申龍

（中國空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽，471009）

0 引言

矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀是一種在微波領(lǐng)域內(nèi)目前被廣泛使用的儀器,它通過掃頻原理得到測試結(jié)果，工作頻段寬且使用便捷，用戶可以根據(jù)需求通過改變顯示格式將散射參數(shù)轉(zhuǎn)換為不同的顯示形式如指數(shù)、駐波比和相位等表示出來，使測試結(jié)果簡潔直觀便于分析。同時，通過為矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀加裝時域測試功能選件，能夠豐富其應(yīng)用范圍，將原本的頻域分析拓展至時間域內(nèi)[1]。本文主要對矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域轉(zhuǎn)換過程進行探究，通過對離散傅立葉逆變換原理的探究推導(dǎo)出兩種算法并利用MATLAB軟件實現(xiàn)仿真及驗證。

1 傅立葉變換原理

法國數(shù)學家傅立葉首先提出了傅立葉分析理論，證明了將周期信號展開為正弦級數(shù)的原理，并以此為基礎(chǔ)發(fā)展出了傅立葉級數(shù)理論，而傅立葉變換則是基于傅立葉級數(shù)原理對非周期信號進行分析[2]。

通常來說，任何時域周期函數(shù)都可以描述為一系列諧波分量的疊加。通過使用函數(shù)f(t)和F(ω)作為在所有時間和所有頻率上的傅立葉變換對，可將連續(xù)傅立葉變換定義為如下公式：

而在矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀中，測量值的幅度和相位都記錄在離散的頻率軸上，由于頻率軸的離散性及限于頻率范圍0≤f≤∞，因此不可能進行連續(xù)傅立葉變換與逆變換，因此需要使用離散傅立葉變換。假設(shè)有限長序列x(n)的長度為N（范圍為0≤n≤N?1），它的離散傅立葉變換X(k)也是一個長度為N的頻域序列（范圍為0≤n≤N?1），則離散傅立葉變換對為：

式中n代表離散的時間增量，k與頻率相似，單位為采樣點數(shù)/周期。需要注意的是，離散傅立葉變換在時域和頻域上都呈現(xiàn)離散的形式且變換兩端的序列都是離散周期信號的主值序列。矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域的轉(zhuǎn)換基于離散傅立葉逆變換原理，同時在其基礎(chǔ)上進行了變化與修正。

2 矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域轉(zhuǎn)換過程

需要首先說明的是，在矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域轉(zhuǎn)換至時域時使用的是經(jīng)過修正的傅立葉逆變換。如圖1所示的一個三極點巴特沃斯濾波器的S11參數(shù)的解析變換，即反射頻率響應(yīng)是通過標準網(wǎng)絡(luò)理論計算得到的并通過傅立葉逆變換計算出時間響應(yīng)，與矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的時域變換功能所得到的時域響應(yīng)對比，可以發(fā)現(xiàn)盡管在結(jié)構(gòu)上有一定的相似性，但是二者明顯不同。矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的離散數(shù)據(jù)點采樣、頻域測量數(shù)據(jù)的加窗和截斷等原因?qū)е铝诉@種結(jié)果，所以在研究頻域至時域轉(zhuǎn)換過程時需要考慮這些因素[3]。

圖1 三極點巴特沃斯濾波器的解析沖激反射響應(yīng)與矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀時域變換響應(yīng)

根據(jù)以上分析可知為了完成矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀由頻域至時域轉(zhuǎn)換的過程的仿真，需要基于離散傅立葉變換提出新的修正算法。在這種情況下，快速傅立葉變換（FFT）與快速傅立葉逆變換（IFFT）算法被提出，它們利用離散傅立葉變換的對稱性和周期性將原來的N2復(fù)數(shù)乘法運算次數(shù)減少，合理地改善了離散傅立葉變換的運算時間。但是其在使用和表達數(shù)據(jù)上卻存在限制，快速傅立葉變換與其逆變換要求采樣數(shù)據(jù)和變換后數(shù)據(jù)具有相同點數(shù)并分布在變換后的時間范圍內(nèi)。

由于矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀時域分析的特殊性及靈活性，需要對任意時間步長的情況進行分析，因此引入線性調(diào)頻Z（Chirp-Z，CZT）變換算法。它基于FFT算法并且改善了時域轉(zhuǎn)換上的局限性，能夠在Z平面上完成特定時間區(qū)間螺旋線上的均勻采樣，具體算法定義如以下公式所示：

其中A0和θ0代表起始位置的半徑和相角，W0與Φ0確定了螺旋線的伸展率和相鄰相角間隔。其采樣原理如圖2所示。

圖2 線性調(diào)頻Z變換采樣原理圖

通過以上公式及采樣原理，可以得到Z平面上單位圓內(nèi)任意頻段內(nèi)等間隔的抽樣點[4]，實現(xiàn)特定時間區(qū)間CZT變換算法。同時，根據(jù)傅立葉變換的基本原理，即對共軛后的頻域數(shù)據(jù)做CZT變換后得到的數(shù)據(jù)再做共軛可以推導(dǎo)出線性調(diào)頻逆Z變換(ICZT)如公式（7）所示：

因此，通過使用ICZT算法，可以實現(xiàn)由已知的頻域響應(yīng)數(shù)據(jù)得到任意時間段內(nèi)的時域響應(yīng)數(shù)據(jù)。

3 仿真與分析

根據(jù)前面的分析可知，矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域轉(zhuǎn)換過程理論上可以使用IFFT和ICZT這兩種算法來進行仿真，本文基于矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的實際測試數(shù)據(jù)，搭配使用美國MathWorks公司的數(shù)學軟件MATLAB分別對兩種算法進行仿真運算及分析驗證。

3.1 IFFT算法

使用型號為N5245B的矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀對一段電纜進行測試，頻率范圍為3GHz～6GHz,點數(shù)為201個，通過測試得到一組包含實部、虛部的S21參數(shù)的復(fù)數(shù)形式，利用MATLAB軟件使用傅立葉逆變換的方式將這組頻域數(shù)據(jù)進行變換到時域。

MATLAB軟件中內(nèi)置有FFT和IFFT函數(shù)，可以對測試數(shù)據(jù)進行快速傅立葉變換及逆變換，但是在實際使用中，IFFT函數(shù)只對于經(jīng)由FFT函數(shù)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)具有較好的適配性，即對一組已知的時域數(shù)據(jù)使用FFT函數(shù)后得到的結(jié)果再使用IFFT函數(shù)能夠重新得到正確的時域數(shù)據(jù)，而對于已知的一組頻域數(shù)據(jù)而言，直接使用IFFT函數(shù)所得到的結(jié)果與實際結(jié)果誤差較大。

圖3 構(gòu)造后的共軛對稱實部及虛部值

由圖4可見，IFFT轉(zhuǎn)換后所得到的時域數(shù)據(jù)其實部值在一時間點處有明顯的沖擊響應(yīng)，根據(jù)傳輸線長度計算公式

圖4 IFFT轉(zhuǎn)換后的時域響應(yīng)幅度值

其中l(wèi)為傳輸線長度，k為傳輸線的相對傳輸速度，c為光速，t為傳輸線中的傳輸時間。

可以推測出被測電纜的實際長度，從而驗證此算法的正確性。在時域響應(yīng)信號附近的震蕩是由于逆變換之前的頻域數(shù)據(jù)的截斷誤差所造成的振鈴效應(yīng)。

但是，通過時域響應(yīng)dB值計算公式

可以得到圖5顯示的圖像，其所包含的大部分數(shù)據(jù)屬于無用信息，并且分辨率極低，與矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的測試結(jié)果差別極大，無法應(yīng)用于之后的數(shù)據(jù)分析工作。

圖5 IFFT轉(zhuǎn)換后的時域響應(yīng)值（dB）

3.2 ICZT算法

使用型號為N5245B的矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀對一段電纜進行測試，頻率范圍為3GHz～6GHz,點數(shù)為201，通過測試得到一組包含實部、虛部的S21參數(shù)的復(fù)數(shù)形式，利用MATLAB軟件使用ICZT的方式將這組頻域數(shù)據(jù)進行變換到時域。事先通過觀察矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀時域的實際測試數(shù)據(jù)可知，時域的沖激響應(yīng)發(fā)生在1ns～3.95ns之間，因此，再做ICZT時，選擇起始時間為1ns～3.95ns。

圖6 網(wǎng)絡(luò)分析儀測得的時域響應(yīng)

由圖7可以看出，原始的頻域數(shù)據(jù)點數(shù)為201個點，而通過ICZT轉(zhuǎn)換后的圖像仍然保持了201個點數(shù)不變（ICZT甚至允許輸入輸出點數(shù)不同）。在實際時域數(shù)據(jù)結(jié)果中1ns～3.95ns區(qū)間包含60個點，對整個數(shù)據(jù)做一個interp1插值運算，將其擴充至201個點，之后與ICZT的結(jié)果做對比，如圖8所示，時域響應(yīng)信號主瓣基本吻合，旁瓣峰值也吻合。以上仿真結(jié)果可以證明ICZT算法得到的時域數(shù)據(jù)與矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀得到的實測數(shù)據(jù)的對比結(jié)果滿足誤差要求，可以用于之后的數(shù)據(jù)分析工作。

圖7 使用ICZT算法仿真得到的時域響應(yīng)

圖8 仿真結(jié)果與實際結(jié)果對比

綜上所述，對采集的頻域響應(yīng)信號直接使用IFFT算法后，所得到的時域響應(yīng)包含的信息太過冗雜，且由于數(shù)據(jù)點數(shù)被平均分配至時域區(qū)間內(nèi)圖像分辨率很低，導(dǎo)致仿真結(jié)果利用價值低，無法進行后續(xù)數(shù)據(jù)分析。而使用ICZT算法的方式能夠得到清晰、準確的時域圖像，完整實現(xiàn)了矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域轉(zhuǎn)換過程，可以作為研究及分析時所使用的主要算法。

4 總結(jié)

本文通過探究矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的頻域至時域轉(zhuǎn)換過程，從傅立葉變換原理出發(fā)，介紹了IFFT與ICZT兩種頻域至時域轉(zhuǎn)換算法，通過應(yīng)用MATLAB軟件進行仿真，實現(xiàn)了兩種算法的驗證及對比分析，為矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀頻域至時域轉(zhuǎn)換的研究提供了理論依據(jù)及仿真數(shù)據(jù)參考。