(yīng)面檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Response surface test results of different criteria

圖4 相對(duì)理想累積分布最小均方根差異準(zhǔn)則的分層LHS 設(shè)計(jì)Fig.4 Stratified LHS design to minimize RMS variation from cumulative distribution function

圖5 相對(duì)理想累積分布最小最大差異準(zhǔn)則的分層LHS 設(shè)計(jì)Fig.5 Stratified LHS design to minimize maximum variation from cumulative distribution function

3 二變量風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)驗(yàn)證

本節(jié)將基于最大化最小距離準(zhǔn)則的分層拉丁超立方方法應(yīng)用于二變量風(fēng)洞試驗(yàn)，驗(yàn)證分層拉丁超立方風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的可行性和有效性。采用某標(biāo)準(zhǔn)高超聲速模型（舵偏角2.5°）在馬赫數(shù)6 風(fēng)洞中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)方法驗(yàn)證，設(shè)計(jì)變量為迎角、側(cè)滑角。

3.1 小迎角區(qū)間

變量取值：迎角=2～10；側(cè)滑角=6～6。

因變量為縱向氣動(dòng)系數(shù)，包含升力系數(shù)C、阻力系數(shù)C和俯仰力矩系數(shù)C。在多項(xiàng)式響應(yīng)面模型中，采取逐步回歸的方法簡(jiǎn)化模型。圖6（a）給出了樣本點(diǎn)分布，數(shù)量為17 個(gè)，紅色為重復(fù)點(diǎn)（共5 個(gè)）。從圖6（b）中可以明顯看出升力系數(shù)基本不受側(cè)滑角的影響；迎角為主要影響因素，在迎角2°～ 8°之間升力系數(shù)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。圖6（c）中阻力系數(shù)隨迎角的增大而增大。在圖6（d）中，迎角越大，側(cè)滑角越小，俯仰力矩系數(shù)越大。這體現(xiàn)了MDOE 方法的優(yōu)勢(shì)：可分析多變量對(duì)氣動(dòng)系數(shù)的影響。

圖6 小迎角區(qū)間二變量試驗(yàn)的樣本點(diǎn)分布及各縱向氣動(dòng)系數(shù)的響應(yīng)面Fig.6 Sample point and response surface of each longitudinal aerodynamic coefficient for the two-variable test in small angle of attack

表4中給出了采用逐步回歸方法確定的小迎角區(qū)間各縱向氣動(dòng)系數(shù)的響應(yīng)面模型應(yīng)含有的項(xiàng)，剔除了一些影響因素較小的不顯著項(xiàng)。

表4 小迎角區(qū)間響應(yīng)面多項(xiàng)式的構(gòu)成Table 4 The formation of polynomials of response surface in small angle of attack interval

3.2 大迎角區(qū)間

大迎角區(qū)間僅迎角取值范圍（= 10～25）與小迎角區(qū)間不同，側(cè)滑角取值范圍、因變量和樣本點(diǎn)數(shù)量等都與小迎角區(qū)間相同。

圖7（a）為大迎角區(qū)間的樣本點(diǎn)分布；從圖7（b）中可以明顯看出，升力系數(shù)不受側(cè)滑角的影響，迎角為主要影響因素，升力系數(shù)隨迎角的增大而增大；在圖7（c）中，迎角越小，側(cè)滑角越大，阻力系數(shù)越?。辉趫D7（d）中，迎角越大，側(cè)滑角越小，俯仰力矩系數(shù)越大。

圖7 大迎角區(qū)間二變量試驗(yàn)的樣本點(diǎn)分布及各縱向氣動(dòng)系數(shù)的響應(yīng)面Fig.7 Sample point and response surface of each longitudinal aerodynamic coefficient for the two-variable test in big angle of attack

表5中同樣給出了采用逐步回歸方法確定的大迎角區(qū)間各縱向氣動(dòng)系數(shù)的響應(yīng)面模型應(yīng)含有的項(xiàng)，即主要影響因素的構(gòu)成。

表5 大迎角區(qū)間響應(yīng)面多項(xiàng)式的構(gòu)成Table 5 The formation of polynomials of response surface in big angle of attack interval

3.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性，在側(cè)滑角=0的截面上截取剖面線，選取6 個(gè)OFAT 試驗(yàn)點(diǎn)檢驗(yàn)其是否落在95%置信區(qū)間內(nèi)，置信區(qū)間的帶寬與第2 節(jié)中的計(jì)算方法一樣，結(jié)果如圖8所示。在小迎角區(qū)間中，升力系數(shù)基本都能落在置信區(qū)間內(nèi)，在阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)置信區(qū)間中，非線性強(qiáng)的區(qū)域（如迎角為2°時(shí)）升力系數(shù)落在置信區(qū)間上下限附近；在大迎角區(qū)間中，置信區(qū)間帶寬較窄，檢驗(yàn)點(diǎn)基本都能夠落在上下限附近，說(shuō)明響應(yīng)面模型滿足精度。

圖8 各縱向氣動(dòng)系數(shù)的置信區(qū)間Fig.8 Confidence intervals of longitudinal aerodynamic coefficients

4 三變量風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)驗(yàn)證

本節(jié)采用某標(biāo)準(zhǔn)高超聲速模型在馬赫數(shù)6 風(fēng)洞中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比不同三變量風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在大、小迎角區(qū)間的風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，再將三變量分層拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)所得模型指定剖面預(yù)測(cè)值與二變量試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證所發(fā)展的三變量分層拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)的有效性。

4.1 小迎角區(qū)間

變量取值：迎角=2～10；側(cè)滑角=6～6；舵偏角=75～75。

因變量為縱向氣動(dòng)系數(shù)，包含升力系數(shù)C、阻力系數(shù)C和俯仰力矩系數(shù)C。下面僅以俯仰力矩系數(shù)為例展示。分層拉丁超立方設(shè)計(jì)方法的樣本點(diǎn)在舵偏角方向每層取為17 個(gè)（含5 個(gè)重復(fù)點(diǎn)），共5 層、85 個(gè)點(diǎn)，如圖9（a）所示，紅色為重復(fù)點(diǎn)。為更好地反映出多變量間復(fù)雜的耦合關(guān)系，采用3 個(gè)設(shè)計(jì)變量?jī)蓛神詈系姆绞浇o出響應(yīng)面圖，將OFAT 方法獲得的數(shù)據(jù)構(gòu)建的標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)面與拉丁超立方設(shè)計(jì)的響應(yīng)面、分層拉丁超立方設(shè)計(jì)的響應(yīng)面進(jìn)行對(duì)比，其中拉丁超立方設(shè)計(jì)方法也是取85 個(gè)點(diǎn)。 在俯仰力矩系數(shù)的響應(yīng)面中，圖9（b）中的LHS 響應(yīng)面比分層LHS 響應(yīng)面的誤差更大；在圖9（c）中的邊界處，分層LHS 設(shè)計(jì)的響應(yīng)面優(yōu)于LHS 設(shè)計(jì)的效果；在圖9（d）中，各方法吻合度較高，區(qū)別不明顯。

圖9 小迎角區(qū)間三變量試驗(yàn)俯仰力矩系數(shù)樣本點(diǎn)分布及響應(yīng)面Fig.9 Sample point and response surface of pitching moment coefficient for the three-variable test in small angle of attack

小迎角區(qū)間中，采用拉丁超立方方法時(shí)的整體均方根誤差為0.014 8，而分層拉丁超立方方法的整體均方根誤差為0.012 6。整體均方根誤差越小，擬合精度越好，因此，分層拉丁超立方方法的擬合精度比拉丁超立方方法有一定的改善。

4.2 大迎角區(qū)間

大迎角區(qū)間僅迎角取值范圍（= 10～25）與小迎角區(qū)間不同，側(cè)滑角取值范圍、舵偏角取值范圍、因變量和樣本點(diǎn)數(shù)量等都與小迎角區(qū)間相同。

圖10（a）為大迎角區(qū)間三變量試驗(yàn)樣本點(diǎn)分布。大迎角區(qū)間的俯仰力矩系數(shù)響應(yīng)面如圖10（b）～（d）所示。在圖10（b）的迎角剖面中，LHS 設(shè)計(jì)和分層LHS 設(shè)計(jì)的響應(yīng)面與標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)面相比，在邊界和邊角處誤差較大，中部區(qū)域擬合相對(duì)較好。在圖10（c）和（d）的側(cè)滑角剖面和舵偏角剖面中，3 種方法的效果相差不大，吻合度高。

圖10 大迎角區(qū)間三變量試驗(yàn)俯仰力矩系數(shù)樣本點(diǎn)分布及響應(yīng)面Fig.10 Sample point and response surface of pitching moment coefficient for the three-variable test in big angle of attack

大迎角區(qū)間中，采用拉丁超立方方法時(shí)的整體均方根誤差為0.007 5，而分層拉丁超立方方法的整體均方根誤差為0.006 3。因此，分層拉丁超立方方法的擬合精度相比拉丁超立方方法有一定的改善。

4.3 三變量試驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)精度驗(yàn)證

為驗(yàn)證三變量試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度，在三變量試驗(yàn)獲得的氣動(dòng)數(shù)據(jù)模型中，選取=25時(shí)的舵偏角剖面與第3 節(jié)中二變量試驗(yàn)所得的響應(yīng)面進(jìn)行相同變量條件下的縱向氣動(dòng)系數(shù)對(duì)比，如圖11 所示。圖中的結(jié)果總體吻合度較好，在邊界處（非線性強(qiáng)的區(qū)域）以及邊角處存在偏差。例如在圖11（a）小迎角區(qū)間的升力系數(shù)響應(yīng)面中，在側(cè)滑角小于–5°時(shí)（非線性強(qiáng)的區(qū)域），邊界和邊角處的偏差較大。

圖11 相同變量條件下的試驗(yàn)對(duì)比圖Fig.11 Comparison of the same variables test

三變量分層拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)并沒(méi)有包含舵偏角=25時(shí)的樣本點(diǎn)，但其在=25時(shí)的響應(yīng)面仍然能以較高精度與該舵偏角下二變量試驗(yàn)設(shè)計(jì)的氣動(dòng)系數(shù)響應(yīng)面吻合，進(jìn)一步說(shuō)明了基于分層拉丁超立方方法的響應(yīng)面模型在三變量試驗(yàn)中的分層變量（舵偏角）方向上具有較好的內(nèi)插性能。

5 結(jié) 論

本文提出一種基于分層拉丁超立方的現(xiàn)代風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，并采用馬赫數(shù)6 風(fēng)洞中的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)據(jù)，在二變量和三變量風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)中對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。在二變量試驗(yàn)和三變量試驗(yàn)中，MDOE方法分別僅需OFAT 方法約20%和30%的樣本點(diǎn)即可滿足氣動(dòng)參數(shù)預(yù)測(cè)精度。

1）MDOE 方法給出的隨機(jī)樣本點(diǎn)集對(duì)現(xiàn)有風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)備控制系統(tǒng)有較高要求。分層拉丁超立方方法相比拉丁超立方方法的優(yōu)點(diǎn)在于其可以有效結(jié)合現(xiàn)有的風(fēng)洞設(shè)備進(jìn)行試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)采集，顯著減少車次改變，提高試驗(yàn)效率。

2）在三變量試驗(yàn)中，相比于拉丁超立方方法，采用分層拉丁超立方方法在擬合精度上有一定的改善。在指定分層變量參數(shù)剖面上，三變量分層拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)的氣動(dòng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與在相同變量條件下二變量試驗(yàn)設(shè)計(jì)所獲得的氣動(dòng)響應(yīng)面規(guī)律趨勢(shì)一致，吻合度較高，進(jìn)一步說(shuō)明基于分層拉丁超立方的響應(yīng)面模型具有較好的內(nèi)插能力。

基于分層拉丁超立方方法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有成本低、效率高和適用性廣等優(yōu)勢(shì)，不僅適用于本文所采用的高超聲速風(fēng)洞模型，對(duì)其他類型飛行器風(fēng)洞試驗(yàn)設(shè)計(jì)也具有一定借鑒意義。